Circumferinţă

Circumferința unui cerc (din latinescul circumferens ) este lungimea unei curbe plane închise care delimitează un cerc. Deoarece un cerc este limita unui cerc, sau disc, circumferința unui cerc este un caz special de perimetru [1] [2] . Perimetrul este lungimea totală a marginii formei.

Cercul

Circumferința unui cerc poate fi definită ca limita unei succesiuni de perimetre de poligoane regulate înscrise într-un cerc [3] . Termenul de circumferință este folosit atunci când se măsoară obiecte fizice, precum și atunci când se iau în considerare forme geometrice abstracte.

Circumferința și pi

Circumferința unui cerc este legată de una dintre cele mai importante constante matematice, pi . Numărul pi este notat cu litera greacă pi ( ). Primele cifre ale unui număr în notație zecimală sunt 3,141592653589793 ... [4] Pi este definit ca raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia : $\pi$ $C$ $d$

\pi ={\frac {C}{d)}

Sau, echivalent, ca raportul dintre circumferința unui cerc și cele două raze ale acestuia . Formula de mai sus devine:

{C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!

Utilizarea constantei este omniprezentă în știință și aplicații. $\pi$

În cartea „ Măsurarea cercului ”, scrisă în jurul anului 250 î.Hr., Arhimede a arătat că acest raport ( , deoarece nu a folosit notația ) este mai mare decât 3 $C/d$ $\pi$ zece71, dar mai puțin de 3unu7, calculând perimetrele unui poligon înscris și circumscris cu 96 de laturi [5] . Această metodă de aproximare a unui număr a fost folosită de secole, deoarece are o precizie mai mare decât formulele poligonale cu un număr mare de laturi. Ultimul astfel de calcul a fost făcut în 1630 de Christoph Greenberger , folosind poligoane cu 10 40 de laturi. $\pi$

Elipsa

Nu există o formulă generală pentru calcularea lungimii limitei unei elipse în ceea ce privește semiaxele majore și minore ale elipsei, care ar folosi doar funcții elementare. Cu toate acestea, există formule aproximative în care apar acești parametri. Una dintre aproximări a fost obţinută de Euler (1773); perimetrul unei elipse scrise prin ecuația canonică:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,

aproximativ egal cu

C_{\rm {elipse}}\sim \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})))

Limitele inferioare și superioare ale perimetrului elipsei canonice la [6] . $a\geq b$

2\pi b\leqslant C\leqslant 2\pi a,

\pi (a+b)\leqslant C\leqslant 4(a+b),

4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leqslant C\leqslant \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2}))).

Aici, limita superioară este lungimea cercului concentric circumscris care trece prin punctele de capăt ale axelor majore ale elipsei, iar limita inferioară este perimetrul rombului înscris , ale cărui vârfuri sunt capetele axelor majore și minore. $2\pi a$ $4{\sqrt {a^{2}+b^{2)})$

Perimetrul unei elipse poate fi descris folosind integrala eliptică completă de al doilea fel [7] . Mai precis:

C_{\rm {elipse}}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\ theta,

unde este lungimea semiaxei majore și este excentricitatea $A$ $e$ ${\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.$

Vezi și

Note

↑ Bennett, Jeffrey & Briggs, William (2005), Utilizarea și înțelegerea matematicii / O abordare a raționamentului cantitativ (ed. a treia), Addison-Wesley, p. 580, ISBN 978-0-321-22773-7
↑ Universitatea de Stat din San Diego. Perimetrul, zona și circumferința (link indisponibil) . Addison-Wesley (2004). Preluat la 6 martie 2020. Arhivat din original la 6 octombrie 2014. (nedefinit)
↑ Jacobs, Harold R. (1974), Geometrie (ing.) , W. H. Freeman and Co., p. 565, ISBN 0-7167-0456-0
↑ Sloane, N. J. A. Sequence A000796 , On-Line Encyclopedia of Integer Sequences OEIS , OEIS Foundation.
↑ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (ed. a 2-a), Addison-Wesley Longman, p. 109 , ISBN 978-0-321-01618-8 , < https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/109 >
↑ Jameson, GJO Inegalități pentru perimetrul unei elipse // Mathematical Gazette : jurnal. - 2014. - Vol. 98 , nr. 499 . - P. 227-234 . - doi : 10.2307/3621497 . — .
↑ Almkvist, Gert & Berndt, Bruce (1988), Gauss, Landen, Ramanujan, media aritmetică-geometrică, elipse, pi și jurnalul doamnelor (engleză) , American Mathematical Monthly vol. 95 (7): 585–608, doi : 10.2307/2323302 , < https://semanticscholar.org/paper/8e3c462f5eb920fe178985f159cdfee815b59c52 >

Literatură

Atanasyan L. S. , Butuzov V. F. et al. Capitole suplimentare pentru manualul de clasa a VIII-a // Geometrie. — ediția a 3-a. — M. : Vita-Press, 2003.
Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară. — M .: Nauka, 1978.
- Reeditare: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 pagini.

Link -uri

Numericana - Circumferința unei elipse