Formula Cardi

Formula Cardi este o formulă pentru limitarea probabilității de defalcare în problema de percolare bidimensională . Prevăzut la începutul anilor 1990 de Cardy pe baza raționamentului conform teoriei câmpului conform acesta afirmă că probabilitatea marginală de rupere între arce limita unui domeniu simplu conectat în problema critică a percolației este $[a,b]$ $[CD]$ $\Omega$

\Pi (\Omega ;[a,b],[c,d])={\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/3)\Gamma (4/3)))\eta ^{{1/3}}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3)),{\frac {2}{3));{\frac {4}{} 3)),\eta \right)=1-{\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/3)\Gamma (4/3)))(1-\eta )^{{ 1/3)){}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3)),{\frac {2}{3));{\frac {4}{3)) ,1-\eta\right),

unde este funcția hipergeometrică și este raportul dublu ${}_{2}F_{1}$ $\eta$

\eta ={\frac {x_{4}-x_{3}}{x_{3}-x_{1}}}:{\frac {x_{4}-x_{2}}{x_{2}- x_{1}}}

patru imagini ale punctelor sub maparea conformă a regiunii în semiplanul superior . [1] [2] [3] $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$ $a,b,c,d$ $\Omega$

Această formulă a fost reformulată de Lennart Carleson [4] în următoarea formă: dacă o hartă care transformă conform regiunii într-un triunghi regulat cu latura 1, iar punctele , și în vârfurile acestui triunghi, transformă punctul într-un punct situat la o distanţă de vârful imaginii , atunci probabilitatea dorită este [5] [2] . $\Omega$ $A$ $b$ $c$ $d$ $X$ $c$ $X$

Pentru cazul unei rețele triunghiulare, această formulă a fost dovedită riguros la începutul anilor 2000 de Stanislav Smirnov folosind tehnica funcțiilor armonice discrete . [5] [2] [6]

Formula

Context istoric

Întrebarea probabilității de defalcare pentru un model specific (tridimensional) (bile albe și negre ambalate într-o cutie de o dimensiune dată) a fost pusă încă din 1894 , în revista American Mathematical Monthly . De Volson Wood a sugerat [7] următoarea problemă:

Un număr egal de bile albe și negre de dimensiuni egale sunt aruncate în a

cutie dreptunghiulară, care este probabilitatea ca bile albe să fie în contact continuu de la un capăt al cutiei la capătul opus? Ca exemplu special, să presupunem că există 30 de bile în lungimea cutiei, 10 în lățime și 5 (sau 10)

straturi adânci

Este de remarcat faptul că soluția lui P. H. Philbrick publicată în acest număr a fost aproximativă (a presupus că existența defalcării în linie dreaptă era cea mai probabilă); în același loc, editorii s-au oferit să publice soluția exactă dacă o găsește cineva. După cum știm acum, ipoteza făcută în soluția aproximativă a fost departe de adevăr. [patru]

În 1957, Broadbent și Hammersley au pus bazele teoriei matematice a percolării în lucrarea lor [8] , al cărei punct de plecare a fost studiul scurgerii de gaz prin filtrul de carbon al unei măști de gaz [9] .

La începutul anilor 1990, apare lucrarea lui Langlands et al. [10] [11] , în care sunt studiate diverse probabilități de defalcare într-o regiune dreptunghiulară pentru șase modele diferite și se constată că (în limita exactității experimentelor numerice) acestea funcțiile pentru diferite modele coincid. În plus, Aizenman propune [12] [13] o presupunere despre invarianța conformă a probabilității de defalcare.

Aproape imediat după aceea, Cardi vine cu formula sa pentru probabilitatea de erupție. [unu]

Enunțul problemei

Formula Cardi oferă răspunsul la problema defecțiunii. Și anume, considerăm un domeniu simplu conexat în plan, cu patru puncte marcate pe graniță. Pentru fiecare , această zonă este aproximată printr-o rețea cu o treaptă (sau scară) - în funcție de problemă, pătrat, triunghiular sau mai complex; rezultă un grafic cu puncte marcate . $\Omega$ $a,b,c,d$ $\delta>0$ $\delta$ $\Omega ^{{\delta }}$ $a^{\delta },b^{\delta },c^{\delta },d^{\delta }$

Pentru fiecare , se găsește probabilitatea unei defalcări în acest grafic. Și anume, vârfurile graficului sunt independent, fiecare cu o probabilitate de 1/2, declarate „deschise” sau „închise”, iar probabilitatea dorită este probabilitatea de a avea o cale de la arc la arc care merge doar de-a lungul vârfurilor deschise. $\delta>0$ $\Pi _{{\delta ))$ $[a^{\delta },b^{\delta }]$ $[c^{\delta },d^{\delta }]$

În cele din urmă, probabilitatea de defalcare dorită este definită ca limita probabilităților „discretizate” ca , care tinde spre zero: $\Pi _{{\delta ))$ $\delta$

\Pi (\Omega ,[a,b],[c,d]):=\lim _({\delta \to 0}}\Pi _{{\delta }}.

