Ecuații Föppl-von Karman

Ecuațiile Föppl-von Karman - ecuații în teoria elasticității numite după August Föppl [1] și Theodor von Karmann , [2] sunt un set de ecuații diferențiale neliniare care descriu deviații mari ale plăcilor plate subțiri. [3] Aplicațiile variază de la proiectarea corpului submarinului până la proprietățile mecanice ale peretelui celular. [4] Aceste ecuații, care sunt greu de rezolvat, sunt următoarele: [5]

{\begin{aligned}(1)\qquad &{\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})))\nabla ^{4}wh{\frac { \partial }{\partial x_{\beta }}}\left(\sigma _{\alpha \beta }{\frac {\partial w}{\partial x_{\alpha }}}\right)=P\\ (2)\qquad &{\frac {\partial \sigma _{\alpha \beta }}{\partial x_{\beta }}}=0\end{aligned}}

unde E este modulul Young al materialului plăcii (presupus a fi omogen și izotrop), υ este raportul lui Poisson , h este grosimea plăcii, w este deformarea în afara planului plăcii, P este exteriorul forța normală pe unitatea de suprafață a plăcii, σ αβ este tensorul tensiunii , iar α , β sunt indicii , care iau valorile 1 și 2 (două direcții ortogonale în plan). Operatorul biharmonic bidimensional este definit ca [6]

{\begin{aligned}(1)\qquad &{\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})))\nabla ^{4}wh{\frac { \partial }{\partial x_{\beta }}}\left(\sigma _{\alpha \beta }{\frac {\partial w}{\partial x_{\alpha }}}\right)=P\\ (2)\qquad &{\frac {\partial \sigma _{\alpha \beta }}{\partial x_{\beta }}}=0\end{aligned}}

Ecuația (1) poate fi obținută din ipotezele cinematice și ecuațiile de cuplare pentru placă. Ecuațiile (2) descriu conservarea momentului în două dimensiuni, unde se presupune că tensiunile în plan ( σ 33 , σ 13 , σ 23 ) sunt zero.

Limite de aplicabilitate

Ecuațiile Föppl-von Karman sunt de interes din punct de vedere pur matematic, dar aplicarea fizică a acestor ecuații este îndoielnică. [7] Ciarlet [8] afirmă că: Ecuațiile von Karman bidimensionale pentru plăci, propuse inițial de von Karman [1910], joacă un rol mitic în matematica aplicată. Deși au fost adesea studiate cu suficientă acuratețe din punct de vedere matematic, incluzând diverse întrebări privind existența, regularitatea și bifurcarea soluțiilor, validitatea lor fizică a fost adesea pusă la îndoială. Motivele includ următoarele fapte:

teoria depinde de o aproximare geometrică care nu este clar definită;
modificarea tensiunii în secțiunea transversală este stabilită în mod arbitrar;
se folosesc ecuatii liniare ale materialelor, care nu corespund relatiei cunoscute dintre tensiuni si deformari bine definite;
unele componente de deformare sunt ignorate în mod arbitrar;
există confuzie între configurațiile calculate și cele deformate, ceea ce face ca teoria să nu fie aplicabilă deformațiilor mari, pentru care aparent a fost inventată.

Condițiile în care aceste ecuații sunt de fapt aplicabile și dau rezultate rezonabile după rezolvare sunt discutate de Ciarlet. [8] [9]

Ecuații în termenii funcției de stres Airy

Cele trei ecuații Föppl-von Karman pot fi reduse la două prin introducerea funcției de stres Airy , unde $\varphi$

\sigma _{11}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}^{2)}}~,~~\sigma _{22}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}^{2))}~,~~\sigma _{12}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\ parțial x_{1}\partial x_{2}}}\,.

Atunci aceste ecuații se reduc la [5]

{\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\Delta ^{2}wh\left({\frac {\partial ^{2}\varphi } {\partial x_{2}^{2))}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2))}+{\frac {\partial ^{2}\ varphi }{\partial x_{1}^{2))}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2))}-2{\frac {\partial ^{ 2}\varphi }{\partial x_{1}\,\partial x_{2))}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\,\partial x_{2)) }\right)=P

\Delta ^{2}\varphi +E\left\{{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2)}}{\frac {\partial ^{ 2}w}{\partial x_{2}^{2))}-\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\,\partial x_{2))} \right)^{2}\right\}=0\,.

