Casus ireducibilis

Casus irreducibilis ( latina pentru „caz ireductibil”) este un caz care poate apărea la rezolvarea unei ecuații cubice cu coeficienți întregi , când rădăcinile sunt exprimate prin radicali . Și anume, dacă un polinom cubic este ireductibil asupra numerelor raționale și are trei rădăcini reale , atunci pentru a exprima rădăcinile prin radicali, trebuie introduseexpresii cu valori complexe , chiar dacă valorile rezultate ale expresiilor sunt reale. Acest lucru a fost dovedit de Pierre Wantzel în 1843 [1] .

Discriminant al formulei lui Cardano

Este posibil să se determine dacă un polinom cubic dat se încadrează în cazul casus irreducibilis folosind discriminantul D din formula lui Cardano [2] [3] . Fie ecuația cubică dată ca

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0.\,

Discriminantul D , apărut în soluția algebrică, este dat de formula

D=18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}.\,

Dacă , atunci polinomul are două rădăcini complexe, deci acest caz nu se încadrează în casus irreducibilis . $D<0$
Dacă , atunci există trei rădăcini reale, două dintre ele sunt egale și pot fi găsite folosind algoritmul Euclid și formula pentru ecuația pătratică . Toate rădăcinile sunt reale și sunt exprimate prin radicali reali. Polinomul nu este ireductibil. $D=0$
Dacă , atunci există trei rădăcini distincte. Fie că există o rădăcină rațională, care poate fi găsită folosind teorema rădăcinilor raționale , caz în care polinomul cubic poate fi descompus în polinoame liniare și pătratice, rădăcinile celei de-a doua pot fi găsite folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice . Sau nu există o astfel de descompunere, astfel încât polinomul se încadrează în casus irreducibilis - toate rădăcinile sunt reale, dar sunt necesare numere complexe pentru a exprima rădăcinile în radicali. $D>0$

Declarație formală și dovadă

Mai general, să presupunem că F este un câmp real formal și p ( x ) ∈ F [ x ] este un polinom cubic care este ireductibil peste F dar are trei rădăcini reale (rădăcini în închiderea reală a lui F ). Casus irreducibilis afirmă atunci că este imposibil să găsim vreo soluție la ecuația p ( x ) = 0 în radicali reali.

Pentru a demonstra acest lucru [4] , observăm că discriminantul D este pozitiv. Formăm extensia câmpului . Deoarece va fi fie F , fie o extensie pătratică a câmpului F (în funcție de faptul că D este un pătrat în câmpul F ), rămâne ireductibil în el. Prin urmare , grupul Galois peste este un grup ciclic . Să presupunem că ecuația poate fi rezolvată în radicali reali. Apoi ne putem împărți într-un turn de extensii ciclice $F({\sqrt {D))}$ $p(x)$ $p(x)$ $F({\sqrt {D))}$ $C_{3}$ $p(x)=0$ $p(x)$

F\subset F({\sqrt {D))}\subset F({\sqrt {D)), {\sqrt[{p_{1)}]{\alpha _{1))})\ subset \cdots \subset K\subset K({\sqrt[{3}]{\alpha )))

La nivelul final al turnului, este ireductibil în penultimul câmp K , dar descompunebil în K ( 3 √ α ) pentru unele α . Dar aceasta este o extensie a câmpului ciclic și, prin urmare, trebuie să conțină o rădăcină primitivă a unității . $p(x)$

Cu toate acestea, nu există o a treia rădăcină primitivă a unității într-un câmp real închis. De fapt, să presupunem că ω este o a treia rădăcină primitivă a unității. Apoi, conform axiomelor care definesc câmpul ordonat , ω, ω 2 și 1 sunt toate pozitive. Totuși, dacă ω 2 >ω, pătratul va da 1>1, o contradicție. Obţinem şi o contradicţie în cazul ω>ω 2 .

Soluție în radicali nereali

Decizia lui Cardano

Ecuația poate fi redusă la trinomul redus prin împărțirea cu și înlocuirea ( Transformarea Tschirnhaus ), care dă ecuația , unde $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ $A$ $x=t-{\tfrac {b}{3a)}$ $t^{3}+pt+q=0$

p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}

q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.

