Steagul (matematică)

Un steag este un lanț de subspații imbricate ale unui spațiu vectorial (sau un spațiu de alt tip, pentru care este definit conceptul de dimensiune ), având forma $L$

L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{k}=L,

Unde

0=\dim L_{0}<\dim L_{1}<\dim L_{2}<\cdots <\dim L_{k}=\dim L.

Conceptul de steag complet (sau maxim ), în care , și, prin urmare, un număr, este cel mai des întâlnit.De obicei, în definirea unui steag complet, o condiție suplimentară pentru direcționalitatea fiecărei perechi de subspații învecinate din lanț se adaugă (vezi definiția de mai jos). $\dim L_{i}=i$ $k=\dim L.$

Conceptul de steag este folosit în principal în algebră și geometrie (uneori numit și filtrare ).

Steagul complet

Un steag complet într-un spațiu vectorial de dimensiune finită este o succesiune de subspații $L$ $n$

L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{n},\quad \dim L_{i}=i,

unde subspațiul constă numai din vectorul zero, subspațiul coincide cu totul și fiecare pereche de subspații învecinate este direcționată , i.e. dintre cele două semi -spații în care se împarte subspațiul , se alege unul (cu alte cuvinte, perechea acestor semi-spații este ordonată ). $L_0$ $L_{n}$ $L$ $(L_{n}=L)$ $(L_{i}, L_{i-1})$ $L_{i-1}$ $L_{i}$

Fiecare bază a unui spațiu vectorial definește un steag complet în ea. Și anume, setăm (aici parantezele triunghiulare înseamnă anvelopa liniară a vectorilor dintre ei), iar pentru a stabili direcționalitatea perechii, alegem semi-spațiul care conține vectorul . $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $L$ $L_{i}=\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$ $(L_{i}, L_{i-1})$ $e_{i}$

Corespondența dintre baze și steagurile complete construite în acest fel nu este unu-la-unu: diferite baze ale spațiului pot defini același steag în el (de exemplu, în figura din dreapta, bazele și pe plan definesc același steag plin). Totuși, dacă spațiul vectorial este euclidian , atunci, operând nu cu baze arbitrare, ci numai cu baze ortonormale ale acestui spațiu, obținem o corespondență unu-la-unu între bazele ortonormale și steagurile pline. $e_{1},e_{2)$ ${\displaystyle e_{1},e'_{2))$ $L$

Prin urmare, pentru oricare două steaguri complete ale spațiului euclidian , există o transformare ortogonală unică care mapează primul steag cu al doilea. $L$ $A:L la L$

Steaguri în spații afine și geometrie Lobachevsky

Steaguri complete sunt definite într-un mod similar în spațiul afin și spațiul de dimensiune Lobachevskii : $n$

L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{n},\quad \dim L_{i}=i,

unde subspațiul constă dintr-un singur punct (spațiu afin sau spațiu Lobachevsky), numit centrul steagului , subspațiul coincide cu totul și fiecare pereche este direcționată . $L_0$ $L_{n}$ $L$ $(L_{n}=L)$ $(L_{i}, L_{i-1})$

Pentru oricare două steaguri complete ale unui spațiu afin euclidian sau spațiu Lobachevsky, există o mișcare a acestui spațiu care duce primul steag la al doilea și o astfel de mișcare este unică. Sophus Lie a numit această proprietate mobilitatea liberă a spațiului . Teorema Helmholtz-Lie afirmă că doar trei tipuri de spații (trei „mari geometrii”) au această proprietate: Euclid , Lobachevsky și Riemann . [unu]

Cuib

Într-un spațiu de dimensiuni infinite V, ideea unui steag este generalizată la un cuib. Și anume, un set de subspații, bine ordonate prin includerea subspațiilor închise, se numește cuib .

Literatură

Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Algebră liniară și geometrie, - M.: Nauka, 1986.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linear Algebra and Geometry, Fizmatlit, Moscova, 2009.

Note

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Linear algebra and geometry. - cap. XII, § 1. - M .: Fizmatlit, 2009.