Chiralitate (matematică)

Chiralitate - absența simetriei oglinzii într-o figură; mai precis, figura nu poate fi combinată cu copia sa în oglindă. O figură chirală și imaginea ei în oglindă se numesc enantiomorfi . Cuvântul chiralitate provine din altă greacă. χειρ (kheir) - „mână”. Este cel mai faimos obiect chiral. Cuvântul enantiomorf provine din altă greacă. εναντιος (enantios) - „opus”, iar μορφη (morphe) - „formă”. Un obiect non-chiral se numește achiral sau amfichiral .

O spirală (precum și fire răsucite, un tirbușon , o elice etc.) și o bandă Möbius sunt obiecte chirale tridimensionale. Tetrimino-urile în formă de J, L, S și Z din popularul joc Tetris au și chiralitate , dar numai în 2D.

Unor obiecte chirale, cum ar fi un șurub , li se poate atribui o orientare pentru dreapta sau pentru stânga , conform regulii mâinii drepte .

Grupuri de chiralitate și simetrie

O figură este achirală dacă și numai dacă grupul său de simetrie conține cel puțin o izometrie care schimbă orientarea. În geometria euclidiană, orice izometrie are forma , unde este o matrice ortogonală și este un vector . Determinantul matricei este 1 sau −1. Dacă este −1, atunci izometria își schimbă orientarea , în caz contrar, păstrează orientarea. $v\mapsto Av+b$ $A$ $b$ $A$

Chiralitate în spațiul 3D

În spațiul tridimensional, orice figură care are un plan de simetrie sau un centru de simetrie este achirală. Cu toate acestea, există figuri achirale care nu au nici un centru, nici un plan de simetrie, de exemplu:

$F_{0}=\left\{(1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0),(0,-1,0),(2,1 ,1),(-1,2,-1),(-2,-1,1),(1,-2,-1)\dreapta\}$

Această figură este invariantă sub o transformare inversă de orientare și, prin urmare, este achirală, dar nu are nici un plan, nici un centru de simetrie. Figura $(x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)$

$F_{1}=\left\{(1,0,0),(-1,0,0),(0,2,0),(0,-2,0),(1,1 ,1),(-1,-1,-1)\dreapta\}$

este și achiral, deoarece originea coordonatelor este centrul de simetrie pentru ea, dar nu are un plan de simetrie.

Chiralitate în două dimensiuni

În spațiul bidimensional, orice figură care are o axă de simetrie este achirală. Se poate arăta că orice figură achirală mărginită are o axă de simetrie. Pentru cifre infinite, acesta nu este neapărat cazul. Luați în considerare următoarea cifră (finală):

>> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >>

Aceasta este o figură chirală, deoarece nu se potrivește cu imaginea în oglindă:

>> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >>

Dar dacă o continuați la dreapta și la stânga până la infinit, atunci obțineți o figură achirală nelimitată care nu are o axă de simetrie. Grupul său de simetrie este grupul de bordura generat de o singură reflexie cu privirea .

Teoria nodurilor

Se spune că un nod este achiral dacă poate fi deformat continuu în imaginea sa în oglindă, în caz contrar se spune că este chiral. De exemplu, nodul neînnodat și figura de opt sunt achirale, în timp ce nodul trefoil este chiral.

Vezi și

Link -uri

Teoria matematică a chiralității (Michel Petitjean )