Împărțirea exactă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 9 ianuarie 2021; verificarea necesită 1 editare .

O împărțire exactă , numită și împărțire egală sau împărțire convenită , este împărțirea unei resurse eterogene (de exemplu, o prăjitură ) în mai multe submulțimi, astfel încât fiecare dintre persoanele cu gusturi diferite să fie de acord cu privire la evaluarea pieselor [1] ] .

Luați în considerare un tort care este jumătate ciocolată și jumătate vanilie. Alice vrea doar partea de ciocolată, iar George are nevoie doar de vanilie. Tortul este împărțit în trei părți: o bucată este 20% ciocolată și 20% vanilie, a doua parte este 50% ciocolată și 50% vanilie, iar a treia parte conține restul de tort. Această împărțire este consecventă, deoarece atât Alice, cât și George valorează cele trei părți la 20%, 50% și, respectiv, 30%.

După cum ilustrează exemplul, o împărțire convenită nu este neapărat echitabilă. De exemplu, dacă o bucată de 20% îi este dată lui Alice și o bucată de 50% îi este dată lui George, acest lucru nu este, evident, corect pentru Alice. În teoria tăierii prăjiturii , diviziunile consistente sunt adesea folosite ca subproceduri pentru a crea diviziuni corecte.

Diviziunile convenite există întotdeauna, dar nu pot fi găsite prin protocoale discrete (cu un număr finit de interogări). În unele cazuri, diviziunile exacte pot fi găsite prin mutarea protocoalelor de cuțit. Diviziunile aproape exacte pot fi găsite prin protocoale discrete.

Definiții

Să fie k greutăți a căror sumă este 1. Să presupunem că toți participanții evaluează întregul tort C la 1. $w_{1},w_{2},\ldots,w_{k)$

Împărțirea exactă (sau împărțirea consecventă ) într-o relație este împărțirea tortului în k bucăți: , deci pentru orice membru i și orice bucată j : $w_{1},w_{2},\ldots,w_{k)$ $C=X_{1}\sqcup \cdots \sqcup X_{k)$

V_{i}(X_{j})=w_{j}

Adică, există un acord între toți participanții că valoarea piesei j este exact [1] . $w_{j)$

Împărțire aproape exactă

Pentru orice împărţire -aproape exactă într-o relaţie este o diviziune în care $\varepsilon >0$ $\varepsilon$ $w_{1},w_{2},\ldots,w_{k)$

|V_{i}(X_{j})-w_{j}|<\varepsilon

Adică, există un acord între toți participanții că valoarea piesei j este aproape exact egală și diferența este mai mică decât [1] . $w_{j)$ $\varepsilon$

Împărțire perfectă

O diviziune perfectă este o diviziune în care o resursă este împărțită între n participanți cu estimări subiective, oferind fiecărui participant exact 1/ n din resursă conform estimărilor tuturor participanților. Acesta este un caz special de împărțire exactă în care toate greutățile sunt 1/ n .

Împărțire exactă cu număr arbitrar de tăieturi

Tort omogen în bucăți, mulți participanți, orice greutate

O prăjitură este numită omogenă pe bucăți dacă poate fi împărțită în regiuni R , astfel încât toți participanții să fie de acord că valoarea densității măsurii valorii în fiecare regiune este omogenă. De exemplu, luați în considerare un tort rotund în care 4 sferturi au diferite tipuri de decorațiuni (cremă, glazură, fructe și ciocolată). Concurenții pot evalua fiecare tip de decor diferit, dar nu fac diferența între diferite bucăți de tort cu același decor. Aceasta înseamnă că valoarea fiecărei piese pentru fiecare participant depinde doar de suma pe care o primește din fiecare zonă.

Afirmația că tortul este omogen pe bucăți este echivalentă cu afirmația că estimările diferiților participanți la diviziune sunt constante pe bucăți - fiecare bucată de tort este omogenă dacă și numai dacă este intersecția a n bucăți din n participanți.