Răspunsul lui Cardi

Răspunsul propus de Cardi (folosind teoria conformă a câmpului ) pentru probabilitatea de defalcare a fost:

Probabilitatea de defalcare este conform invariantă, adică dacă între regiuni și există o mapare conformă care transformă punctele de pe graniță în puncte de pe graniță , atunci $\Omega$ $\Omega '$ $\varphi$ $a,b,c,d$ $\Omega$ $a',b',c',d'$ $\Omega '$

\Pi (\Omega ;[a,b],[c,d])=\Pi (\Omega ';[a',b'],[c',d']).

Astfel, este suficient să setați probabilitatea de defalcare pentru o singură regiune pur și simplu conectată și trei dintre cele patru puncte pot fi fixate. $a,b,c,d$

În semiplanul superior pentru puncte , probabilitatea de defalcare este exprimată în termenii funcției hipergeometrice ca [2] $\mathbb {C} _{+}=\{Im\,z>0\)$ $0,1-u,1,\infty$ ${}_{2}F_{1}$

\Pi (\mathbb {C} _{+};[1-u,1],[\infty ,0])={\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/) 3)\Gamma (4/3)}}u^{1/3}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3)),{\frac {2}{3 ));{\frac {4}{3}},u\dreapta).

Această reprezentare poate fi rescrisă ca o integrală

\Pi (\mathbb {C} _{+};[1-u,1],[\infty ,0])={\frac {1}{\int _{0}^{1}( v(1-v))^{-2/3}dv}}\int _{0}^{u}(v(1-v))^{-2/3}dv.

Reformularea lui Carleson

La scurt timp după apariția formulei Cardi, Lennart Carleson a observat [4] că integrala din partea dreaptă a reprezentării integrale definește (ca funcție pe semiplanul superior) o mapare conformă a semiplanului superior pe o formă regulată. triunghi. Prin urmare, formula lui Cardi poate fi simplificată considerând ca zonă un triunghi regulat, în care trei din cele patru puncte marcate sunt la vârfuri. În acest caz, probabilitatea de defalcare se dovedește a fi pur și simplu raportul dintre cea a segmentelor , care nu este o latură a triunghiului, și latura triunghiului. $[a,b],[c,d]$

Dovada pentru cazul unei rețele triunghiulare

Formula Cardi pentru cazul unei rețele triunghiulare a fost dovedită de Smirnov folosind tehnica analizei complexe discrete. Unul dintre pașii demonstrației sale a fost extinderea probabilității de defalcare la o funcție din interiorul regiunii. Și anume, pentru o zonă discretizată cu trei puncte marcate pe graniță, considerăm o funcție pe această zonă care specifică probabilitatea de a avea o cale deschisă de la arc la arcul de limită care separă punctul de arc . Probabilitatea de defalcare este dată de valoarea acestei funcții în punctul limită . $\Omega _{{\delta ))$ $A_{{\delta }},B_{{\delta }},C_{{\delta }}$ $h_{{C,\delta }}(z)$ $A_{{\delta }}C_{{\delta }}$ $B_{{\delta }}C_{{\delta }}$ $A_{{\delta }}B_{{\delta }}$ $z$ $\Pi _{{\delta }}(\Omega _{{\delta }});[A_{{\delta }}B_{{\delta }}],[C_({\delta }}D_{{\ delta }}])$ $D_{{\delta }}$

