Grupurile de sfere de homotopie sunt unul dintre principalele obiecte de studiu în teoria homotopiei , un domeniu al topologiei algebrice . Grupurile de sfere de homotopie clasifică mapările între sfere de dimensiuni superioare până la deformarea continuă . Grupurile de homotopie de sfere sunt obiecte algebrice discrete, și anume grupuri abeliene generate finit . Deși clasificarea grupurilor abeliene generate finit este foarte simplă, structura exactă a grupurilor de sfere de homotopie nu este complet cunoscută.
Găsirea lor a fost una dintre cele mai importante direcții în dezvoltarea topologiei și a matematicii în general în anii 1950 și 60, până la crearea teoriilor generalizate de coomologie . [1] Motivul pentru aceasta a fost atât faptul că grupurile de homotopie de sfere sunt invarianți topologici de bază , a căror înțelegere duce la o mai bună înțelegere a spațiilor topologice în general, cât și prezența unui număr mare de regularități complexe în structura lor. . Rezultatul a fost atât găsirea unor regularități generale, cum ar fi grupurile homotopie stabile de sfere și homomorfismul J , cât și calculul grupurilor pentru valori mici ale parametrilor.
O sferă de dimensiune multidimensională este un spațiu topologic , care poate fi reprezentat ca un loc de puncte ale spațiului euclidian -dimensional , îndepărtat de originea coordonatelor la o distanță de 1. În special, este un cerc și este un obișnuit doi- sferă dimensională .
Dacă este orice spațiu topologic cu un punct marcat , atunci --lea grup de homotopie al său este mulțimea de mapări de la la la , considerate până la homotopii , adică perturbații continue, care, în plus, trebuie să păstreze punctul marcat. În special, este grupul fundamental , adică grupul de căi închise într-un spațiu topologic cu operația de compunere . În cazul multidimensional, această mulțime poate fi echipată și cu o structură de grup, în timp ce, spre deosebire de grupul fundamental, pentru grup va fi comutativă .
Orice mapare de la o sferă de dimensiune inferioară la o sferă de dimensiune superioară poate fi contractată la un punct, astfel încât grupurile de la . Cu toate acestea, deja grupul fundamental al cercului este un grup ciclic infinit . Elementele sale, adică mapările de la cerc în sine până la homotopie, sunt definite în mod unic de numărul de rotații ale imaginii cercului în jurul centrului său, iar atunci când se compun trasee, se adaugă numărul de revoluții. Ca și în cazul unidimensional, grupul de homotopie de mapări din sfera -dimensională în sine este infinit ciclic. Cu toate acestea, structura grupului nu este evidentă intuitiv: este generată de fibrația Hopf .
π 1 | π 2 | π 3 | π 4 | π 5 | π6 _ | π 7 | π 8 | π9 _ | π 10 | π 11 | π 12 | π 13 | π 14 | π 15 | pi 16 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
S1 _ | Z | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
S2 _ | 0 | Z | Z | Z2 _ | Z2 _ | Z12 _ | Z2 _ | Z2 _ | Z3 _ | Z15 _ | Z2 _ | Z 2 2 | Z 12 × Z 2 | Z 84 × Z 2 2 | Z 2 2 | Z6 _ |
S3 _ | 0 | 0 | Z | Z2 _ | Z2 _ | Z12 _ | Z2 _ | Z2 _ | Z3 _ | Z15 _ | Z2 _ | Z 2 2 | Z 12 × Z 2 | Z 84 × Z 2 2 | Z 2 2 | Z6 _ |
S4 _ | 0 | 0 | 0 | Z | Z2 _ | Z2 _ | Z × Z 12 | Z 2 2 | Z 2 2 | Z 24 × Z 3 | Z15 _ | Z2 _ | Z 2 3 | Z 120 × Z 12 × Z 2 | Z 84 × Z 2 5 | Z26 _ _ |
S5 _ | 0 | 0 | 0 | 0 | Z | Z2 _ | Z2 _ | Z24 _ | Z2 _ | Z2 _ | Z2 _ | Z 30 | Z2 _ | Z 2 3 | Z 72 × Z 2 | Z 504 x Z 2 2 |
S6 _ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | Z | Z2 _ | Z2 _ | Z24 _ | 0 | Z | Z2 _ | Z60 _ | Z 24 × Z 2 | Z 2 3 | Z 72 x Z 2 |
S7 _ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | Z | Z2 _ | Z2 _ | Z24 _ | 0 | 0 | Z2 _ | Z 120 | Z 2 3 | Z 2 4 |
S8 _ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | Z | Z2 _ | Z2 _ | Z24 _ | 0 | 0 | Z2 _ | Z × Z 120 | Z 2 4 |