Formula Larmor

Formula Larmor este folosită pentru a calcula puterea totală emisă de o sarcină punctiformă non-relativistă pe măsură ce accelerează . A fost obținut pentru prima dată de Joseph Larmor în 1897 [1] în contextul teoriei ondulatorii a luminii .

Când orice particulă încărcată (cum ar fi un electron , un proton sau un ion ) este accelerată, energia este radiată sub formă de unde electromagnetice . Pentru vitezele particulelor care sunt mici în comparație cu viteza luminii , puterea totală radiată este dată de formula lui Larmor:

P={2 \over 3}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {\dot {v}}{c} }\right)^{2}={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\ frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}

( unități SI )

P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3)))

( unități CGS )

unde sau este accelerația, este sarcina, este viteza luminii, este constanta electrică . Generalizarea relativistă este dată de potențialele Lienard-Wiechert . ${\punct {v)}$ $A$ $q$ $c$ $\varepsilon _{0}$

În orice sistem de unități, puterea radiată de un electron poate fi exprimată în termenii razei clasice a electronului și a masei electronului ca:

P={2 \over 3}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}

O consecință este că un electron care orbitează în jurul nucleului, ca în modelul Bohr , trebuie să piardă energie, să cadă pe nucleu, iar atomul trebuie să se prăbușească. Această ghicitoare nu a fost rezolvată până când a fost construită mecanica cuantică .

Concluzie

Folosind formula potențialului Lienard-Wiechert , câmpurile electrice și magnetice ale unei sarcini în mișcare pot fi scrise ca:

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=q\left({\frac {\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta )}}{\gamma ^{2}(1 -{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R^{2}}}\right)_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}} \left({\frac {\mathbf {n} \times [(\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]}{(1 -{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R}}\right)_{\rm {ret}}

și

\mathbf {B} =\mathbf {n} \times \mathbf {E} ,

unde este viteza de sarcină împărțită la , este accelerația de sarcină împărțită la c , este vectorul unitar în direcție , este modulul diferenței vectorului de rază , este vectorul de rază a sarcinii și . Termenii din dreapta sunt evaluați la lag time . ${\boldsymbol {\beta })$ $c$ ${\dot {\boldsymbol {\beta }}}$ $\mathbf {n}$ $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0)$ $R$ $|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|$ $\mathbf {r} _{0}$ $\gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}$ $t_{\text{r}}=tR/c$

Partea dreaptă este suma câmpurilor electrice asociate cu viteza și accelerația unei particule încărcate. Primul termen depinde doar de , în timp ce al doilea depinde de ambele și și de unghiul dintre ele. Deoarece primul termen este proporțional cu , valoarea lui absolută scade foarte rapid odată cu distanța. Pe de altă parte, al doilea termen este proporțional cu , ceea ce înseamnă că valoarea lui absolută scade mult mai lent cu distanța. Din această cauză, al doilea termen este câmpul de radiație și este responsabil pentru cea mai mare parte a pierderii de energie a sarcinii de accelerare. ${\boldsymbol {\beta })$ ${\boldsymbol {\beta })$ ${\dot {\boldsymbol {\beta }}}$ $1/R^{2}$ $1/R$

Putem găsi densitatea fluxului de energie al radiației prin calcularea vectorului Poynting :

\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} _{\text{a}}\times \mathbf {B} _{\text{a}},

unde indicele „a” subliniază că luăm doar al doilea termen din formula Lienard-Wiechert. În ipoteza că particula este în repaus în timp [2] , avem: $t_{\text{r)}$

\mathbf {S} ={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left|{\frac {\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times {\ punct {\boldsymbol {\beta }}}}}{R}}\right|^{2}\mathbf {n} .

Dacă introducem - unghiul dintre accelerație și vectorul de observare și accelerație , atunci puterea radiată pe unitatea de unghi solid este egală cu $\theta$ $\mathbf {a} = {\dot {\boldsymbol {\beta })}c$

d P d Ω = q 2 patru π c păcat 2 ⁡ ( θ ) A 2 c 2 . {\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a ^{2}}{c^{2}}}.}

{\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a ^{2}}{c^{2}}}.

