Oscilator armonic cuantic

Un oscilator armonic cuantic este un model fizic în mecanica cuantică , care este un potenţial parabolic pentru o particulă cu masă şi este un analog al unui oscilator armonic simplu . Când analizăm comportamentul acestui sistem, luăm în considerare nu forțele care acționează asupra particulei, ci Hamiltonianul , adică energia totală a oscilatorului, iar energia potențială se presupune că este dependentă pătratic de coordonate. Luând în considerare următorii termeni în expansiunea energiei potențiale de-a lungul coordonatei duce la conceptul de oscilator anarmonic . $m$

Problema oscilatorului armonic în reprezentarea coordonatelor

Hamiltonianul unui oscilator cuantic de masă m, a cărui frecvență naturală este ω, arată astfel:

\!{\hat {H}}={\frac {{\hat p}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}{\hat q}^{2}} {2}}

În reprezentarea coordonată , . Problema găsirii nivelurilor de energie ale unui oscilator armonic se reduce la găsirea unor astfel de numere E pentru care ecuația diferențială parțială ${\hat p}=-i\hbar \partial /\partial x$ ${\hat q}=x$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x)+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}\psi (x)=E\psi (x)

are o soluție în clasa funcțiilor integrabile pătrate .

Pentru $E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)\ ,\ n=0,1,2,\ldots$

solutia arata asa:

\psi _{n}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2^{n}n!))))\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{{1/4}}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\ stânga({\sqrt {{\frac {m\omega }{\hbar }}}}x\dreapta),

funcțiile sunt polinoame Hermite : $H_n$

H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{{x^{2}}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{{- x^{2}}}

Acest interval de valori E merită atenție din două motive: în primul rând, nivelurile de energie sunt discrete și egal distanțate (echidistant) , adică diferența de energie între două niveluri adiacente este constantă și egală cu ; în al doilea rând, cea mai mică valoare energetică este . Acest nivel se numește principal , vid sau nivel de oscilații zero . $\hbar \omega$ $\hbar \omega /2$

Operatori de creare și distrugere

Este mult mai ușor să obțineți spectrul unui oscilator armonic folosind operatorii de creare și anihilare conjugați unul cu celălalt.

Operatorul de naștere este , operatorul de anihilare este , comutatorul lor este egal cu ${\hat {a}}^{+}$ ${\hat {a}}$

[{\hat {a}),{\hat {a}}^{+}]={\hat {a}}{\hat {a}}^{+}-{\hat {a} }^{+}{\hat {a}}={\frac {i}{\hbar }}({\hat {p}}{\hat {q}}-{\hat {q}}{\hat {p)))=1

Folosind operatorii de creare și anihilare, Hamiltonianul unui oscilator cuantic poate fi scris într-o formă compactă:

{\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{+}{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left({\hat {n}}+{\frac {1}{2}}\right)

unde este operatorul numărului de nivel (numerele de umplere). Vectorii proprii ai unui astfel de Hamiltonian sunt stări Fock , iar reprezentarea soluției problemei în această formă se numește „reprezentarea numărului de particule”. ${\hat {n}}={\hat {a}}^{+}{\hat {a}}$

Oscilator anarmonic

Un oscilator anarmonic este înțeles ca un oscilator cu o dependență non-quadratică a energiei potențiale de coordonată. Cea mai simplă aproximare a unui oscilator anarmonic este aproximarea energiei potențiale până la al treilea termen din seria Taylor :

{\hat {H}}={{\hat {p}}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}{\hat {q}}^{ 2}+\lambda {\hat {q}}^{3}

Soluția exactă a problemei spectrului energetic al unui astfel de oscilator este destul de laborioasă, totuși, este posibil să se calculeze corecțiile la energie, dacă presupunem că termenul cubic este mic în comparație cu cel pătratic și folosim perturbația teorie .

În reprezentarea operatorilor de creare și anihilare (a doua reprezentare de cuantizare), termenul cubic este egal cu

\lambda \left({\hbar \over 2m\omega }\right)^{{3 \over 2}}({\hat {a}}+{\hat {a}}^{+})^{3 }.

Acest operator are zero elemente diagonale și, prin urmare, lipsește prima corecție a teoriei perturbațiilor. A doua corecție la energia unei stări arbitrare fără vid este $\left|\psi _{E}\right\rangle$

\Delta E^{{(2)}}=\lambda ^{2}\left\langle \psi _{E}\right|q^{3}{1 \over E-\hbar \omega /2}q ^{3}\left|\psi _{E}\right\rangle .

Oscilator cuantic multiparticule

În cel mai simplu caz al interacțiunii mai multor particule, se poate aplica modelul unui oscilator cuantic cu mai multe particule, implicând interacțiunea particulelor învecinate conform unei legi pătratice:

{\hat {H}}=\sum _{i=1}^{N}({\hat {p}}_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2} m\omega ^{2}\sum _{i<j}^{N}({\hat {q}}_{i}-{\hat {q}}_{j})^{2}

Aici, prin și ne referim la abaterea de la poziția de echilibru și la impulsul particulei --a. Însumarea se efectuează numai peste particulele învecinate. ${\pălărie {q}}_{i}$ ${\hat {p}}_{i}$ $i$

Un astfel de model duce la o fundamentare teoretică a fononilor - Bose - cvasiparticule observate într-un solid.

Tranziții sub influența unei forțe externe

Sub influența unei forțe externe, un oscilator cuantic se poate muta de la un nivel de energie ( ) la altul ( ). Probabilitatea acestei tranziții pentru un oscilator fără amortizare este dată de formula: $f(t)$ $n$ $m$ $W_{n,m}(t)$

W_{n,m}(t)={\frac {n!}{m!}}|\delta |^{2(nm)}exp\left(-|\delta ^{2}|\ stânga(L_{n}^{mn}(|\delta |^{2})\dreapta)^{2}\dreapta)

unde funcția este definită ca: $\delta (t)$

\delta (t)=-il\hbar \int \limits _{0}^{t}{f(\tau )exp(i\omega \tau )d\tau }

și sunt polinoame Laguerre . $L_{m}^{{mn}}$

Vezi și

Literatură

Landau L.D., Lifshits E.M. Mecanica cuantică (teorie nonrelativistă). — Ediția a III-a, revizuită și mărită. — M .: Nauka , 1974 . — 752 p. - („Fizica teoretică”, Volumul III).

Modele de mecanică cuantică
Unidimensional fără spin	particule libere Groapă cu pereți nesfârșiti Puț cuantic dreptunghiular potenţial delta Puțul cuantic triunghiular Oscilator armonic Potențială piatră de treaptă Pöschl-Teller potenţial bine Potenţialul Pöschl-Teller modificat bine Particulă într-un potențial periodic Dirac potențial pieptene Particulă în inel
Multidimensional fără spin	oscilator circular Ionul moleculei de hidrogen Top simetric Potențiale simetrice sferic Potențial păduri-saxon problema lui Kepler Potenţialul Yukawa Potențial Morse Hulthen potențial Potenţialul molecular al lui Kratzer Potenţial exponenţial
Inclusiv spin	atom de hidrogen Ion hidrură atom de heliu