Ecuația lui D'Alembert

Ecuația d'Alembert este o ecuație diferențială de formă

$y=x\varphi (y')+f(y'),$

unde și sunt funcții. A fost studiat pentru prima dată de J. D'Alembert (J. D'Alembert, 1748). Este cunoscută și sub denumirea de ecuație Lagrange, un caz special la se numește ecuația Clairaut [1] . $\varphi$ $f$ $\varphi (y')\equiv y'$

Soluție

Integrarea ecuațiilor diferențiale de acest tip se realizează într-o formă parametrică , folosind parametrul

y'=p.

Ținând cont de această înlocuire, ecuația inițială ia forma

y=x\varphi(p)+f(p).

Diferențierea față de x dă:

p=\varphi (p)+\left(x\varphi '(p)+f'(p)\right){\frac {dp}{dx)}

sau

p-\varphi (p)=\left(x\varphi '(p)+f'(p)\right){\frac {dp}{dx)).

Hotărâri speciale

Una dintre soluțiile ultimei ecuații este orice funcție a cărei derivată este o constantă care satisface ecuația algebrică $y'=p=p_{0}$

p_{0}-\varphi (p_{0})=0,

de vreme ce pentru permanent $p_{0)$

{\frac {dp}{dx}}\equiv 0.

Dacă , atunci , constanta C trebuie găsită prin substituirea în ecuația originală: $y'=p_{0}$ $y=p_{0}x+C_{0)$

p_{0}x+C_{0}=x\varphi (p_{0})+f(p_{0}),

întrucât în cazul în cauză , atunci $p_{0}=\varphi (p_{0})$

C_{0}=f(p_{0})

.

În sfârșit, putem scrie:

y=x\varphi (p_{0})+f(p_{0})

.

Dacă o astfel de soluție nu poate fi obținută din cea generală, atunci se numește specială .

Soluție generală

Vom considera funcția inversă la , apoi, folosind teorema asupra derivatei funcției inverse , putem scrie: $p=y'$

{\frac {dx}{dp}} -x{\frac {\varphi '(p)}{p-\varphi (p)))={\frac {f'(p)}{p- \varphi(p)}}

.

Această ecuație este o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi , rezolvând care, obținem o expresie pentru x în funcție de p :

x=w(p,C).

Astfel, se obține soluția ecuației diferențiale inițiale în formă parametrică:

{\begin{cases}y=x\varphi (p)+f(p)\\x=w(p,C)\end{cases))

.

Eliminand variabila p din acest sistem se obtine solutii generale sub forma

\Phi (x,y,C)=0

.

Note

↑ Piskunov H. S. Calcul diferențial și integral pentru instituțiile de învățământ superior, vol. 2 .: Manual pentru instituțiile de învățământ superior .. - ed . — 560 p.