Ecuația lui Barker

Ecuația Barker este o ecuație implicită care determină relația dintre poziția unui corp ceresc ( anomalie adevărată ) și timpul când se deplasează de-a lungul unei orbite parabolice [1] . Această ecuație a fost utilizată pe scară largă în studiul orbitelor cometelor [2] , ale căror orbite au o excentricitate apropiată de unitate. În prezent, această ecuație este utilizată în astrodinamică [2]

Problemă care duce la ecuația Barker

Rezolvarea problemei cu două corpuri dă ecuația traiectoriei în coordonate polare sub formă

r={\frac {p}{1+e\,\cos \vartheta })

unde este parametrul orbitei; este excentricitatea orbitei; - anomalie adevărată - unghiul dintre vectorul rază a poziţiei curente a corpului şi direcţia către periapsis. Pe de altă parte, a doua lege a lui Kepler este valabilă. $p$ $e$ $\vartheta$

r^{2}\,{\frac {d\vartheta {dt}}=c

unde este constanta aria. Pe baza acestor ecuații, este ușor să obțineți o integrală care relaționează timpul și adevărata anomalie în puncte și orbite. $c$ $A_0$ $A_{1}$

{\displaystyle t_{1}-t_{0}={\frac {p^{2}}{c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1} }{\frac {d\vartheta }{\left(1+e\,\cos \vartheta \right)^{2))))

Modul în care se calculează această integrală depinde de cantitatea de excentricitate (vezi ecuația lui Kepler ). Pentru o traiectorie parabolică , în acest caz ajungem la un lanț trivial de transformări $e=1$

t_{1}-t_{0}={\frac {p^{2}}{c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1} }{\frac {d\vartheta }{\left(1+\cos \vartheta \right)^{2}}}={\frac {p^{2}}{4\,c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1}}\left(1+{\rm {tg}}^{2}{\frac {\vartheta }{2}}\right) ^{2}\,d\vartheta =\left|{\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}=z,\,d\vartheta ={\frac {2\,dz}{ 1+z^{2}}}\right|={\frac {p^{2}}{2\,c}}\int \limits _{{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _ {0}}{2}}}^{{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}}\left(1+z^{2}\right)\,dz ={\frac {p^{2}}{2\,c}}\left[{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg} }{\frac {\vartheta _{0}}{2}}+{\frac {1}{3}}\left({\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{1 }}{2}}-{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}\right)\right]

Având în vedere că parametrul orbitei este legat de constanta ariei

p={\frac {c^{2}}{\mu }}

unde este parametrul gravitațional al corpului central și aria constantă, în cazul mișcării parabolice $\mu$

c=r_{\pi }\,v_{\pi }=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,\mu} {r_{\pi )))}

unde este distanța până la periapsis; - viteza la pericentru, la deplasarea de-a lungul unei parabole, care este o viteza parabolica . Apoi, obținem pentru parametrul orbitei și ajungem la expresia finală $r_{\pi )$ $v_{\pi }$ $p=2\,r_{\pi )$

t_{1}-t_{0}=r_{\pi }{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left[{\rm {tg}} {\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}+{\frac {1}{3}}\ stânga({\rm {tg))^{3}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{0} {2}}\dreapta)\dreapta]

Acum acceptăm că punctul inițial al traiectoriei este pericentrul și, prin urmare, transformăm dependența rezultată în forma $\vartheta _{0}=0$

n\,\left(t-t_{0}\right)={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}+{\frac {1}{3}}{\ rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta }{2}}

unde este mișcarea medie a corpului ceresc. Ca rezultat, obținem o ecuație cubică de formă $n={\sqrt {\frac {\mu }{2\,r_{\pi }^{3)))}$

S+{\frac {1}{3}}\,S^{3}-M=0

unde , este anomalia medie a orbitei corpului ceresc. Această ecuație se numește ecuația Barker . $S={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}$ $M=n\,\left(t-t_{0}\right)$

Această ecuație reprezintă dependența implicită a adevăratei anomalii de timp atunci când un corp ceresc se mișcă de-a lungul unei traiectorii parabolice. $\vartheta (t)$

Rezolvarea ecuației Barker

Ecuația

S+{\frac {S^{3}}{3}}-M=0

este o ecuație cubică scrisă în forma canonică a lui Cardano și are o soluție analitică. Cu ajutorul algebrei computerizate, este ușor să obțineți această soluție care conține o rădăcină reală și două rădăcini conjugate complexe.

S_{1}=x-{\frac {1}{x)),\quad S_{2,3}=-{\frac {x}{2)}+{\frac {1}{2} \,x}}\pm i\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\left(x+{\frac {1}{x}}\right)

Unde $x={\frac {1}{2}}\,{\sqrt[{3}]{12\,M+4\,{\sqrt {9\,M^{2}+4}} }}$

Sensul fizic al acestei probleme corespunde doar rădăcinii reale, deci putem scrie

S={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}=x-{\frac {1}{x}}

Având în vedere această rădăcină, se poate calcula sinusul și cosinusul anomaliei adevărate

\cos \vartheta ={\frac {1-S^{2}}{1+S^{2}}},\quad \sin \vartheta ={\frac {2\,S}{1+ S^{2}}}\quad

prin care, ținând cont de semnul acestora, se determină adevărata anomalie $\vartheta \in [0,\,2\,\pi )$

Ecuația lui Barker

Problemă care duce la ecuația Barker

Rezolvarea ecuației Barker

Vezi și

Note

Literatură