Când prăjitura este omogenă pe bucăți (și estimările sunt constante pe bucăți), se poate obține o împărțire consistentă după cum urmează:

Să împărțim fiecare regiune în k sub-regiuni astfel încât sub- regiunea j conține exact regiunile. $w_{j)$
Fie piesa j uniunea j -a subregiuni din toate regiunile R. Aceasta definește o împărțire consistentă pentru ponderile date.

Acest algoritm poate fi generalizat la o familie puțin mai generală de măsuri valorice, cum ar fi măsurile liniare pe bucăți [2] .

Numărul de tăieturi necesare este , unde R este egal cu numărul de regiuni. $kR$

Tort general, multi participanti, orice greutate

Dacă măsurile de cost sunt numărătoare aditive și fără atom , atunci există o partiție consistentă pentru orice set de greutăți a căror sumă este 1. Aceasta este o consecință a teoremei de convexitate Dubins-Spanier .

Woodall [3] a arătat că este posibil să se construiască o astfel de partiție pe un tort de interval ca o uniune numărabilă de intervale.

Schiță: Luați în considerare procedura de împărțire pentru prăjiturile omogene pe bucăți descrisă mai sus. În general, prăjitura nu este omogenă pe bucăți. Cu toate acestea, deoarece măsurile de preț sunt continue, este posibil să se împartă tortul în zone din ce în ce mai mici, astfel încât zonele să devină din ce în ce mai uniforme. Când acest proces converge către o divizare convenită. $R\la \infty$

Fremlin a arătat că este posibil să se construiască o astfel de diviziune ca o uniune finită de intervale.

Stromquist și Woodall [4] au arătat că acest lucru este posibil cu un număr minim de intervale, vezi teorema Stromquist-Woodall .

Împărțire exactă cu un număr minim de tăieturi

Să presupunem că tortul este un interval format din n sub-intervale diferite și fiecare dintre cei n participanți evaluează doar o zonă. Apoi, o împărțire consistentă a tortului în k subseturi necesită tăieturi, deoarece fiecare dintre zone trebuie tăiată în k bucăți, care sunt egale în ochii participantului care evaluează această zonă. Prin urmare, există o întrebare interesantă dacă este întotdeauna posibil să se obțină o împărțire consistentă cu acest număr exact de tăieturi. $n\cdot (k-1)$

Tort cu intervale, doi participanți, multe subseturi, orice greutate

Doi participanți pot ajunge la o diviziune convenită utilizând procedura Austin's Moving Knife .

Cel mai simplu caz este greutățile 1/2, adică vor să taie tortul în așa fel încât amândoi să fie de acord să obțină jumătate din valoarea prăjiturii. Acest lucru se face în felul următor. Unul dintre participanți mută două cuțite peste tort de la stânga la dreapta, păstrând întotdeauna valoarea dintre cuțite exact egală cu 1/2. Se poate dovedi (prin teorema valorii intermediare ) că la un moment dat și valoarea dintre cuțite pentru celălalt participant va fi exact 1/2. Un alt participant exclamă „Stop!” în acest moment piesa este tăiată.

Același protocol poate fi folosit pentru a tăia o piesă pentru care ambii jucători sunt de acord că valoarea ei este exactă . $1/n$

Combinând mai multe astfel de piese, puteți obține o împărțire consistentă pentru orice rapoarte care sunt numere raționale . Cu toate acestea, acest lucru poate necesita un număr mare de incizii.

