Teorema Newton-Leibniz

Formula Newton-Leibniz , sau teorema fundamentală a analizei , dă relația dintre două operații: luarea integralei Riemann și calcularea antiderivatei .

Formulare

Formularea clasică a formulei Newton-Leibniz este următoarea.

Dacă o funcție este continuă pe un segment și este oricare dintre antiderivatele sale pe acest segment, atunci egalitatea $\textstyle f(x)$ $\left[a,b\right]$ $\textstyle \Phi (x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |} _{a}^{b}

Dovada

Fie dată o funcție integrabilă pe segmentul . $\left[a,b\right]$ $\textstyle f$

Să setăm o valoare arbitrară și să definim o nouă funcție . Este definit pentru toate valorile lui , pentru că știm că dacă există o integrală a lui on , atunci există și o integrală a lui on , unde . Amintiți-vă că luăm în considerare prin definiție $\textstyle x\în \left[a,b\right]$ $\textstyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ $\textstyle x\în \left[a,b\right]$ $\textstyle f$ $\left[a,b\right]$ $\textstyle f$ $\stanga[a,x\dreapta]$ $a\leqslant x\leqslant b$

$F(a)=\int \limits _{a}^{a}f(t)\,dt=0$ (unu)

observa asta

$F(b)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt$

Să arătăm că este continuă pe segmentul . Într-adevăr, să ; apoi $\textstyle F$ $\left[a,b\right]$ $x,x+h\în\stânga[a,b\dreapta]$

$F(x+h)-F(x)=\int \limits _{a}^{{(x+h)}}f(t)\,dt-\int \limits _{a}^{x} f(t)\,dt=\int \limits _{x}^{{(x+h)}}f(t)\,dt$

iar dacă , atunci $K=sup|f(t)|,a\leqslant t\leqslant b$

$|F(x+h)-F(x)|\leqslant {\bigg |}\int \limits _{x}^{{(x+h)))f(t)\,dt{\bigg |} \leqslant K|h|\to 0,h\to 0$

Astfel, este continuu indiferent dacă are sau nu discontinuități; este important ca acesta să fie integrabil pe . $\textstyle F$ $\left[a,b\right]$ $\textstyle f$ $\textstyle f$ $\left[a,b\right]$

Figura prezintă un grafic . Aria figurii variabile este . Creșterea sa este egală cu aria figurii , care, datorită limitării lui , tinde în mod evident la zero, indiferent dacă este un punct de continuitate sau discontinuitate , de exemplu, un punct .

\textstyle f

\textstyle aABx

\textstyle F(x)

\textstyle F(x+h)-F(x)

\textstyle xBC(x+h)

\textstyle f

h\la 0

\textstyle x

\textstyle f

\textstyle xd

Acum lăsați funcția să nu fie doar integrabilă pe , ci să fie continuă la punctul . Să demonstrăm că atunci are o derivată în acest punct egală cu $\textstyle f$ $\stanga[a,x\dreapta]$ $x\în\stânga[a,x\dreapta]$ $\textstyle F$

$\textstyle F'(x)=f(x)$ (2)

Într-adevăr, pentru punctul dat $\textstyle x$

${\dfrac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}f(t )\,dt={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}(f(x)+\eta (t))\,dt$ $={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}f(x)\,dt+{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{ x}^{{x+h}}\eta (t)\,dt=f(x)+o$ (1) , (3) $h\la 0$

Punem , iar din moment ce constanta este relativă la , atunci . În plus, datorită continuității la punctul , pentru oricine poate specifica astfel încât pentru . $\textstyle f(t)=f(x)+\eta (t)$ $\textstyle f(x)$ $\textstyle t$ $\textstyle \int \limits _{x}^{{x+h}}f(x)\,dt=f(x)h$ $\textstyle f$ $\textstyle x$ $\textstyle \varepsilon >0$ $\textstyle \delta$ $\textstyle |\eta (t)|<\varepsilon$ $\textstyle |xt|<\delta$

De aceea

$\left|{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}\eta (t)\,dt\right|\leqslant {\dfrac {1}{| h|}}|h|\varepsilon =\varepsilon ,|h|<\delta$

ceea ce demonstrează că partea stângă a acestei inegalități este o(1) pentru . $\textstyle h\la 0$

Trecerea la limita din (3) la arată existența derivatei lui la punctul și valabilitatea egalității (2). Aici vorbim despre derivatele din dreapta și, respectiv, din stânga. $\textstyle h\la 0$ $\textstyle F$ $\textstyle x$ $\textstyle x=a,b$

Dacă o funcție este continuă pe , atunci, pe baza celor dovedite mai sus, funcția corespunzătoare $\textstyle f$ $\left[a,b\right]$

$F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ (patru)

are o derivată egală cu . Prin urmare, funcția este antiderivată pentru on . $\textstyle f(x):F'(x)=f(x),a\leqslant x\leqslant b$ $\textstyle F(x)$ $\textstyle f$ $\left[a,b\right]$

Această concluzie este uneori numită teorema integrală a limitei superioare variabile sau teorema lui Barrow .

