Muncă infinită

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 9 februarie 2020; verificarea necesită 1 editare .

În matematică , pentru o succesiune de numere, un produs infinit [1] $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$

\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\dots

este definită ca limita produselor parțiale la . Un produs se numește convergent atunci când există o limită și este diferită de zero. În caz contrar, produsul se numește divergent . Cazul în care limita este zero este considerat separat pentru a obține rezultate similare cu cele pentru sume infinite . $a_{1}a_{2}\dots a_{n)$ $n\la\infty$

Dacă toate numerele sunt pozitive, atunci se poate aplica operația cu logaritm. Apoi studiul convergenței unui produs infinit se reduce la studiul convergenței unei serii de numere . $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$

Convergență

Dacă produsul converge, atunci egalitatea limită trebuie satisfăcută . Prin urmare, logaritmul este definit pentru toate , cu excepția unui număr finit de valori, a căror prezență nu afectează convergența. Eliminând acest număr finit de termeni din șir, obținem egalitatea: $\lim _{n\to \infty }a_{n}=1$ $\ln a_{n}$ $n$ $\{un}\}$

\ln \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\ln a_{n},

în care convergența unei sume infinite din partea dreaptă este echivalentă cu convergența unui produs infinit din stânga. Acest lucru ne permite să reformulam criteriul pentru convergența sumelor infinite într-un criteriu pentru convergența produselor infinite. Pentru produse astfel încât pentru orice , notăm , atunci și , de unde urmează inegalitatea: $n$ $a_{n}\geqslant 1$ $p_{n}=a_{n}-1$ $a_{n}=p_{n}+1$ $p_{n}\geqslant 0$

1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leqslant \prod _{n=1}^{N}\left(1+p_{n}\right)\leqslant \ exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)

care arată că un produs infinit converge dacă și numai dacă o sumă infinită converge . $\prod _{n=1}^{\infty}a_{n)$ $\sum _{n=1}^{\infty}p_{n)$

Exemple

Exemple notabile de produse infinite, formule pentru un număr $\pi$ , descoperite, respectiv, de François Viet și John Wallis :

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{ 2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots

;

{\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\ cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot { \frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right )

Identitatea lui Euler pentru funcția zeta

\zeta (x)={\frac {1}{1-2^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-x}}}\cdots =\prod _{p}{\frac {1}{1 -p^{-x}}}

unde produsul este preluat peste toate numerele prime . Acest produs converge pentru . $\displaystyle p$ $x>1$

Reprezentarea unei funcții ca un produs infinit

În analiza complexă , se știe că sinusul și cosinusul pot fi descompuse într-un produs infinit de polinoame.

\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right )

\cos \pi z=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2n+1)^{2}}}\ dreapta)

Aceste expansiuni sunt o consecință a teoremei generale conform căreia orice funcție întreagă cu cel mult un număr numărabil de zerouri , unde punctul 0 este zero de ordin , poate fi reprezentată ca un produs infinit al formei $f$ $\{0\}\cup \{a_{n}\}\to \infty$ $\lambda$

$f(z)=z^{\lambda }e^{{h(z)}}\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}} \right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right )^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{{p_{n}}} \dreapta)$ ,

unde este o funcție întreagă, iar numerele întregi nenegative sunt alese în așa fel încât seria să convergă. La , numărul exponenţial corespunzător multiplicatorului este omis (se consideră egal cu ). $h$ $p_n$ $\sum _{1}^{\infty }\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{{p_{n}+1}}$ $p_{n}=0$ $n$ $\exp(0)=1$

Note

↑ Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - M. : Nauka, 1970. - T. 2. - S. 350-364.

Link -uri

Produse infinite de la Wolfram Math World