Funcții Jost

Funcții Jost (Jost solutions, ing. Jost functions , ing. Jost solutions ) - soluții ale ecuației Schrödinger unidimensionale pentru un potențial care se încadrează la infinit.

Definiție matematică

Enunțul problemei

Considerăm un operator Schrödinger unidimensional de formă

H=-{\frac {{\mathrm d}^{2}}{{\mathrm d}x^{2}}}+u(x),\quad x\in {\mathbb R},

unde potenţialul este definit pe mulţimea numerelor reale ca funcţie aparţinând clasei de integrabile local. Problema corespunzătoare de găsire a valorilor proprii va avea forma [1] $u(x)$ $\lambda =k^{2}$

-\psi (x)''+u(x)\psi (x)=k^{2}\psi (x).

Definiție

Să impunem o condiție asupra potențialului din formă

\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }(1+|x|)|u(x)|{\mathrm d}x<\infty ,

ceea ce înseamnă că funcția scade mai repede decât 1/x 2 . Aceasta înseamnă că pentru k real există soluții la ecuația Schrödinger unidimensională, care sunt determinate în mod unic de asimptoticele de la infinit $u(x)$ $|x|\la \infty$

f_{1}(x,k)=e^{{-ikx}}+o(1),\quad x\to -\infty ,

f_{2}(x,k)=e^{{ikx}}+o(1),\quad x\to \infty ,

numite soluții Jost [1] după fizicianul elvețian Res Jost . [2] În cazul general (și pentru complexul k ) se poate demonstra că, având în vedere condiția de mai sus pe , există patru soluții ale ecuației Schrödinger unidimensionale care satisfac ecuațiile integrale $u(x)$

f_{1}(x,k)=e^{{-ikx}}-\int \limits _{{-\infty }}^{x}{\frac {\sin k(\xi -x)}{ k}}u(\xi )f_{1}(\xi ,k){\mathrm d}\xi ,

\overline {f_{1}}(x,k)=e^{{-ikx}}-\int \limits _{{-\infty }}^{x}{\frac {\sin k(\xi - x)}{k}}u(\xi )\overline {f_{1}}(\xi ,k){\mathrm d}\xi ,

f_{2}(x,k)=e^{{ikx}}+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}}u (\xi )f_{2}(\xi ,k){\mathrm d}\xi ,

\overline {f_{2}}(x,k)=e^{{ikx}}+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin k(\xi -x)}{ k}}u(\xi )\overline {f_{2}}(\xi ,k){\mathrm d}\xi ,

unde overbar înseamnă conjugare complexă . Mai mult, funcțiile în sine și derivatele lor față de x sunt continue față de k at și sunt analitice at și aceste soluții sunt unice. [3] Ecuațiile pentru funcțiile Jost pot fi obținute direct din condițiile la limită și din ecuația Schrödinger folosind funcția lui Green sub forma ${\mathrm I}m\,k\geq 0$ ${\mathrm I}m\,k>0$

G(x,\xi ,k)=\left\lbrace {\begin{array}{ll}{\frac {\sin k(\xi -x)}{k)),&\xi <x\\0 ,&\xi >x\end{matrice}}\right.,

sau substituție directă. [patru]

Utilizare

Funcțiile Jost sunt aplicate în problemele de împrăștiere și în teoria solitonilor . [5] [6]

Note

↑ 1 2 Takhtajian, 2008 , p. 155.
↑ Scheck, 2007 , p. 157.
↑ Dodd și colab., 1988 , p. 125-127.
↑ Novokshenov, 2002 , p. 42-43.
↑ Takhtajian, 2008 , pp. 136-139.
↑ Novokshenov, 2002 , p. 41-46.

Literatură

Dodd, R., Eilbeck, J., Gibbon, J., Morris, X. Solitons and non-linear wave ecuations. — M .: Mir, 1988. — 694 p.
Novokshenov, V. Yu. Introducere în teoria solitonilor. - Izhevsk: Institutul de Cercetare Informatică, 2002. - 96 p. - ISBN 5-93972-100-1 .
Slavianinov, S. Iu. Soluții asimptotice ale ecuației Schrödinger unidimensionale. - American Mathematical Soc., 1996. - Vol. 151. - 190 p. — (Traduceri de monografii matematice, Prelegeri de matematică aplicată). — ISBN 9780821805367 .
Scheck, F. Fizică cuantică. - Springer, 2007. - 738 p. — ISBN 9783540256458 .
Takhtadzhian, L.A. Mecanica cuantică pentru matematicieni. - American Mathematical Soc., 2008. - Vol. 95. - 387 p. - (Studii universitare de matematică). — ISBN 9780821846308 .