Calcul diferenţial

Calculul este o ramură a analizei matematice care studiază conceptele de derivată și diferențială și modul în care acestea pot fi aplicate la studiul funcțiilor . Formarea calculului diferențial este asociată cu numele lui Isaac Newton și Gottfried Leibniz . Ei au fost cei care au format în mod clar principalele prevederi și au indicat natura reciprocă a diferențierii și integrării. Crearea calculului diferențial (împreună cu integrala) a deschis o nouă eră în dezvoltarea matematicii. Legate de aceasta sunt discipline precum teoria serielor, teoria ecuațiilor diferențiale și multe altele. Metodele de analiză matematică și-au găsit aplicație în toate ramurile matematicii. Domeniul de aplicare a matematicii în științele naturii și tehnologie a devenit foarte răspândit.

Calculul diferențial se bazează pe concepte atât de importante ale matematicii, a căror definiție și studiu fac obiectul introducerii în analiza matematică: numere reale (linia numerică), funcție, graniță, continuitate. Toate aceste concepte au primit o interpretare modernă în cursul dezvoltării și justificării calculului diferențial și integral.

Ideea de bază a calculului diferențial este de a studia o funcție în mic. Mai precis, calculul diferenţial oferă un aparat pentru studierea funcţiilor al căror comportament într-o vecinătate suficient de mică a fiecărui punct este apropiat de comportamentul unei funcţii liniare sau a unui polinom. Astfel de aparate sunt conceptele centrale ale calculului diferenţial: derivată şi diferenţială .

Calcul diferențial al funcțiilor unei variabile

Derivat

Fie definită o funcție într-o vecinătate și pentru orice > 0 există astfel încât $g(h)$ $h=0$ $\epsilon$ $\delta$

|g(h)/h^{n}|<\epsilon

, doar

|h|<\delta ,

atunci spunem că este un infinitezimal de ordine . $g(h)$ $o(h^{n})$

Fie o funcție cu valoare reală definită pe segmentul . Această funcție se numește infinit derivabilă pe intervalul dacă $f(x)$ $(a,b)$ $(a,b)$

f(x+h)=f(x)+f'(x)h+{\frac {1}{2!}}f''(x)h^{2}+\dots {\frac {1}{ n!}}f^{{(n)}}(x)h^{n}+o(h^{n})

pentru oricine si oricine . Astfel, local, în vecinătatea oricărui punct al segmentului, funcția este arbitrar bine aproximată printr -un polinom . Funcțiile care sunt netede pe un segment formează un inel de funcții netede . $x\in(a,b)$ $n$ $(a,b)$ $C^{\infty }(a,b)$

Cote $f^{{(n)}}(x)$

f^{{(m)}}(x+h)=f^{{(m)}}(x)+f^{{(m+1)))(x)h+\dots {\frac {1 }{n!}}f^{{(m+n)}}(x)h^{n}+o(h^{n})

Aceste funcții se numesc derivate ale funcției . Prima derivată poate fi calculată ca limită $f(x)$

f'(x)=\lim \limits _{{h\to 0}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

Operatorul care mapează o funcție la derivata ei este notat ca $f(x)$ $f'(x)$

D={\frac {d}{dx))

Mai mult, pentru două funcții netede f și g,

D(f+g)=Df+Dg

și

D(fg)=fDg+gDf

Un operator cu aceste proprietăți se numește o derivație a unui inel de funcții netede.

Orice funcție analitică care este holomorfă pe interval este o funcție netedă, dar invers nu este adevărat. Principala diferență dintre funcțiile analitice și cele netede este că primele sunt complet determinate de comportamentul lor în vecinătatea unui punct, în timp ce cele din urmă nu sunt. De exemplu, o funcție netedă poate fi constantă într-o vecinătate de un punct, dar nu poate fi constantă peste tot. Funcțiile elementare din domeniul lor (deschis) de definire sunt funcții analitice și, în consecință, netede. Totuși, spre deosebire de funcțiile analitice, funcțiile netede pot fi definite la intervale diferite prin expresii elementare diferite. $(a,b)$

Linie tangentă

Drept

y=f(c)+f'(c)(xc)

traversează curba

y=f(x)

într-un punct în aşa fel încât semnul expresiei $(c,f(c))$

f(x)-f(c)-f'(c)(xc)={\frac {1}{2}}f''(c)(xc)^{2}+o((xc)^{ 2})

starea rămâne aceeași tot timpul, deci curba $f''(c)\nu =0$

y=f(x)

se află pe o parte a liniei

y=f(c)+f'(c)(xc)

O linie dreaptă cu proprietatea indicată se numește tangentă la curbă într-un punct (după B. Cavalieri ). Punctul în care curba $x=c$ $x=c$

y=f(x)

nu se află pe aceeași parte a liniei

y=f(c)+f'(c)(xc)

numită punct de inflexiune , în timp ce linia este încă numită tangentă. Pentru uniformitate, conceptul de tangentă în sine este adesea introdus diferit, astfel încât ambele cazuri se încadrează în el.