O modalitate mai bună de a obține o împărțire consistentă este să identifici cele două puncte finale ale tortului, astfel încât să poată fi gândit ca un cerc. Adică, atunci când cuțitul drept ajunge la capătul drept, acesta merge imediat la capătul stâng și piesa dintre cuțite este acum considerată a fi unirea piesei la dreapta cuțitului drept (care era înainte cuțitul stâng) iar piesa din stânga cuțitului stâng (care era înainte cuțitul din dreapta). ). Apoi putem găsi o împărțire consistentă pentru orice . Un participant mută ciclic cuțitele în jurul prăjiturii, păstrând întotdeauna valoarea dintre ele exact egală cu p . Se poate dovedi că la un moment dat valoarea dintre cuțite pentru celălalt participant va deveni exact egală cu p [5] . Un alt participant exclamă „Stop!” în acest moment piesa este tăiată. Este nevoie doar de două tăieturi. $p\in [0,1]$

Repetând procedura de mai sus, se poate realiza o împărțire consistentă pentru cei doi participanți pentru orice număr de subseturi. Numărul de tăieturi este , unde este egal cu numărul de subseturi. $2(k-1)$ $k$

Începând cu 2015, nu s-a cunoscut nicio generalizare a acestei proceduri de mișcare a cuțitului la mai mult de 2 participanți [6] .

Tort cu intervale, mulți participanți, două subseturi, greutăți egale

Să presupunem că tortul este un interval cu o valoare totală de 1. Ar trebui împărțit în subseturi, fiecare dintre ele având o valoare de exact 1/2 pentru toți cei n participanți. Dorim să folosim numărul minim de tăieturi, care este . $k=2$ $n(k-1)=n$

O diviziune ca aceasta există întotdeauna [7] . Aceasta este o consecință directă a teoremei Hobby-Rice . Acest lucru poate fi arătat și pe baza teoremei Borsuk-Ulam [8] :

Orice partiție a unui interval folosind tăieturi poate fi reprezentată ca un vector de lungime , unde elementele sunt lungimile subintervalelor. $n$ $n+1$
Orice element al vectorului poate fi fie pozitiv (dacă aparține bucății #1) fie negativ (dacă aparține bucății #2).
Setul tuturor partițiilor este o sferă . $S^{n}$
Definiți după cum urmează: pentru orice partiție , x va fi un vector al cărui element i -lea este valoarea piesei #1 din această partiție conform participantului i minus 1/2. $V:S^{n}\la \mathbb {R} ^{n}$ $V(x)$
Funcția V este continuă. Mai mult, pentru toate x . $V(x)+V(-x)=0$
Prin urmare, după teorema Borsuk-Ulam , există x astfel încât . În această împărțire, toți participanții valorează piesa #1 (și piesa #2) la exact 1/2. $V(x)=0$

O împărțire consistentă în două submulțimi poate fi găsită pe baza lemei lui Tucker , care este o versiune discretă a teoremei Borsuk-Ulam [9] .

Deși preferințele participanților sunt modelate prin măsuri, dovezile nu necesită ca măsurile de evaluări să fie aditive la subseturi. Măsurile estimărilor pot fi, de asemenea, funcții continue pe mulțimi definite pe algebre complete Borel și care satisfac toate proprietățile măsurilor, cu excepția aditivității numărabile. Atunci nu se cere ca scorurile membrilor subgrupurilor tortului să fie separabile aditiv [9] .

Tort cu intervale, mulți participanți, multe subseturi, greutăți egale

Teorema existenței din secțiunea anterioară poate fi generalizată de la piese la un număr arbitrar de piese. Acest lucru a fost dovedit de Noga Alon în lucrarea sa din 1987 despre împărțirea colierului . $k=2$

Există diferite măsuri pe un interval, toate absolut continue în ceea ce privește lungimea. Măsura întregului colier, după măsura , este egală cu . Apoi este posibil să se împartă intervalul în părți (nu neapărat continue), astfel încât valoarea fiecărei părți, în funcție de măsura , să fie exact egală cu . Nu mai sunt necesare tăieturi și această valoare este optimă. $n$ $i$ $k\cdot a_{i}$ $k$ $i$ $a_{i}$ $(k-1)n$

Tort cu intervale, mulți participanți, două subseturi, greutăți arbitrare

Teorema existenței din secțiunea anterioară este generalizată la greutăți arbitrare prin teorema Stromquist-Woodall .

