Ecuația Yang-Baxter

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 19 iulie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Ecuația Yang-Baxter (ecuația de factorizare, ecuația triunghiulară) este o ecuație care aparține clasei problemelor exact rezolvabile . Are forma unor transformări locale de echivalență care apar într-o mare varietate de cazuri, cum ar fi circuitele electrice , teoria nodurilor și teoria împletiturii , sistemele de spin . Își ia numele de la munca independentă a lui C. N. Young în 1968 și a lui R. D. Baxter în 1971 în mecanica statistică .

Ecuația Yang-Baxter dependentă de parametru

Notăm prin algebra asociativă cu unitate . Ecuația Yang-Baxter dependentă de parametru este ecuația pentru elementul inversabil dependent de parametru al produsului tensor al algebrei (aici , parametrul , care variază de obicei peste toate numerele reale în cazul unui parametru aditiv, sau peste toate reale pozitive numere în cazul unui parametru multiplicativ). În cazul unui parametru aditiv, ecuația Yang-Baxter este ecuația funcțională $A$ $R(u)$ $A\otimes A$ $u$

R_{12}(u)\R_{13}(u+v)\R_{23}(v)=R_{23}(v)\R_{13}(u+v)\R_{12 }(u),

la o funcţie în care două variabile şi sunt substituite în modul specificat . La unii se poate transforma într-un proiector unidimensional , ceea ce duce la un determinant cuantic. Pentru un parametru multiplicativ, ecuația Yang-Baxter are forma $R$ $u$ $v$ $u$ $R(u)$

R_{12}(u)\R_{13}(uv)\R_{23}(v)=R_{23}(v)\R_{13}(uv)\R_{12}(u) ,

la funcția , unde , , și , pentru toate valorile parametrului , și , , și , sunt morfisme de algebră definite ca $R$ $R_{12}(w)=\phi _{12}(R(w))$ $R_{13}(w)=\phi _{13}(R(w))$ $R_{23}(w)=\phi _{23}(R(w))$ $w$ $\phi _{12}:A\otimes A\la A\otimes A\otimes A$ $\phi _{13}:A\otimes A\la A\otimes A\otimes A$ $\phi _{23}:A\otimes A\la A\otimes A\otimes A$

\phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,

\phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,

\phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.

În unele cazuri, determinantul[ ambiguu ] poate anula la anumite valori ale parametrului spectral și uneori chiar se transformă într-un proiector unidimensional. În acest caz, determinantul cuantic poate fi determinat. $R(u)$ $u=u_{0}$ $R(u)$

Ecuația Yang-Baxter independentă de parametri

Notăm prin algebra asociativă cu unitate . Ecuația Yang-Baxter independentă de parametri este ecuația pentru , elementul inversabil al produsului tensor al algebrei . Ecuația Yang-Baxter are forma $A$ $R$ $A\otimes A$

R_{12}\R_{13}\R_{23}=R_{23}\R_{13}\R_{12},

unde , , și . $R_{12}=\phi _{12}(R)$ $R_{13}=\phi _{13}(R)$ $R_{23}=\phi _{23}(R)$

Să fie un modul peste . Fie o hartă liniară satisfăcătoare pentru toți . Apoi reprezentarea grupului de împletituri , , poate fi construită pe pentru , unde pe . Această reprezentare poate fi folosită pentru a determina cvasi-invarianții de împletituri , noduri . $V$ $A$ $T:V\otimes V\la V\otimes V$ $T(x\otimes y)=y\otimes x$ $x,y\in V$ $B_n$ $V^{\otimes n}$ $\sigma _{i}=1^{\otimes i-1}\otimes {\check {R)}\otimes 1^{\otimes ni-1)$ $i=1,\dots ,n-1$ ${\check {R}}=T\circ R$ $V\otimes V$

Literatură

H.D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Institutul Arnold Sommerfeld, Clausthal, FRG, 1989 , Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9 .
Vyjayanthi Chari și Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups , (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0 .
Jacques HH Perk și Helen Au-Yang, „Ecuații Yang–Baxter”, (2006), arXiv : math-ph/0606053 .
Manin Yu. I. Introducere în teoria schemelor și a grupurilor cuantice. - M. : MTSNMO, 2012. - 256 p. - ISBN 978-5-94057-635-8 .