Sfera 3d

O sferă tridimensională ( hipersferă tridimensională , uneori tridimensională ) este o sferă în spațiu cu patru dimensiuni . Constă dintr-un set de puncte echidistante de un punct central fix în spațiul euclidian cu patru dimensiuni . La fel ca o sferă bidimensională, care formează granița unei sfere în trei dimensiuni, o sferă cu trei dimensiuni are trei dimensiuni și este limita unei sfere cu patru dimensiuni.

Ecuația

În coordonatele carteziene, o sferă tridimensională de rază poate fi dată de ecuație $(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})$ $r$

(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2} +(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.

Considerând spațiul complex ca fiind real , ecuația sferei poate fi privită ca $\mathbb {C} ^{2}$ $\R^4$

S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{ 2}|^{2}=1\dreapta\}.

În mod similar, în spațiul cuaternionului : $\mathbb {H} ^{1}$

S^{3}=\stanga\{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1\dreapta\}.

Fiind o varietate tridimensională, o sferă tridimensională poate fi definită parametric folosind trei coordonate. Un exemplu sunt coordonatele hipersferice:

x_{0}=r\cos \psi ,

x_{1}=r\sin \psi \cos \theta ,

x_{2}=r\sin \psi \sin \theta \cos \phi ,

x_{3}=r\sin \psi \sin \theta \sin \phi .

Proprietăți

O sferă tridimensională este limita unei sfere cu patru dimensiuni. $S^{3}$

O sferă tridimensională este o varietate tridimensională compactă conectată . O sferă tridimensională este pur și simplu conectată , adică orice curbă închisă de pe ea poate fi contractată continuu la un punct.

O sferă tridimensională este homeomorfă la o compactare într-un punct a unui spațiu real tridimensional . $\mathbb {R} ^{3}$

Structura grupului

Fiind un set de cuaternioni unitari, sfera tridimensională moștenește o structură de grup.

Astfel, sfera este un grup Lie . Printre sferele dimensionale, numai și au această proprietate . $S^{3}$ $n$ $S^{1}$ $S^{3}$

Folosind reprezentarea matricială a cuaternionilor, se poate defini o reprezentare de grup folosind matrice Pauli : $S^{3}$

x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{ 3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}.

Prin urmare, grupul este izomorf cu grupul Lie al matricei . $S^{3}$ ${\mathrm {SU}}(2)$

Acțiunea grupului U(1) și a fibrației Hopf

Dacă definiți o acțiune de grup : $U(1)$

(z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda,z_{2}\lambda)\quad \forall \lambda \in \mathbb {U} (1) ,

atunci spațiul orbitelor este homeomorf la sfera bidimensională . În acest caz , pe sferă ia naștere o structură de mănunchi cu o bază și straturi care sunt homeomorfe , adică cercuri . Acest pachet se numește pachetul Hopf . [unu] $S^{2}$ $S^{3}$ $S^{2}$ $U(1)$ $S^{1}$

Pachetul Hopf este un exemplu de pachet principal non-trivial. În coordonate, este dat de formula

p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2}).

Punctul ( z 1 , z 2 ) al sferei este mapat la punctul [ z 1 : z 2 ] al dreptei proiective complexe CP 1 , care este difeomorfă la sfera bidimensională . $S^{3}$ $S^{2}$

Grupuri de homotopie ale sferei

Simpla conexiune a sferei înseamnă că primul grup de homotopie . De asemenea, zero este grupul . $\pi _{1}(S^{3})=\{0\}$ $\pi _{2}(S^{3})=\{0\}$

Note

↑ Postnikov M. M. Prelegeri de topologie algebrică, p. 20. - Moscova, Nauka, 1984.

Vezi și

Conjectura Poincare

Literatură

Fomenko A. T., Fuchs D. B. Un curs de topologie homotopică. - M. , 1989.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Hypersphere (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld . (eng.) Notă : Acest articol utilizează scheme alternative de denumire pentru sfere, în care o sferă din spațiul N - dimensional este numită N -sferă.