Apoi, indiferent de numărul de rădăcini reale, conform metodei Cardano, trei rădăcini sunt date de ecuație

t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{ 3} \over 27}}}}}}+\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \ peste 4}+{p^{3} \over 27}}}}}

unde ( k =1, 2, 3) este rădăcina cubă a lui 1 ( , , și , unde i este unitatea imaginară ). Dacă expresiile radicalilor de sub rădăcina cubă nu sunt reale, rădăcinile cubice sunt exprimate prin radicali care sunt definiți de perechea de rădăcini cubice conjugate complexe , în timp ce atunci când sunt reale, aceste rădăcini cubice sunt definite de rădăcinile cubice reale. $\omega _{k)$ $\omega _{1}=1$ $\omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$ $\omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$

Casus irreducibilis apare atunci când niciuna dintre rădăcini nu este rațională și când toate cele trei rădăcini sunt distincte și reale. Cazul în care toate cele trei rădăcini reale sunt diferite apare dacă și numai dacă . În acest caz, formula lui Cardano ia mai întâi rădăcina pătrată a numărului negativ, care dă numărul imaginar , și apoi ia rădăcina cubă a numărului complex (această rădăcină cubă nu poate fi obținută în mod explicit în rădăcini reale pentru α și β , deoarece încercarea de exprimare în acest mod necesită rezolvarea ecuației cubice inițiale). Rețineți că chiar și în cazul reductibil, în care una dintre cele trei rădăcini este rațională și, prin urmare, polinomul poate fi extins prin împărțirea polinoamelor la o coloană , formula lui Cardano (opțional în acest caz) exprimă această rădăcină (și altele) în termeni de radicali nereali. ${\tfrac {q^{2}}{4}}+{\tfrac {p^{3}}{27}}<0$ $\alpha +\beta i$

Exemplu

Ecuație cubică redusă

x^{3}-3x+1=0

ireductibil, deoarece dacă ar putea fi factorizat ar exista un factor liniar care dă o soluție rațională, în timp ce după teorema rădăcinilor raționale nu există rădăcină rațională. Deoarece discriminantul polinomului este pozitiv, ecuația are trei rădăcini reale, deci acesta este un exemplu de casus irreducibilis . Formula lui Cardano dă aceste trei rădăcini reale

t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{1 \over 2}+{\sqrt {-3 \over 4)}))+\omega _{k }^{2}{\sqrt[{3}]{-{1 \over 2}-{\sqrt {-3 \over 4))))

pentru k =1, 2, 3. Această soluție radicală folosește numărul imaginar și, prin urmare, rădăcinile cubice ale numerelor complexe conjugate . ${\sqrt {-3 \over 4}}$

Soluție non-algebrică în termeni de cantități reale

În timp ce cazul casus irreducibilis nu poate fi rezolvat în radicali în termeni de valori reale, soluția poate fi găsită trigonometric [5] . Și anume, ecuația cubică redusă are soluții $t^{3}+pt+q=0$

t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3)}))\cos \left({\frac {1}{3))\arccos \left({\frac { 3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right)\quad

pentru

\quad k=0,1,2\,.

Aceste soluții sunt exprimate în numere reale dacă și numai dacă atunci când - adică dacă și numai dacă există trei rădăcini reale. Conform formulei, mai întâi se calculează un anumit unghi, apoi acest unghi este împărțit la trei, apoi se calculează cosinusul unghiului rezultat și, în final, se înmulțește cu factorul de normalizare. ${q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}<0$

Legătura cu trisecțiunea unui unghi

Diferența dintre cazurile reductibile și cele ireductibile cu trei rădăcini reale este legată de posibilitatea sau imposibilitatea de a împărți un unghi cu un sinus sau cosinus rațional în trei părți egale folosind construcția clasică a compasului și a dreptei . Dacă se știe că cosinusul unghiului θ are o anumită valoare rațională, atunci o treime din acest unghi are un cosinus, care este una dintre cele trei rădăcini ale ecuației

4x^{3}-3x-\cos(\theta )=0.

În mod similar, dacă se știe că sinusul unghiului θ are o anumită valoare rațională, atunci o treime din acest unghi are un sinus, care este una dintre cele trei rădăcini ale ecuației

-4y^{3}+3y-\sin(\theta )=0.