Tort multidimensional, mulți participanți, multe subseturi, greutăți egale

Teorema Stone-Tukey afirmă că, având în vedere n „obiecte” măsurabile în spațiul n - dimensional , se pot diviza pe toate (în funcție de măsurile lor , adică volumul) de un singur hiperplan ( n -1) -dimensional .

Cu alte cuvinte: dacă tortul este un spațiu , iar măsurile evaluărilor participanților sunt finite și egale cu zero pe orice hiperplan dimensional, atunci există o jumătate de spațiu , a cărui valoare este exact 1/2 pentru fiecare participant. Prin urmare, există o împărțire consistentă printr-o tăietură unitară . $\mathbb {R} ^{n}$ $n-1$

Versiunea originală a acestei teoreme funcționează numai dacă numărul tortului este egal cu numărul de participanți. De exemplu, nu este posibil să se aplice această teoremă la împărțirea unui sandwich tridimensional în patru participanți.

Cu toate acestea, există generalizări care permit o astfel de împărțire. Ele nu folosesc un cuțit hiperplan, ci folosesc suprafețe polinomiale mai complexe [10] .

Proceduri de împărțire aproape exacte

Procedura crumb-and-pack

Pentru unul dat, puteți oferi fiecărui participant o piesă astfel încât toți participanții să creadă că toate valorile diferă cu mai puțin de , adică pentru orice i și orice j [1] : $\varepsilon >0$ $\varepsilon$

|V_{i}(X_{j})-w_{j}|<\varepsilon

Procedura de împărțire aproape exactă are două etape: sfărâmare și ambalare .

Pasul de sfărâmare : Scopul este de a tăia tortul în bucăți mici ("fărâmituri"), astfel încât fiecare concurent să atribuie o valoare suficient de mică fiecărei firimituri. Acest lucru se face în felul următor. Fie k o constantă. Să cerem participantului 1 să taie tortul în k bucăți, astfel încât prețul fiecărei bucăți să fie 1/ k . Să-i cerem participantului #2 să împartă piesele (folosind nu mai mult de k -1 tăieturi), astfel încât fiecare piesă să aibă un preț de cel mult 1/ k . Aceste piese noi, desigur, au încă o valoare care nu depășește 1/ k pentru participantul #1. Continuăm procedura cu partenerii nr. 3, nr. 4, ..., nr . n . În cele din urmă, prețurile pentru toți cei n participanți la fiecare firimitură nu depășesc 1/ k .

Etapa de ambalare : Scopul aici este de a împărți firimiturile în n subseturi, astfel încât suma valorilor din fiecare subset j să fie apropiată de w j . Mai jos este o explicație nestrictă a etapei de împachetare pentru doi participanți (Alice și George) când greutățile sunt 1/2 [1] .

Luăm o ceașcă goală.
Puneți unul dintre firimituri într-un castron.
Dacă dimensiunea cupei devine mai mare de 1/2 pentru oricare dintre participanți, dăm cupa acestui participant și dăm restul firimituri unui alt participant.
În caz contrar (valoarea în cupă este mai mică de 1/2 pentru ambii participanți), dacă valoarea în cupă este mai mare pentru Alice decât pentru George, găsim o firimitură care este mai valoroasă pentru George decât pentru Alice (o astfel de firimitură trebuie există, deoarece suma valorilor firimiturii este 1 atât pentru Alice, cât și pentru George). Să adăugăm această firimitură în ceașcă și să trecem la pasul 2 al algoritmului.

Se poate dovedi prin inducție că diferența dintre evaluarea cupei de către Alice și George nu este niciodată mai mare de 1/ k . Prin urmare, atunci când un partener primește o ceașcă, ambii participanți o valorează între 1/2-1/ k și 1/2+1/ k .