Puncte extreme

Un punct se numește punct local maxim ( minim ) dacă $x=c$

f(c)-f(c+h)>0\quad (f(c)-f(c+h)<0)

pentru toate modulo suficient de mici . Din relatie $h$

f'(c)h+{\frac {1}{2}}f''(c)h^{2}+o(h^{2})<0

este imediat clar că este o condiție necesară pentru un maxim și este o condiție suficientă pentru un maxim. Condiția evidențiază punctele maxime, minime și de inflexiune. $f'(c)=0$ $f''(c)<0$ $f''(c)=0$

Funcții continue

Fie definite și la sfârșitul intervalului ; se spune că este continuă pe dacă pentru oricare există astfel încât $f$ $[a,b]$ $[a,b]$ $\epsilon$ $\delta$

|f(x)-f(x+h)|<\epsilon

, doar

|h|<\delta ,

iar punctele nu depăşesc limitele intervalului . Teorema Weierstrass afirmă că o funcție care este netedă pe un interval își atinge valorile minime și maxime pe un interval. Conceptul de continuitate a unei funcții este de obicei legat de conceptul de limită a unei funcții . Funcțiile continue pe un interval formează un inel de funcții continue . $x,\,x+h$ $[a,b]$ $[a,b]$ $Taxi]$

Istorie

În secolul al XII-lea, matematicianul Sharafuddin at-Tusi din statul turco-mongol Hulagu a fost primul care a găsit derivata unei funcții cubice, un rezultat important în calculul diferențial. A fost scris un „Tratat de ecuații” în care s-au dezvoltat concepte legate de calculul diferențial, precum derivata unei funcții și maximele și minimele curbelor, pentru rezolvarea ecuațiilor cubice care nu pot avea o soluție pozitivă.

Teoreme fundamentale ale calculului diferenţial

Inelul de funcții continuu și net are o serie de proprietăți importante: $[a,b]$ $(a,b)$

Teorema lui Rolle : dacă , atunci există un punct maxim sau minim în care dispare. $f(a)=f(b)$ $c\in(a,b)$ $f'$
Teorema lui Lagrange : există un astfel de punct încât $c\in(a,b)$

{\frac {f(b)-f(a)}{ba}}=f'(c)

Teorema lui Cauchy : dacă este activat , atunci există un punct astfel încât $g'\nu=0$ $(a,b)$ $c\in(a,b)$

{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)))

Din teorema Lagrange, se derivă formula Taylor cu un termen de rest în forma Lagrange: pe orice segment există puncte astfel încât $(a',b')\subset (a,b)$ $c_n$

f(b')=f(a')+f'(a')(b'-a')+{\frac {1}{2!}}f''(a')(b'-a' )^{2}+\dots {\frac {1}{n!}}f^{{(n)}}(a')(b'-a')^{n}+R_{n}

Unde

R_{n}={\frac {1}{(n+1)!}}f^{{(n+1)}}(c_{n})(b'-a')^{{n+1 }}

Folosind această formulă, puteți calcula aproximativ valorile unei funcții într-un punct din valorile cunoscute ale funcției și derivatele sale într-un punct . $b'$ $A'$

Din teorema lui Cauchy se derivă regula lui L'Hopital : dacă sau , și pe , atunci $f(b)=g(b)=0$ $f(b)=g(b)=\infty$ $g'\nu=0$ $(a,b)$

\lim \limits _{{x\rightarrow b-0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{{x\rightarrow b-0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},

iar existenţa celei de-a doua limite implică existenţa primei.

Vezi și

Calculul variațiilor
Analiza funcțiilor multor variabile
Calcul integral
Pentru o schiță istorică și bibliografie, consultați articolul Calcul .
Calcul diferențial asupra algebrelor comutative

Literatură

Grave D.A .,. Calcul diferențial // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
Vinogradov I.M. (ed.) Enciclopedia de matematică . Volumul 2. Moscova : Enciclopedia sovietică , 1977
Bronshtein IN , Semendyaev KA , Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai colegiilor tehnice . Moscova: Nauka, 1981.