Formula Wallis

Formula Wallis (de asemenea produsul Wallis ) este o formulă care exprimă un număr $\pi$ în termenii unui produs infinit al fracțiilor raționale:

{\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2 }-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right )\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{} 7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \\ \end{aliniat}}

Istorie

În 1655, John Wallis a propus o formulă pentru determinarea unui număr : $\pi$

{\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1 )}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}} \cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {10}{9}}\cdot {\frac {10}{11}}\cdot \ldots

J. Wallis a venit la ea, calculând aria unui cerc. Din punct de vedere istoric, formula lui Wallis a fost semnificativă ca fiind unul dintre primele exemple de produse infinite.

Dovada

Utilizează produsul Euler infinit pentru funcția sinus: [1]

{\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2} \pi ^{2}}}\dreapta).

Lasă atunci $x=\pi /2$

{\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right) ,

{\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n ^{2}-1}}\right)=\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1 )}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}} \cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \ldots \end{aliniat}}

Aplicație

Acest produs converge extrem de lent, astfel încât formula Wallis este de puțin folos pentru calculul practic al numărului. Cu toate acestea, este util în diferite studii teoretice, de exemplu, în derivarea formulei Stirling . Cu toate acestea, dacă corectăm ușor sfârșitul în această formulă: $\pi$

\pi \aprox \left[\prod _{n=1}^{m-1}{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)))\ dreapta]\cdot \left[{\frac {2m}{2m-1}}\cdot \left({\frac {2m}{2m+1}}\cdot {\frac {1}{4}}+1 \right)+{\frac {3}{4}}\right]={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3 }}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \left[{\frac {8}{ 7}}\cdot \left({\frac {8}{9}}\cdot {\frac {1}{4}}+1\right)+{\frac {3}{4}}\right],

atunci rata de convergență va crește cu aproximativ cinci ordine de mărime.

Note

↑ Formula Wallis . mathworld.wolfram.com . Preluat la 13 martie 2012. Arhivat din original la 10 octombrie 2020. (nedefinit)

Formula Wallis

Istorie

Dovada

Aplicație

Note

Link -uri