Am demonstrat că o funcție continuă arbitrară pe un interval are o antiderivată pe acest interval, definită prin egalitate (4). Aceasta dovedește existența unei antiderivate pentru orice funcție continuă pe un interval. $\left[a,b\right]$ $\textstyle f$

Să fie acum o antiderivată arbitrară a unei funcții pe . Știm că , unde este o constantă. Presupunând în această egalitate și ținând cont de faptul că obținem . $\textstyle \Phi$ $\textstyle f(x)$ $\left[a,b\right]$ $\textstyle \Phi (x)=F(x)+C$ $\textstyle C$ $\textstyle x=a$ $\textstyle F(a)=0$ $\textstyle \Phi (a)=C$

Astfel, . Dar $\textstyle F(x)=\Phi (x)-\Phi (a)$

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)$

De aceea

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)=\Phi (x){\bigg |}{\begin{matrix }x=b\\\\x=a\end{matrice}}$

Cu toate acestea, de fapt, cerința de continuitate a integrandului este redundantă. Pentru a îndeplini această formulă, este suficientă doar existența părților din stânga și din dreapta.

Dacă o funcție este integrabilă și are o antiderivată pe segmentul , — oricare dintre antiderivatele sale pe acest segment, atunci egalitatea $\textstyle f(x)$ $\left[a,b\right]$ $\textstyle \Phi (x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |} _{a}^{b}

Continuitatea este o condiție convenabilă în practică, deoarece garantează imediat atât integrabilitatea, cât și existența unui antiderivat. În absența acestuia, pentru aplicarea corectă, este necesar să se verifice ambele proprietăți, ceea ce este uneori dificil. Există funcții integrabile care nu au o antiderivată (orice funcție cu un număr finit de puncte de discontinuitate sau o funcție Riemann ) și neintegrabile care au o antiderivată (derivată completată cu zero la zero, pe orice segment care conține 0, sau funcția Volterra ). $x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2)}}$

Formula poate fi generalizată la cazul funcțiilor cu un număr finit de discontinuități. Pentru a face acest lucru, trebuie să generalizăm conceptul de antiderivat. Fie definită funcția pe un segment , cu excepția, poate, pentru un număr finit de puncte. O funcție se numește antiderivată generalizată dacă: $f$ $[a;b]$ $F$ $f$

Continuă pe un segment $[a;b]$
În toate punctele , cu posibila excepție a unui număr finit dintre ele, este diferențiabilă $[a;b]$
În toate punctele în care este diferențiabilă, cu excepția poate pentru un număr finit dintre ele, derivata sa este . $f$

Această definiție nu necesită ca derivata să fie egală în toate punctele în care este diferențiabilă. Cu acest concept, se poate generaliza și mai puternic formula Newton-Leibniz. $F$ $f$ $F$

Să fie definit peste tot, cu excepția, poate, pentru un număr finit de puncte. Dacă o funcție este integrabilă și are o antiderivată generalizată pe segmentul , — oricare dintre antiderivatele ei generalizate pe acest segment, atunci egalitatea $f$ $[a;b]$ $\textstyle f(x)$ $\left[a,b\right]$ $F(x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)={\Bigg .}F(x){\Bigg |}_{a }^{b}

Dovada

Deoarece funcția este integrabilă, se poate lua în considerare orice succesiune de partiții cu puncte marcate al căror diametru tinde spre zero. Limita sumelor integrale peste ele va fi egală cu integrala. $f$

Luați în considerare o secvență de partiții ale unui segment astfel încât diametrul partiției tinde spre zero ca . Să includem și în fiecare dintre aceste partiții punctele segmentului la care nu este diferențiabilă sau derivata sa nu este egală cu . Cu aceste puncte de împărțire suplimentare, notați . $[a;b]$ $\{T_{n}\}$ $n\la +\infty$ $[a;b]$ $F$ $f$ $T_{n}'$

Acum să setăm puncte marcate pe ele. Reparăm o anumită partiție . Apoi, prin presupunere, funcția este continuă pe fiecare dintre segmente și diferențiabilă pe intervalele . Condițiile teoremei lui Lagrange sunt îndeplinite și, prin urmare, există un astfel de punct încât . Luăm aceste puncte drept puncte de împărțire marcate . Apoi suma integrală peste o astfel de partiție va fi egală cu . $T_{n}=\{a=x_{0},\ldots ,x_{n}=b\}$ $F$ $[x_{i-1};x_{i}]$ $(x_{i-1};x_{i})$ $\xi _{i}\in (x_{i-1};x_{i})$ $f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})=F(x_{i})-F(x_{i-1})$ $\Xi _{n}=(\xi _{1},\ldots,\xi _{n})$ $T_{n}'$ ${\displaystyle:\sigma (f,T_{n}',\Xi _{n})=f(\xi _{1})(x_{1}-x_{0})+f(\xi _{ 2})(x_{2}-x_{1})+\ldots +f(\xi _{n})(x_{n}-x_{n-1})=-F(x_{0})+ F(x_{1})-F(x_{1})+F(x_{2})-\ldots -F(x_{n-1})+F(x_{n})=F(x_{n })-F(x_{0})=F(b)-F(a)}$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dt=\lim _{n\to +\infty }\sigma (f,T_{n}',Xi_{n}) =F(b)-F(a)