Se dovedește că, în ceea ce privește suma a trei astfel de funcții,

h_{{\delta }}=h_{{A,\delta }}(z)+h_{{B,\delta }}(z)+h_{{C,\delta }}(z),

iar pentru combinarea lor liniară

s_{{\delta }}=h_{{A,\delta }}(z)+\tau h_{{B,\delta }}(z)+\tau h_{{C,\delta }}(z) ,\quad \tau =e^{{2\pi i/3}},

diferența antiholomorfă discretă se dovedește a fi mică (și tinde spre zero pe măsură ce treapta scade ). Aceasta implică faptul că funcțiile limită și sunt holomorfe . În sfârșit, funcția este holomorfă și ia doar valori reale; astfel, se dovedește a fi constantă și, datorită valorilor la limită, identic egală cu unitatea. ${\bar {\partial ))$ $\delta$ $h=\lim _{{\delta \to 0}}h_{{\delta }}$ $s=\lim _{{\delta \to 0}}s_{{\delta }}$ $h$

O analiză a funcției s arată că mapează conform zonei într-un triunghi regulat prin translatarea punctelor A, B și C în puncte ; formula Cardi este apoi restaurată pe baza studiului comportării funcţiilor la graniţă. $\Omega$ $0,1,e^{{\pi i/3}}$

Note

↑ 12 Cardy , 1992 .
↑ 1 2 3 4 Smirnov, 2006 .
^ Sheffield, S. și Wilson, Dovada lui D.B. Schramm a formulei lui Watts . Preluat la 11 septembrie 2011. Arhivat din original la 25 august 2012.
↑ 1 2 3 Smirnov S. K. Discurs la Congresul întreg rusesc al profesorilor de matematică de la Universitatea de Stat din Moscova . Preluat la 19 august 2011. Arhivat din original la 25 august 2012. (nedefinit)
↑ 1 2 Smirnov, 2001 , p. 241.
↑ Formula lui Beffara V. Cardy asupra rețelei triunghiulare, calea ușoară (link nu este disponibil) . Preluat la 17 august 2011. Arhivat din original la 31 august 2012. (nedefinit)
↑ Wood DV , Philbrick PH Solutions to problems: 5 // American Mathematical Monthly . - 1894. - V. 1 , Nr. 6 . - S. 211-212 .
↑ Broadbent SR, Hammersley JH Percolation processes, I. Cristale și labirinturi // Proc . Camb. Phil. Soc.. - 1957. - Vol. 53. - P. 629-641.
↑ Efros, 1982 , p. 1-2.
↑ Langlands RP, Pichet C., Pouliot Ph., Saint-Aubin Y. On the universality of crossing probabilities in two-dimensional percolation // Journal of Statistical Physics. — Vol. 67. - P. 553-574. - doi : 10.1007/BF01049720 .
↑ Langlands RP, Pichet C., Pouliot Ph., Saint-Aubin Y. On the Universality of Crossing Probabilities in Two-Dimensional Percolation // Preprint CRM-1785. — octombrie 1991.
↑ Langlands R., Pouliot Ph., Saint-Aubin Y. Conformal invariance in two-dimensional percolation // Bull. amer. Matematică. soc. (NS). — Vol. 30.—P. 1–61.
↑ Smirnov, 2001 , p. 239.

Link -uri

Austin D. Percolation: Slipping through the Cracks . Coloana caracteristică a Societății Americane de Matematică . Consultat la 8 septembrie 2011. Arhivat din original pe 15 mai 2012.

Literatură

Efros A.L. Fizica și geometria tulburării . - Biblioteca „Quantum” . - Moscova: Nauka , 1982. - 265 p.
Cardy J. Critical percolation in finite geometries // J. Phys. A. - 1992. - T. 25 . - C. L201-L206 .
Smirnov S. Percolarea critică în avion. I. Invarianța conformală și formula lui Cardy. II. Limită de scalare continuă. . (nedefinit)
Smirnov S. Percolarea critică în plan: invarianța conformă, formula lui Cardy, limitele de scalare // CR Acad. sci. Paris, Ser. I. - 2001. - Vol. 333. - P. 239-244.
Smirnov S. Critical percolation and conformal invariance (engleză) // XIVth International Congress on Mathematical Physics, Lisabona, Portugalia, 28 iulie - 2 august 2003 / Zambrini, Jean-Claude (ed.). - Hackensack, NJ: World Scientific Publishing, 2006. - P. 99-112 . — ISBN 978-9812562012 .
Formula lui Beffara V. Cardy pe rețeaua triunghiulară, calea ușoară (link indisponibil) . Preluat la 17 august 2011. Arhivat din original la 31 august 2012. (nedefinit)
Kesten H. Some Highlights on Percolation // Proceedings of the International Congress of Mathematicians: Beijing 2002, August 20-28. - T. 1 . - S. 345--362 . - ISBN 978-7040086904 .