Îndoire pură

Pentru curbarea pură a plăcilor subțiri, ecuațiile de echilibru sunt , unde $D\Delta ^{2}\w=P$

D:={\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}

se numește rigiditatea la încovoiere sau cilindrică a plăcii. [5]

Ipoteze cinematice (ipotezele lui Kirchhoff)

Când se derivă ecuațiile Föppl-von Karman, se presupune că următoarea relație cinematică este adevărată (cunoscută și sub numele de ipoteza Kirchhoff ): normalele la suprafața plăcii rămân perpendiculare pe placă după deformare. De asemenea, se presupune că deplasările în planul membranei sunt neglijabile, iar modificările grosimii plăcii sunt neglijabile. Aceste ipoteze implică faptul că câmpul de deplasare u al plăcii poate fi exprimat ca [10]

u_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=v_{1}(x_{1},x_{2})-x_{3}\,{\frac { \partial w}{\partial x_{1}}}~,~~u_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=v_{2}(x_{1},x_{ 2})-x_{3}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}~,~~u_{3}(x_{1},x_{2},x_{3} )=w(x_{1},x_{2})

unde v sunt deplasări în planul membranei. Această formă a câmpului de deplasare presupune implicit că rotația plăcii este mică.

Relații între deformații și deplasări (deformații von Karman)

Componentele Lagrangianului tridimensional al tensorului de deformare al lui Green sunt definite ca

E_{ij}:={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_ {j}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\dreapta]\,.

Înlocuirea expresiilor pentru câmpul deplasării dă

{\begin{aligned}E_{11}&={\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left[\ stânga({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1 ))}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}\right]\\&=-x_ {3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{ 2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2))}\right)^{2}+x_{3}^{2}\left({ \frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2))}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{ 1}}}\right)^{2}\right]\\E_{22}&={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{ 2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2} }{\partial x_{2))}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3)){\partial x_{2))}\right)^{2}\right ]\\&=-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2))}+{\frac {1}{2))\left [x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2))}\right)^{2}+x_{3 }^{2}\left({\frac  {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}} \right)^{2}\right]\\E_{33}&={\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}+{\frac {1}{2}}\ stânga[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}\right]\\& ={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\ parțial w}{\partial x_{2))}\right)^{2}\right]\\E_{12}&={\frac {1}{2))\left[{\frac {\partial u_ {1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_ {1}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\, {\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_ {3}}{\partial x_{2}}}\right]\\&=-x_{3}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2} ))+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_  {1}^{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)+x_{3} ^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2))}\right)\left({\frac {\partial ^{2} w}{\partial x_{2}^{2))}\right)+{\frac {\partial w}{\partial x_{1))}\,{\frac {\partial w}{\partial x_ {2}}}\right]\\E_{23}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+ {\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_ {1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\ dreapta]\\&={\frac {1}{2}}\left[x_{3}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2 ))}\right)\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1))}\right)+x_{3}\left({\frac {\partial ^{2}w}{ \partial x_{2}^{2}}}\right)\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)\right]\\E_{31}&={ \frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}  +{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\ x_{1))}+{\frac {\partial u_{3)){\partial x_{3))}\,{\frac {\partial u_{3)){\partial x_{1))} \right]\\&={\frac {1}{2}}\left[x_{3}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1))}\right)\left( {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2))}\right)+x_{3}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2 ))}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2))}\right)\right]\end{aliniat))

Pentru deformații mici, dar rotații moderate , corecții de ordin superior care nu pot fi neglijate

\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1)}}\right)^{2}~,~~\left({\frac {\partial w}{\partial x_{ 2))}\right)^{2}~,~~{\frac {\partial w}{\partial x_{1))}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2)) }\,.

Ignorând toate ordinele superioare și respectând cerințele ca placa să nu-și schimbe grosimea, componentele tensorului de deformare sunt reduse la forma unor tulpini von Karman.

{\begin{aligned}E_{11}&=-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2))}+{\ frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}\\E_{22}&=-x_{3}\, {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2))}+{\frac {1}{2))\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\\E_{12}&=-x_{3}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2 ))}+{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2} }}\\E_{33}&=0~,~~E_{23}=0~,~~E_{31}=0\,.\end{aligned}}

Relații stres-deformare

Dacă presupunem că componentele tensorului tensiunii Cauchy sunt liniar legate de deformațiile von Karman prin intermediul legii lui Hooke , placa este izotropă și omogenă și că placa este supusă doar solicitărilor plane [11] avem σ 33 = σ 13 = σ 23 = 0 și

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix})={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{11}\\E_{22} \\E_{12}\end{bmatrix}}