Dovada de mai sus este interesantă prin faptul că nu a folosit niciuna dintre proprietățile integralei, cu excepția definiției sale directe. Cu toate acestea, nu oferă o dovadă a formulei Newton-Leibniz în formularea clasică: pentru aceasta, este necesar să se dovedească suplimentar că orice funcție continuă este integrabilă și are o antiderivată.

Observație . Aplicarea fără gânduri a unei formule la funcții care nu sunt continue poate duce la o eroare. Un exemplu de calcul incorect:

\int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}=-{\frac {1}{x}}{\bigg |}_{- 1}^{1}=-1-1=-2,

deşi integrala unei funcţii pozitive nu poate fi negativă.

Cauza erorii: funcția nu este antiderivată (chiar generalizată) pentru o funcție pe un segment , pur și simplu pentru că nu este definită la zero. Funcția nu are deloc antiderivată pe acest segment. Mai mult decât atât, această funcție nu este de asemenea mărginită în vecinătatea lui zero și, prin urmare, nu este integrabilă Riemann. $-{\frac {1}{x}}$ ${\frac {1}{x^{2)})$ $[-1;1]$

Istorie

Chiar înainte de apariția analizei matematice, această teoremă (într-o formulare geometrică sau mecanică) era cunoscută de Gregory și Barrow . De exemplu, Barrow a descris acest fapt în 1670 ca o relație între sarcinile de pătrare și tangentă .

Newton a formulat teorema verbal după cum urmează: „Pentru a obține valoarea adecvată a zonei adiacente unei părți a abscisei , această zonă trebuie întotdeauna luată egală cu diferența dintre valorile lui z [antiderivată] corespunzătoare părților din abscisa delimitată de începutul și sfârșitul zonei.”

Nici Leibniz nu are o înregistrare a acestei formule în forma ei modernă, întrucât notarea unei integrale definite a apărut mult mai târziu, la Fourier la începutul secolului al XIX-lea.

Formularea modernă a fost dată de Lacroix la începutul secolului al XIX-lea.

Înțeles

Teorema fundamentală a analizei stabilește o legătură între calculul diferențial și integral . Conceptul de antiderivată (și, prin urmare, conceptul de integrală nedefinită) este definit prin conceptul de derivată și aparține astfel calculului diferențial. Pe de altă parte, conceptul de integrală Riemann definită este formalizat ca o limită către care converge așa-numita sumă integrală. Este independent de conceptul de derivată și aparține unei alte ramuri de analiză - calculul integral. Formula Newton-Leibniz ne permite să exprimăm o integrală definită în termenii antiderivatei.

Lebesgue integral

Funcția este o integrală nedefinită a funcției însumabile . Funcția este absolut continuă . $F(x):=C+\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$ $f(x)$ $F(x)$

Teorema ( Lebesgue ): este absolut continuă pe un interval dacă și numai dacă există un integrabil pe o funcție astfel încât pentru orice valoare a lui x de la a la b . $f(x)$ $[a,b]$ $[a,b]$ $g$ $f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}g(t)dt$

Din această teoremă rezultă că, dacă o funcție este absolut continuă pe , atunci derivata ei există aproape peste tot , este integrabilă și satisface egalitatea [1] : $f$ $[a,b]$

f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}f'(t)dt

, unde .

x\în[a,b]

Unele consecințe

Ca corolare ale acestei teoreme, se poate numi formula pentru schimbarea variabilelor, precum și teorema de expansiune Lebesgue pentru funcțiile monotone [1] .

Integrare pe părți

Fie și fie funcții absolut continue pe segment . Apoi: $f$ $g$ $[a,b]$

\int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int \limits _{ a}^{b}f(x)g'(x)dx

Formula decurge imediat din teorema principală de analiză și regula Leibniz [1] .

Variații și generalizări

Vezi și

Note

↑ 1 2 3 Bogachev V. I. , Smolyanov O. G. Analiză reală și funcțională: curs universitar. - M.-Izhevsk: Centrul de Cercetare „Dinamica obișnuită și haotică”, Institutul de Cercetări Calculatoare, 2009. - P. 188-197. — 724 p. - ISBN 978-5-93972-742-6 .

Literatură

Demidovich B. P. Departamentul 3. Formula Newton-Leibniz // Culegere de probleme și exerciții de analiză matematică. - 1990. - (Curs de matematică superioară şi fizică matematică).
Kamynin L. I. Analiză matematică. T. 1, 2. - 2001.
Nikiforovsky V. A. Calea către integrală. — M .: Nauka, 1985.