Puterea totală radiată se găsește prin integrarea acestei mărimi peste toate unghiurile solide (adică peste și ). Asta da $\theta$ $\phi$

P = 2 3 q 2 A 2 c 3 , {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},}

P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},

care este formula Larmor pentru o sarcină accelerată nerelativistă. Ea leagă puterea emisă de o particule de accelerația acesteia. Din aceasta se vede clar că cu cât sarcina accelerează mai repede, cu atât radiația va fi mai mare. Acest lucru ar putea fi de așteptat, deoarece câmpul de radiație depinde de accelerație.

Generalizare relativistă

Forma covariantă

Formula nonrelatistă Larmor scrisă în termeni de impuls p are forma (în unități CGS) [3]

P = 2 3 q 2 m 2 c 3 | p ˙ | 2 . {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\mathbf {p}} } } |^{2}.}

P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\mathbf {p}} } } |^{2}.

Puterea P poate fi demonstrată ca fiind invariantă de Lorentz . Prin urmare, orice generalizare relativistă a formulei Larmor trebuie să relaționeze P cu o altă mărime invariantă de Lorentz. care apare în formula non-relativistă sugerează că formula relativistic corectă trebuie să includă scalarul 4 obținut prin luarea produsului scalar al accelerației 4 a μ = dp μ / d τ cu sine (aici p μ = (γ mc , γ m v ) − 4-impuls ). Generalizare relativista corecta a formulei Larmor (in unitati CGS) $|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}$

$P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dp_{\mu }}{ d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}.$

Se poate arăta că această circumvoluție este determinată de expresie

d p μ d τ d p μ d τ = β 2 ( d p d τ ) 2 − ( d p d τ ) 2 , {\displaystyle {\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac { dp}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf {p} }}{d\tau }}\right)^{2},} ${\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac { dp}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf {p} }}{d\tau }}\right)^{2},$

și prin urmare, în limita β ≪ 1 , se reduce la , reproducând astfel cazul nerelativist. $-|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}$

Formă necovariantă

Convoluția de mai sus poate fi scrisă și în termeni de β și derivata sa în timp. Apoi generalizarea relativistă a formulei Larmor (în unități cgs)

$P={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c}}\left[({\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}-({\ boldsymbol {\beta }}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}\right].$

Acesta este rezultatul lui Lienard , care a fost obținut pentru prima dată în 1898. înseamnă că atunci când factorul Lorentz este foarte aproape de unitate (adică ), radiația emisă de particule este neglijabilă. Cu toate acestea, odată cu , radiația crește, la fel ca și , pe măsură ce particula își pierde energia sub formă de unde electromagnetice. În plus, când accelerația și viteza sunt ortogonale, puterea scade cu , adică coeficientul devine . Cu cât particula se mișcă mai repede, cu atât această contracție devine mai mare. $\gamma ^{6}$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}})}$ $\beta \ll 1$ $\beta \rightarrow 1$ $\gamma ^{6}$ $1-\beta ^{2}=1/\gamma ^{2}$ $\gamma ^{6}$ $\gamma ^{4}$

Note

↑ Larmor J (1897). „LXIII.Despre teoria influenței magnetice asupra spectrelor; și asupra radiației de la ionii în mișcare” . Revista Filosofică . 5. 44 (271): 503-512. DOI : 10.1080/14786449708621095 . Arhivat din original pe 24.01.2022 . Preluat 2022-01-24 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor )Formula este menționată în textul de pe ultima pagină.
↑ cazul când este mai dificil. Este revizuită, de exemplu, în Griffiths, 2017 . $\beta \left(t_{\text {r)}\right)\neq 0$
↑ Jackson, 1965 .

Literatură

J. Larmor, „On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium”, Philosophical Transactions of the Royal Society 190 , (1897) pp. 205-300 (Al treilea și ultimul dintr-o serie de articole cu același titlu).
J. Jackson. Electrodinamică clasică / I. G. Nakhimson. - Moscova, strada 1 Riga, 2: Mir , 1965. - S. 212, 510.
Misner, Charles. Gravitație / Misner, Charles, Thorne, Kip S., Wheeler, John Archibald. - San Francisco: W.H. Freeman, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 .
Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoria câmpului. - ediția a VII-a, revizuită. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul II). — ISBN 5-02-014420-7 .
R. P. Feynman . Feynman Lectures on Gravitation / R. P. Feynman , F. B. Moringo, W. G. Wagner. - Addison-Wesley, 1995. - ISBN 0-201-62734-5 .
Griffiths, David J. Introducere în electrodinamică . — al 4-lea. - Cambridge University Press , 2017. - ISBN 978-1-108-42041-9 . - doi : 10.1017/9781108333511 .