În ambele cazuri, dacă o rădăcină rațională a ecuației poate fi obținută din teorema rădăcinilor raționale, x sau y minus acea rădăcină poate fi extrasă din polinomul din partea stângă a ecuației, lăsând o ecuație pătratică care poate fi rezolvată pentru a obține celelalte două rădăcini. Atunci toate aceste rădăcini sunt obținute prin construcția clasică, deoarece ele pot fi exprimate în termeni de rădăcini pătrate, astfel încât sau sunt constructibile, iar atunci unghiul corespunzător este de asemenea constructibil . Pe de altă parte, dacă teorema rădăcinilor raționale arată că nu există rădăcini raționale, atunci obținem casus irreducibilis , sau nu poate fi construit, unghiul nu poate fi construit și este imposibil să se obțină o trisecție a unghiului θ prin metode clasice. . $\cos({\tfrac {\Theta}}{3)))$ $\sin({\tfrac {\Theta} {3)))$ ${\tfrac {\Theta {3)}$ $\cos({\tfrac {\Theta}}{3)))$ $\sin({\tfrac {\Theta} {3)))$ ${\tfrac {\Theta {3)}$

Generalizare

Casus irreducibilis poate fi generalizat la puteri mai mari ale polinoamelor după cum urmează. Fie p ∈ F [ x ] un polinom ireductibil care se descompune într-o extensie reală formală R a câmpului F (adică p are doar rădăcini reale). Să presupunem că p are o rădăcină la , care este o extensie a lui F prin radicali. Atunci puterea lui p este o putere a lui 2, iar câmpul său de divizare este o extensie pătrată iterată a câmpului F [6] [7] . $K\subseteq R$

Atunci, pentru orice polinom ireductibil al cărui grad nu este o putere a lui 2 și ale cărui rădăcini sunt toate reale, rădăcinile nu pot fi exprimate pur în termeni de radicali reali. Mai mult, dacă gradul unui polinom este de gradul 2 și toate rădăcinile sunt reale, atunci dacă există o rădăcină care poate fi exprimată în radicali reali, aceasta poate fi exprimată în termeni de rădăcini pătrate și nicio rădăcină de grad mai mare, ceea ce este valabil pentru alte rădăcini. Deci rădăcinile unui astfel de polinom sunt construite clasic .

Casus irreducibilis pentru o funcție de gradul al cincilea este discutat în articolul lui Dummit [8]

Note

↑ Wantzel, 1843 , p. 117–127.
↑ Cox, 2012 , p. 15, Teorema 1.3.1.
↑ Badiru, Omitaomu, 1952 , pp. 2-22.
↑ van der Waerden, 1949 , p. 180.
↑ Cox, 2012 , p. 18–19 Secțiunea 1.3B Soluția trigonometrică a cubicului.
↑ Cox, 2012 , p. 222 Teorema 8.6.5.
↑ Isaacs, 1985 , p. 571–572.
↑ David S. Dummit Solving Solvable Quintics Arhivat 7 martie 2012 la Wayback Machine , pagina 17

Literatură

Pierre Wantzel. Classification des nombres incommensurables d'origine algébrique (franceză) // Nouvelles Annales de Mathématiques . - 1843. - Vol. 2 . — P. 117–127 .
BL van der Waerden. Algebra modernă . — Frederick Ungar Publ. Co., 1949. - P. 180 .
- B.L. van der Waerden. Algebră. - M. : „Mir”, 1976.
David A. Cox. Secțiunea 1.3B Soluția trigonometrică a teoriei cubice // Galois. - Wiley-Interscience, 2012. - (Matematică pură și aplicată). - ISBN 0-471-43419-1 .
Adedeji B. Badiru, Olufemi A. Omitaomu. Manual de ecuații, formule și calcule de inginerie industrială / Adedeji B. Badiru. - CRC Press, 1952. - (Seria Industrial Innovation). — ISBN 978-1-4200-7627-1 .
David A. Cox. Teoria Galois. — al 2-lea. - John Wiley & Sons, 2012. - (Matematică pură și aplicată). — ISBN 978-1-118-07205-9 . - doi : 10.1002/9781118218457 . . Vezi în special secțiunea 1.3 Ecuații cubice asupra numerelor reale (pag. 15–22) și secțiunea 8.6 Casus Irreducibilis (pp. 220–227).
Bartel Leendert van der Waerden . Modern Algebra I. - Springer, 2003. - ISBN 978-0-387-40624-4 .
I.M. Isaacs. Rezolvarea polinoamelor prin radicali reali // American Mathematical Monthly . - 1985. - Octombrie ( vol. 92 , numărul 8 ).

Link -uri

casus irreducibilis (engleză) pe site-ul PlanetMath .