Formal, fiecare bucată poate fi reprezentată ca un vector de valori, câte una pentru fiecare participant. Lungimea fiecărui vector este limitată, adică pentru fiecare astfel de vector v : . Scopul nostru este să creăm pentru fiecare participant j un vector, ale cărui elemente sunt aproape de w j . Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțim vectorii în submulțimi astfel încât suma vectorilor pentru fiecare submulțime j să fie suficient de apropiată de un vector ale cărui elemente sunt toate egale cu w j . Acest lucru este posibil prin teorema lui W. Bergström [11] [12] . $||v||\leqslant {\sqrt {n}}/k$

Procedura crumb-and-pack este o sub-procedură în protocolul Robertson-Webb . Acest protocol produce o diviziune care este atât aproape exactă, cât și fără invidie .

O altă explicație pentru procedura crumb-and-pack a fost dată de Brahms și Taylor [13] .

Mecanisme de onestitate

Orice algoritm de partajare a consensului se bazează pe măsurile de evaluare furnizate de participanți. Dacă participantul știe cum funcționează algoritmul, poate avea un motiv să mintă pentru a obține mai mult decât într-o împărțire corectă. Pentru a preveni acest lucru, pot fi utilizate mecanisme de stimulente (veridice) compatibile [2] [14] .

Cel mai simplu mecanism de împărțire veridică este: alegem un participant la întâmplare (cu o probabilitate determinată de greutăți) și îi dăm tot tortul. Acest mecanism este trivial adevărat, deoarece nu pune întrebări. Cu toate acestea, este așteptat-consecvent: valoarea așteptată a fiecărui participant este exact egală cu greutatea, iar acest lucru este valabil pentru orice măsură a valorii. Cu toate acestea, partiția rezultată nu este în niciun caz o diviziune consistentă.

Mai bine este un mecanism de împărțire veridic care funcționează pentru un tort în care toate greutățile sunt 1/ n și poate fi construit din orice algoritm (sau oracol) existent pentru găsirea unei diviziuni consistente:

Solicităm fiecărui participant să-și raporteze scorurile.
Utilizați un algoritm/oracol existent pentru a genera o partiție în care toate cele n piese costă exact 1/ n conform funcțiilor raportate de participanți.
Efectuăm o permutare aleatorie pe o partiție consistentă și dăm fiecărui participant una dintre piese.

Aici, valoarea așteptată a fiecărui participant este încă 1/ n , indiferent de funcția de rating raportată, astfel încât mecanismul rămâne adevărat - niciun participant nu poate beneficia de minciună. Mai mult, un participant sincer garantează o valoare exact egală cu 1/ n cu probabilitatea 1 (nu doar prin așteptare). Prin urmare, participanții au un stimulent să arate adevăratele funcții ale ratingurilor.

Imposibilitate

Este imposibil să se realizeze o împărțire exactă într-un număr finit de cereri, chiar și pentru doi participanți și ponderi exact egale cu 1/2 [15] . Aceasta înseamnă că cel mai bun lucru care poate fi obținut cu un algoritm discret este o împărțire aproape exactă.

Dovada : Dacă protocolul este la pasul k , are o colecție de cel mult k piese. Pentru a efectua o divizare exactă, protocolul trebuie să găsească un subset exact - subsetul de bucăți pe care ambii parteneri le evaluează exact la 1/2. Vom demonstra că pentru orice k există situații în care nu există o submulțime exactă la pasul k și, prin urmare, protocolul va continua pe termen nelimitat.

Inițial, există o singură piesă pe care ambii participanți o evaluează la 1, deci evident că nu există un subset exact. După un pas, un participant (să zicem, Alice) are sarcina de a tăia tortul. Chiar dacă Alice taie tortul în două bucăți pe care le crede că sunt egale, acestea pot fi diferite în funcție de George, așa că din nou nu există un subset exact.

Să presupunem că acum suntem la pasul k și că există k piese. Fără pierderea generalității, putem presupune că fiecare piesă are o valoare diferită de zero pentru ambii participanți. Acest lucru se datorează faptului că dacă Alice (de exemplu) taie o piesă pe care o evaluează la 0, George poate evalua și acea piesă la 0, astfel încât să putem arunca acea piesă și să continuăm cu alte piese.