Extinderea termenilor, obținem trei tensiuni diferite de zero

{\begin{aliniat}\sigma _{11}&={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}\left[\left(-x_{3}\,{ \frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2))}+{\frac {1}{2))\left({\frac {\partial w}{\partial x_ {1}}}\right)^{2}\right)+\nu \left(-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2 ))}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right)\right]\\\ sigma _{22}&={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}\left[\nu \left(-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2 }w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right) ^{2}\right)+\left(-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2))}+{\frac {1} {2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right)\right]\\\sigma _{12}&={\cfrac {E}{(1+\nu )}}\left[-x_{3}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\ frac {1}{2}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right]\ ,.\end{aliniat}}

Tensiuni rezultate

Tensiunile rezultate în placă sunt definite ca

N_{\alpha \beta}:=\int _{-h/2}^{h/2}\sigma _{\alpha \beta}\,dx_{3}~,~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h/2}^{h/2}x_{3}\,\sigma _{\alpha \beta }\,dx_{3}\,.

De aceea

{\begin{aligned}N_{11}&={\cfrac {Eh}{2(1-\nu ^{2)})))\left[\left({\frac {\partial w} { \partial x_{1))}\right)^{2}+\nu \left({\frac {\partial w}{\partial x_{2))}\right)^{2}\right]\ \ N_{22}&={\cfrac {Eh}{2(1-\nu ^{2})}}\left[\nu \left({\frac {\partial w}{\partial x_{1} } }\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2))}\right)^{2}\right]\\N_{12}&={\ cfrac {Eh}{2(1+\nu )}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2} } }\end{aliniat}}

și

{\begin{aligned}M_{11}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})))\left[{\frac {\partial ^ {2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right ]\\M_{22}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\left[\nu \,{\frac {\partial ^{2 }w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right]\\M_{12 }&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1+\nu )}}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2 }}}\,.\end{aliniat}}

Soluțiile sunt mai ușor de găsit atunci când ecuațiile sunt exprimate în termeni de tensiuni nete, mai degrabă decât tensiuni în plan.

Ecuațiile Föppl-von Karman exprimate în termeni de tensiuni rezultate

Ecuațiile Föppl-von Karman sunt obținute de obicei folosind abordarea energetică, ținând cont de schimbarea energiei interne și de munca virtuală a forțelor externe. O abordare similară poate fi utilizată pentru a scrie aceste ecuații în termenii tensiunilor rezultate. Ecuații constitutive

{\begin{aliniat}&{\frac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}M_ {22}}{\partial x_{2}^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+ {\frac {\partial }{\partial x_{1))}\left(N_{11}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1))}+N_{12}\,{ \frac {\partial w}{\partial x_{2))}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{2))}\left(N_{12}\,{\frac {\ parțial w}{\partial x_{1))}+N_{22}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2))}\right)=P\\&{\frac {\partial N_{\alpha \beta }}{\partial x_{\beta }}}=0\,.\end{aligned}}

Link -uri

↑ Föppl A., „Vorlesungen über mecanic mecanic”, B. G. Teubner , bul. 5., S. 132, Leipzig, Germania (1907)
↑ von Kármán, vol., „Festigkeitsproblem im Maschinenbau”, Encyk.
↑ E. Serda și L. Mahadevan, 2003, „Geometry and the Physics of Wrinkle” nat.
↑ Fizica - Simplificarea hârtiei mototolite . Consultat la 16 aprilie 2019. Arhivat din original pe 27 septembrie 2011. (nedefinit)
↑ 1 2 3 „Teoria elasticității”.
↑ Laplacianul bidimensional , Δ , este definit ca ${\displaystyle \Delta w:={\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\alpha })}={\frac {\partial ^{2}w} {\partial x_{1}^{2))}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2))))$
↑ Ecuațiile plăcilor von Karman . Consultat la 16 aprilie 2019. Arhivat din original pe 16 aprilie 2019. (nedefinit)
↑ 1 2 Ciarlet, PG (1990), Plates and Junctions in Elastic Multi-Structures , Springer-Verlag.
↑ Ciarlet, Philippe G. (1980), O justificare a ecuațiilor von Kármán
↑ Ciarlet, Philippe G. (1980), A justification of the von Kármán equations , Arhiva pentru mecanică rațională și analiză vol. 73 (4): 349–389. , DOI 10.1007/BF00247674
↑ De regulă, în acest punct se face ipoteza unui plan de stres zero .