Ecuația Ramanujan-Nagel

Ecuația Ramanujan-Nagel în teoria numerelor este o ecuație de următoarea formă:

2^{n}-7=x^{2},

Necesită găsirea de soluții naturale ale necunoscutelor și . $n$ $X$

Acesta este un exemplu de ecuație diofanțială exponențială . Ecuația este numită după matematicianul indian Srinivasa Ramanujan și matematicianul norvegian Trygve Nagel .

Istorie

Această ecuație apare la rezolvarea următoarei probleme [1] : găsiți toate numerele Mersenne , adică numerele de forma care sunt simultan numere triunghiulare (adică au forma ). Transformările simple duc la următorul rezultat: $($ $2^{b}-1)$ ${\frac {y(y+1)}{2}}$

{\begin{aliniat}&\ 2^{b}-1={\frac {y(y+1)}{2}}\\[2pt]\Longleftrightarrow &\ 8(2^{b} -1)=4y(y+1)\\\Săgeată lungă la dreapta &\ 2^{b+3}-8=4y^{2}+4y\\\Săgeată lungă la dreapta &\ 2^{b+3}-7=4y ^{2}+4y+1\\\Longftrightarrow &\ 2^{b+3}-7=(2y+1)^{2}\end{aligned}}

După efectuarea înlocuirii , obținem ecuația Ramanujan-Nagel. $n=b+3;\ x=2y+1,$

Ramanujan a presupus în 1913 [2] că această ecuație are doar cinci soluții întregi:

n	3	patru	5	7	cincisprezece	(secvența A060728 în OEIS )
X	unu	3	5	unsprezece	181	(secvența A038198 în OEIS )

Ca de obicei, Ramanujan nu a oferit dovezi și nici nu a explicat cum a ajuns la o astfel de ipoteză. Independent de Ramanujan, în 1943 o ipoteză similară a fost înaintată de matematicianul norvegian Wilhelm Jungren [3] . În 1948, un alt matematician norvegian, Trygve Nagel , a publicat o dovadă [4] [5] .

„Numerele triunghiulare Mersenne” corespunzătoare soluțiilor sunt adesea numite numere Ramanujan-Nagel [1] :

{\frac {y(y+1)}{2}}={\frac {(x-1)(x+1)}{8}}

Există și cinci dintre ele: 0, 1, 3, 15, 4095 (secvența A076046 în OEIS ).

Variații și generalizări

Matematicianul german Karl Ludwig Siegel a considerat o ecuație ceva mai generală de forma:

x^{2}+D=AB^{n},

unde sunt constante întregi și este necesar să se găsească valorile naturale ale variabilelor . Siegel a dovedit: $D,A,B$ $x,n$

numărul de soluții ale acestei ecuații diofantine este în orice caz finit [6] ;
pentru , ecuația nu are mai mult de două soluții, cu excepția cazului descris mai sus ; $A=1, B=2$ $D=7$
există infinit de valori pentru care există două soluții [7] , de exemplu, . $D,$ $D=2^{m}-1$

Exemplu : ecuația are șase soluții: $D=119, A=15, B=2.$ $x^{2}+119=15\cdot 2^{n},$

n	3	patru	5	6	opt	cincisprezece
X	unu	unsprezece	19	129	61	701

O altă generalizare este ecuația Lebesgue-Nagel :

x^{2}+D=Da^{n}

unde sunt constante întregi și este necesar să se găsească valorile naturale ale variabilelor Ecuația este numită după matematicianul francez Victor-Amede Lebesgue , care în 1850 a investigat ecuația și a demonstrat că are doar soluții banale. [8] : $D,A$ $x,y,n.$ $x^{2}+1=y^{n)$

0^{2}+1=y^{0};\quad 0^{2}+1=1^{n};\quad x^{2}+1=(x^{2}+ 1)^{1}

Din rezultatele lui Schori și Teideman [9] rezultă că numărul de soluții la ecuația Lebesgue-Nagel este întotdeauna finit [10] . Bugeaud, Mignotte și Sixek au rezolvat ecuații de acest tip [11] cu și . În special, o generalizare a ecuației originale Ramanujan-Nagel: $A=1$ $1\leqslant D\leqslant 100$

y^{n}-7=x^{2}\,

are soluții întregi pozitive când x = 1, 3, 5, 11 și 181.

Vezi și

Conjectura lui Pillai : O ecuație are întotdeauna doar un număr finit de soluții. $Ax^{n}-By^{m}=C$

Note

↑ 1 2 Deza E., Deza M. Numere creț. - M. : MTSNMO, 2016. - S. 203-205. — 349 p. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .
↑ S. Ramanujan (1913). „Întrebarea 464”. J. Matematică indiană. Soc . 5 :130.
↑ Ljunggren W. Oppgave nr 2 // Norsk Mat. Tidsskr. - 1943. - Vol. 25. - P. 29.
↑ Nagell T. Løsning till oppgave nr 2 // Norsk Mat. Tidsskr. - 1948. - Vol. 30. - P. 62-64.
↑ Skolem, T.; Chowla, S.; și Lewis, DJ The Diophantine Equation and Related Problems. Proc. amer. Matematică. soc. 10, 663-669, 1959. $2^{n+2}-7=x^{2}$
↑ Saradha, Srinivasan, 2008 , p. 207.
↑ Saradha, Srinivasan, 2008 , p. 208.
↑ Lebesgue, Victor-Amédée (1850). „Sur l'imposibilité, en nombres entiers, de l'equation x m = y 2 + 1” . nouv. Ann. Matematică. Ser. 1 . 9 : 178-181. Arhivat din original pe 04.12.2020 . Preluat 2021-02-18 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor )
↑ Shorey TN, Tijdeman R. Exponential Diophantine Equations. - Cambridge University Press , 1986. - Vol. 87. - P. 137-138. — (Cambridge Tracts in Mathematics). - ISBN 0-521-26826-5 . — .
↑ Saradha, Srinivasan, 2008 , p. 211.
↑ Yann Bugeaud; Maurice Mignotte; Samir Siksek (2006). „Abordări clasice și modulare ale ecuațiilor diofantine exponențiale II. Ecuația Lebesgue-Nagell”. compos. Matematică . 142 :31-62. arXiv : math/0405220 . DOI : 10.1112/S0010437X05001739 .

Literatură

Nagell T. Ecuația diofantină x 2 + 7 = 2 n // Ark. Mat.. - 1961. - T. 30. - P. 185-187. - Cod biblic . - doi : 10.1007/BF02592006 .
Saradha N., Srinivasan A. Ecuații generalizate Lebesgue–Ramanujan–Nagell // Ecuații diofantine. - Narosa, 2008. - P. 207-223. — ISBN 978-81-7319-898-4 .

Link -uri

Valorile lui X corespunzătoare lui N în ecuația Ramanujan-Nagell . Wolfram mathworld. Preluat: 8 mai 2012.