Numărul total de submulțimi distincte este acum 2k și, prin ipoteza de inducție, niciuna dintre ele nu este o partiție exactă. La pasul k , protocolul poate cere lui Alice sau George să taie o bucată în două bucăți. Să presupunem, fără a pierde generalitatea, că George a fost tăietorul și că el taie bucata X în două sub-bucăți: X1 și X2. Acum numărul total de submulțimi este de 2k +1 : jumătate dintre ele există deja și, prin presupunere, nu sunt exacte, așa că singura șansă de a găsi o submulțime exactă este să căutați noi subseturi. Fiecare subset nou este format dintr-un subset vechi în care piesa X este înlocuită fie cu X1, fie cu X2. Deoarece George este un tăietor, el poate tăia într-un mod care să facă din unul dintre aceste submulțimi un subset exact al lui (de exemplu, dacă un subset care conține o bucată de X are o valoare de 3/4, George poate tăia X astfel încât X1 are o valoare de 1/4 , în opinia sa, astfel încât noul submult are o valoare de exact 1/2). Cu toate acestea, George nu cunoaște scorurile lui Alice și nu le poate ține cont la tăiere. Prin urmare, există un număr nenumărat de valori diferite pe care le pot avea evaluările pieselor X1 și X2 pentru Alice. Deoarece numărul de noi submulțimi este finit, există un număr infinit de cazuri în care nici o nouă submulțime nu are valoarea 1/2 pentru Alice, prin urmare nici o nouă submulțime nu este exactă.

Comparație cu alte criterii

Împărțirea exactă cu ponderi egale ( ) este, în special, și proporțională , lipsită de invidie și imparțială . $1/n$

Cu toate acestea, nu este neapărat Pareto eficient , deoarece în multe cazuri este posibilă obținerea unei îmbunătățiri a estimărilor subiective și împărțirea resurselor astfel încât toți participanții să primească mai mult decât cota lor justă de . $1/n$

Împărțirile exacte sunt mult mai ușoare dacă participanții cooperează la determinarea acțiunilor , mai degrabă decât concurează ca într-o diviziune echitabilă . Unii autori o numesc o diviziune consistentă [16] .

Tabel final

Nume	Tip de	Tort	Estimări [17]	numărul de participanți ( n )	numărul de submulțimi ( k )	numărul de tăieturi	greutate
Austin	Procedura de mutare a cuțitului	Interval	Con	2	Mult	$2(k-1)$ (optimal)	Orice
Omogen pe bucăți	procedură discretă	Omogen pe bucăți	Con+Add+Pwl	Mult	Mult	Numărul de regiuni	Orice
Dubinsa - Spaniera	Dovada Existenței	Orice	Con+Adăugați	Mult	Orice	Nelimitat	Orice
Diviziune consistentă	Procedura nesfârșită	Interval	Con	Orice	2	n (optimal)	Egal
tăierea colierului	Dovada Existenței	Interval	Con(+Adaugă?)	Orice	Orice	$n(k-1)$ (optimal)	Egal
Stromkvist - Woodall	Dovada Existenței	Rundă	Con+Adăugați	Orice	2	$2n-2$ (optim pentru unele scale)	Orice
Stone - Tukey	Dovada Existenței	n -dimensional	Con(+Adaugă?)	n	2	1 semi-avion	Egal
pesmet-şi-împachetează	Procedura aproape exacta	Orice	Con+Adăugați	Orice	Mult	Nelimitat	Orice

