Teoremele lui Mertens

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 aprilie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Teoremele lui Mertens sunt trei rezultate din 1874 legate de densitatea primelor , demonstrate de Franz Mertens [1] . Numele „teorema lui Mertens” se poate referi și la teorema lui în analiză .

În teoria numerelor

Mai jos înseamnă toate numerele prime care nu depășesc n . $p\leqslant n$

Prima teoremă a lui Mertens :

\sum _{p\leqslant n}{\frac {\ln p}{p}}-\ln n

nu depășește 2 în valoare absolută pentru niciun . (secvența A083343 în OEIS ) $n \geqslant 2$

A doua teoremă a lui Mertens :

\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leqslant n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln nM\right)=0,

unde M este constanta Meissel-Mertens (secvența A077761 în OEIS ). Mai precis, Mertens [1] a demonstrat că expresia dintre paranteze nu depășește în valoare absolută

{\frac {4}{\ln(n+1)))+{\frac {2}{n\ln n)}

pentru orice . $n \geqslant 2$

a treia teoremă a lui Mertens :

\lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p\leqslant n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma },

unde γ este constanta Euler-Mascheroni (secvența A001620 în OEIS ).

Schimbarea semnăturii

În lucrarea lui Robin [2] despre gradul de creștere a funcției sumei divizorilor , publicată în 1983, Guy Robin a demonstrat că în a doua teoremă a lui Mertens diferența

\sum _{p\leqslant n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln nM

își schimbă semnul de nenumărate ori, iar în a treia teoremă a lui Mertens diferența

\ln n\prod _{p\leqslant n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right) -e^{-\gamma }

de asemenea, își schimbă semnul de nenumărate ori. Rezultatele lui Robin sunt similare cu celebra teoremă a lui Littlewood , că diferența își schimbă semnul de nenumărate ori. Nu se cunoaște niciun analog al numărului Skewes (limita superioară pentru primul număr natural x pentru care ) pentru teoremele Mertens a 2-a și a 3-a. $\pi(x)-li(x)$ $\pi (x)>li(x)$

A doua teoremă a lui Mertens și teorema numerelor prime

În ceea ce privește formula asimptotică, Mertens subliniază în articolul său „două formule curioase Legendre” [1] , prima fiind prototipul a doua teoremă a lui Mertens (iar a doua fiind prototipul a treia teoremă a lui Mertens - vezi primele rânduri ale articol). El subliniază că formula este cuprinsă în cea de-a treia ediție a Théorie des nombres a lui Legendre (1830; de fapt, a menționat-o în a doua ediție, 1808), și că o versiune mai elaborată a fost dovedită de Cebyshev în 1851 [3] . Rețineți că deja în 1737, Euler cunoștea comportamentul asimptotic al acestei sume [4] .

Mertens își descrie diplomatic dovada ca fiind mai precisă și mai riguroasă. De fapt, nici una dintre dovezile anterioare nu este acceptabilă după standardele moderne — calculele lui Euler implică infinit ( logaritmul hiperbolic al infinitului și logaritmul logaritmului infinitului!), argumentele lui Legendre sunt euristice, iar demonstrația lui Cebyshev, deși impecabilă, se bazează pe Conjectura Legendre -Gauss, care a fost dovedită abia în 1896 și ulterior a devenit cunoscută ca teorema numerelor prime .

Dovada lui Mertens nu se referă la nicio presupunere nedovedită (în 1874) și folosește analiza reală elementară. Dovada a fost publicată cu 22 de ani înainte de prima demonstrație a Teoremei numerelor prim, care, spre deosebire de proba lui Mertens, se bazează pe o analiză atentă a comportamentului funcției zeta Riemann în funcție de o variabilă complexă. Dovada lui Mertens în acest sens este remarcabilă. Mai mult, în notația modernă , cedează

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(1/\log x)

ținând cont de faptul că este posibil să se arate echivalența teoremei privind distribuția numerelor prime (în forma sa cea mai simplă fără estimarea erorii) cu formula [5]

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+o(1/\log x).

În 1909 , Landau , folosind o versiune mai perfectă a teoremei privind distribuția numerelor prime, a demonstrat [6] că

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14))}

În special, eroarea este mai mică decât pentru orice număr întreg fix k . Însumarea simplă pe părți , folosind cea mai puternică formă a teoremei numerelor prime, îmbunătățește formula la $1/(\log x)^{k)$

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}( \log \log x)^{-1/5}})

pentru unii . $c>0$

În teoria sumabilității

În teoria însumării , teorema lui Mertens afirmă că dacă este o serie infinită reală sau complexă

\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}

converge spre A , iar cealaltă serie

\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}

converge absolut către B , apoi produsul lor Cauchy converge către AB .

Note

↑ 1 2 3 Mertens, 1874 , p. 46–62.
↑ Robin, 1983 , p. 233–244.
↑ Cebiciov, 1851 , p. 141–157.
↑ Euler, 1737 , p. 160–188.
↑ Deși această echivalență nu este menționată în mod explicit aici, de exemplu, ea poate fi ușor dedusă din materialul din capitolul I.3 al cărții lui G. Tenenbaum ( Tenenbaum 1995 )
↑ Landau, 1909 .

Literatură

Mertens F. Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie // J. reine angew. Matematică.. - 1874. - T. 78 .
Robin G. Sur l'ordre maximum de la fonction somme des diviseurs // Séminaire Delange–Pisot–Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Progres în matematică. - 1983. - T. 38 .
Cebiciov P.L. - 1851. - T. VI .
Leonhard Euler. Variae observationes circa series infinitas // Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1737. - T. 9 .
Tenenbaum G. Introduction to analytic and probabilistic number theory / CB Thomas (Tradus din a doua ediție franceză, 1995). - Cambridge: Cambridge University Press, 1995. - V. 46. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics).
Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen . - Leipzig: Teubner, 1909. Repr. Chelsea New York 1953, § 55, p. 197-203.
V. I. Zenkin. Distribuția numerelor prime. Metode elementare. Kaliningrad, 2008.

Lectură pentru lecturi suplimentare

Prahar K. Distribuția numerelor prime. — M.: Mir, 1967.

Yaglom A.M. , Yaglom I.M. Sarcini non-elementare într-o prezentare elementară. - M.: Gostekhizdat, 1954.Sarcini 167, 169, 170

Link -uri

Weisstein, Eric W. Mertens Constant (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Sondow, Jonathan și Weisstein, Eric W. Mertens Teorema (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Weisstein, a doua teoremă a lui Eric W. Mertens (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .