Point Farm
Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 26 septembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .Punctul Fermat este un punct în plan, suma distanțelor de la care până la vârfurile triunghiului este minimă. Punctul lui Fermat este uneori numit și punctul lui Torricelli sau punctul lui Fermat-Torricelli . Punctul Fermat oferă o soluție la problema lui Steiner pentru vârfurile triunghiulare. În literatura engleză, punctul lui Fermat este numit și centrul izogonic X(13).
Istorie
Ideea lui Fermat a fost propusă pentru prima dată de Fermat : „Datis tribus punctis, quartum reperire, a quo si ducantur tres rectæ ad data puncta, summa trium harum rectarum sit minima quantitas”. P. de Fermat, „Œuvres de Fermat”, 1679, Livre I, Paris. (lat. „Pentru trei puncte date, găsiți al patrulea, astfel încât, dacă trasați linii drepte de la el la aceste puncte, suma distanțelor va fi cel mai mic." P. Fermat ).
Proprietăți
Teorema lui Lester . În orice triunghi scalen, două dintre punctele lui Fermat, centrul celor nouă puncte și centrul cercului circumscris se află pe același cerc ( cercul lui Leicester ).
Clădire
Teorema ( E. Torricelli , B. Cavalieri , T. Simpson , F. Heinen, J. Bertrand ). Construiți pe laturile unui triunghi arbitrar față de triunghiurile echilaterale exterioare , , . Apoi șase curbe - trei cercuri circumscrise în jurul acestor triunghiuri regulate și liniile , , se intersectează într-un punct . Dacă toate unghiurile triunghiului nu depășesc , atunci se află în triunghi și este un punct Fermat . În acest caz , unghiurile dintre segmentele și sunt egale între ele și, prin urmare, sunt egale . Mai mult, lungimile segmentelor , și , numite linii Simpson , sunt de asemenea egale între ele și sunt egale cu . Dacă unul dintre unghiurile triunghiului este mai mare decât , atunci se află în afara triunghiului , iar punctul Fermat coincide cu vârful unghiului obtuz .
Teorema oferă un algoritm pentru construirea punctului Fermat folosind o busolă și o linie dreaptă. În cazul non-trivial, când toate unghiurile triunghiului sunt mai mici decât , punctul Fermat se găsește ca intersecția a oricăror două dintre cele șase curbe descrise în teoremă.
Din punct de vedere fizic, acest punct poate fi construit după cum urmează: marchem pe o suprafață orizontală plană și netedă punctele și găurim prin găuri în locurile marcate; vom lega trei fire și vom trece capetele lor libere de sus prin găuri; legați încărcăturile de aceeași masă la capetele libere; când sistemul intră în echilibru, nodul va fi în punctul Fermat pentru triunghi .
Notă
Apropo, în prima figură din dreapta, centrele celor trei triunghiuri echilaterale sunt ele însele vârfurile unui nou triunghi echilateral ( Teorema lui Napoleon ). În plus, .
Găsirea punctului Fermat. Multiplicatori Lagrange
Există o abordare pentru găsirea unui punct în interiorul unui triunghi, pentru care suma distanțelor până la vârfurile triunghiului este minimă, este de a folosi una dintre metodele de optimizare din matematică. În special, metoda multiplicatorilor Lagrange și teorema cosinusului.
Desenăm linii de la un punct din interiorul triunghiului până la vârfurile acestuia și le numim X , Y și Z . De asemenea, să fie lungimile acestor drepte x, y, respectiv z. Fie unghiul dintre X și Y α, Y și Z - β. Atunci unghiul dintre X și Z este (2π - α - β). Folosind metoda multiplicatorului Lagrange, trebuie să găsim minimul lui L lagrangian , care se exprimă astfel:
L = x + y + z + λ 1 ( x 2 + y 2 − 2 xy cos( α ) − a 2 ) + λ 2 ( y 2 + z 2 − 2 yz cos(β) − b 2 ) + λ 3 ( z 2 + x 2 − 2 zx cos( α + β ) − c 2 )unde a , b și c sunt lungimile laturilor triunghiului.
Echivalând fiecare dintre cele cinci derivate parțiale δ L / δx, δ L / δy, δ L / δz, δ L / δα, δ L / δβ la zero și excluzând λ 1 , λ 2 , λ 3 , obținem în final sin (α ) = sin(β) și sin(α + β) = - sin(β) deci α = β = 120°. Cu toate acestea, calculele sunt lungi și plictisitoare, iar rezultatul final acoperă doar cazul 2 când niciunul dintre unghiuri nu este ≥ 120°.
Point Torricelli
Punctul Torricelli este punctul unui triunghi din care toate laturile sunt vizibile la un unghi de . Există doar în triunghiuri cu unghiuri mai mici decât , în timp ce este unic și, prin urmare, coincide cu punctul Fermat.
Vezi și
- Puncte remarcabile ale triunghiului
- Problema lui Steiner
- Circumferința Leicester
- Punctele lui Torricelli
Note
Literatură
- Enciclopedie pentru copii / Capitolul. ed. M. D. Aksyonova. - M . : Avanta +, 2001. - T. 11. Matematică. — 688 p.
- A. O. Ivanov, A. A. Tuzhilin. Teoria rețelelor extreme. - Moscova-Ijevsk: Institutul de Cercetări Informatice, 2003. - ISBN 5-93972-292-X .