Vezi și

Provocarea de tăiere a prăjiturii

Note

↑ 1 2 3 4 5 Robertson, Webb, 1998 , p. 127.
↑ 1 2 Chen, Lai, Parkes, Procaccia, 2013 , p. 284–297.
↑ Woodall, 1980 , p. 233–247.
↑ Stromquist, Woodall, 1985 , p. 241–248.
↑ Fischer, Daniel. Împărțirea consensuală a unui tort la două persoane în proporții arbitrare . Matematică.SE. Preluat: 23 iunie 2015. (nedefinit)
↑ Există o generalizare care dă fiecăruia dintre cei n participanți o piesă cu un preț exact în conformitate cu estimarea sa. Dar aceasta nu este o împărțire convenită, deoarece participanții pot să nu fie de acord asupra prețului altor piese care nu îi aparțin. Consultați secțiunea „Mulți participanți” din Procedurile Austin’s Moving Knife . $1/n$
↑ Goldberg, West, 1985 , p. 93–106.
↑ Alon, West, 1986 , p. 623.
↑ 12 Simmons , Su, 2003 , p. 15–25.
↑ Grünbaum, 1960 , p. 1257–1261.
↑ Bergström, 1930 , p. 205–219.
↑ Robertson, Webb, 1998 , p. 126-128.
↑ Brams și Taylor 1996 , p. 131–133.
↑ Mossel și Tamuz, 2010 , p. 288–299.
↑ Robertson, Webb, 1998 , p. 103-104.
↑ de Longueville, Živaljević, 2008 , p. 926–939.
↑ Cerințe pentru funcțiile de evaluare a participanților. Mai puține cerințe înseamnă rezultate mai generale. Con=Continuu; Con+Add=Aditivitate; Con+Add+Pwl=Funcții liniare pe bucăți.

Literatură

Jack Robertson, William Webb. Algoritmi de tăiere a prăjiturii: fiți corect dacă puteți. - Natick, Massachusetts: A.K. Peters, 1998. - ISBN 978-1-56881-076-8 .
Yiling Chen, John K. Lai, David C. Parkes, Ariel D. Procaccia. Adevărul, dreptatea și tăierea prăjiturii // Jocuri și comportament economic. - 2013. - T. 77 , nr. 1 . - doi : 10.1016/j.geb.2012.10.009 .
Woodall DR Împărțind un tort în mod corect // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1980. - T. 78 . - doi : 10.1016/0022-247x(80)90225-5 .
Walter Stromquist, D. R. Woodall. Seturi asupra cărora sunt de acord mai multe măsuri // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1985. - T. 108 . - doi : 10.1016/0022-247x(85)90021-6 .
Charles H. Goldberg, Douglas B. West. Bisectia colorarilor cercurilor // SIAM Journal on Algebric and Discrete Methods. - 1985. - T. 6 . - doi : 10.1137/0606010 .
Noga Alon, Douglas B. West. Teorema Borsuk-Ulam și bisecția colierelor // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1986. - T. 98 , nr. 4 . - doi : 10.1090/s0002-9939-1986-0861764-9 .
Elchanan Mossel, Omer Tamuz. Divizia Târg Adevărat. - 2010. - T. 6386. - (Note de curs în Informatică). - ISBN 978-3-642-16169-8 . - doi : 10.1007/978-3-642-16170-4_25 .
Forest W. Simmons, Francis Edward Su. Înjumătățirea consensului prin teoremele lui Borsuk-Ulam și Tucker // Științe sociale matematice. - 2003. - T. 45 . - doi : 10.1016/S0165-4896(02)00087-2 .
Branko Grunbaum. Partiții de distribuții de masă și corpuri convexe prin hiperplane // Pacific J. Math .. - 1960. - Vol. 10 , nr. 4 . - doi : 10.2140/pjm.1960.10.1257 .
Zwei Sätze über ebene Vectorpolygone // Hamburgische Abhandlungen. - 1930. - T. 8 .
Steven J. Brams, Alan D. Taylor. Divizia echitabilă: de la tăierea prăjiturii la soluționarea disputelor. - 1996. - ISBN 978-0-521-55644-6 .
Mark de Longueville, Rade T. Zivaljević. Împărțirea colierelor multidimensionale // Progrese în matematică. - 2008. - T. 218 , nr. 3 . - doi : 10.1016/j.aim.2008.02.003 . - arXiv : math/0610800 .