Lanțul Toda

Lanțul lui Toda este un sistem de ecuații neliniare discrete care descriu dinamica oscilatoarelor neliniare interconectate . Este de mare importanță în teoria vibrațiilor rețelelor cristaline .

Sistemul în cazul general are forma [1] :

m{\ddot {r}}_{n}=2f(r_{n})-f(r_{n+1})-f(r_{n-1})

unde are semnificația abaterii celui de-al n-lea oscilator de la poziția de echilibru și este o funcție neliniară care are semnificația forței de restabilire care acționează asupra i-lea oscilator. Punctele înseamnă luarea operației de diferențiere . $r_{n}(t)$ $f(r_{i})$

Primul propus și analizat pentru cazul de către Morikazu Toda în 1967 [2] [3] . $f(t)=-\alpha (1-\exp(-\beta t))$

Forma echivalentă

Este convenabil să analizăm ecuația lanțului Toda în forma echivalentă a următoarei forme

{\dot {s}}_{n}=f(r_{n})

m{\dot {r}}_{n}=2s_{n}-s_{n+1}-s_{n-1}

Hotărâri

Se poate arăta că ecuațiile care descriu dinamica lanțului Toda au soluții sub formă de unde călători staționare , având forma

s_{n}=S(\theta)=S(\omega t-pn)

unde funcția în cazul , satisface ecuația $S(\theta )$ $f(r_{i})=-\alpha (1-\exp(-\beta t))$

{\frac {m\omega ^{2}}{\beta }}{\frac {S''}{\alpha +\omega S'}}=S(\theta +p)+S(\ theta -p)-S(\theta)

Soluția acestei ecuații este exprimată în termenii funcțiilor eliptice Jacobi :

S(\theta)=bZ(2K\theta)

Unde

Z(\theta)=E(\theta)-\theta {\frac {E(K)}{K))

este funcția zeta Jacobi cu perioada 2 K

E(\zeta)=\int \limits _{0}^{\zeta }\mathrm {dn} ^{2}zdz

Aici K este o integrală eliptică completă de primul fel. Legătura dintre coeficienții b și cu parametrii , și m este destul de complicată, dar este simplificată în cazuri limită. $\omega$ $\alfa$ $\beta$

Funcția se găsește din relație $r_{n}$

-\alpha \left(1-e^{-\beta r_{n}}\right)={\dot {s}}_{n}=2K\omega b\left(\mathrm {dn} ^{2}2K\theta -{\frac {E}{K}}\dreapta)

O soluție specială este soluția localizată solitar de tip soliton . Se poate obtine in limita , cu indeplinirea simultana a conditiilor: $K\to \infty$

2K\omega \to \Omega

2Kp\la P

În acest caz, funcțiile eliptice devin hiperbolice, iar soluția ia forma

-\alpha \left(1-\beta e^{-r_{n}}\right)={\frac {m\Omega ^{2}}{\beta \cosh ^{2}\left[ \Omega t-Pn\right]}}

M. Toda a arătat în lucrările sale că acești solitoni nu își schimbă forma inițială după ce interacționează între ei. Orice distribuție inițială în procesul de evoluție este împărțită în mulți solitoni. Rezolvarea exactă a acestei probleme a fost obținută prin metoda împrăștierii inverse [4] [5] .

Note

↑ J. Whitham. Unde liniare și neliniare . - Mir, 1977. - S. 554. - 622 p.
↑ Morikazu Toda. Vibrația unui lanț cu interacțiune neliniară // J. Phys . soc. Jpn. . - 1967. - Vol. 22 . — P. 431-436 .
↑ Morikazu Toda. Propagarea undelor în rețele anarmonice // J. Phys . soc. Jpn. . - 1967. - Vol. 23 . — P. 501-506 .
↑ S. V. Manakov. Despre integrabilitatea completă și stocastizarea în sisteme dinamice discrete // ZhETF . - 1974. - T. 67 , nr 2 . - S. 543-555 .
↑ H. Flashka. Pe zăbrele Toda II (engleză) // Progr. Theor. Fiz. . - 1974. - Vol. 51 . - P. 703-716 .

Literatură

Morikazu Toda. Studii ale unei rețele neliniare (engleză) // Physics Reports . - 1975. - Vol. 18 , iss. 1 . - P. 1-123 .
J. Whitham. Unde liniare și neliniare . - Mir, 1977. - S. 584-588. — 622 p.