Lungimea curbei

Lungimea curbei (sau, ceea ce este la fel, lungimea arcului curbei ) este o caracteristică numerică a lungimii acestei curbe [1] . Din punct de vedere istoric, calcularea lungimii unei curbe a fost numită îndreptare curbă (din latină rectificatio , îndreptare).

Definiție

Pentru spațiul euclidian , lungimea unui segment de curbă este definită ca cea mai mică limită superioară a lungimii liniilor întrerupte înscrise în curbă.

De exemplu, să fie dată parametrical o curbă continuă în spațiul tridimensional: $\gamma$

x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)

(unu)

unde , toate cele trei funcții sunt continue și nu există puncte multiple, adică puncte diferite ale curbei corespund unor valori diferite. Construim toate partițiile posibile ale intervalului parametric în segmente: . Conectarea punctelor unei curbe cu segmente de linie dă o linie întreruptă. Apoi lungimea segmentului de curbă este definită ca cea mai mică limită superioară a lungimii totale a tuturor acestor linii întrerupte [2] . $a\leqslant t\leqslant b$ $t$ $[a,b]$ $m$ $a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{m}=b$ $\gamma (t_{0}),\dots ,\gamma (t_{m})$

Definiții înrudite

Fiecare curbă are o lungime, finită sau infinită. Dacă lungimea curbei este finită, atunci se spune că curba este rectificabilă , în caz contrar, este nerectificabilă . Fulgul de zăpadă Koch este un exemplu clasic de curbă mărginită, dar nerectificabilă; în plus, orice, în mod arbitrar mic al arcului său este nerectificabil [3] .
Parametrizarea unei curbe după lungimea arcului său se numește naturală .
O curbă este un caz special al unei funcții de la un segment la spațiu. Variația funcției , definită în analiza matematică, este o generalizare a lungimii curbei (vezi mai jos).

Proprietăți

Dacă toate funcțiile din (1) sunt funcții de variație mărginită , atunci lungimea curbei există și este finită.

În analiza matematică , se derivă o formulă pentru calcularea lungimii unui segment al unei curbe dată de ecuațiile (1), cu condiția ca toate cele trei funcții să fie diferențiabile continuu : $s$

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)+{z'}^{2} (t)}}\,dt

(2)

Formula implică faptul că lungimea este numărată și în direcția creșterii parametrului t . Dacă sunt luate în considerare două direcții diferite de numărare a lungimii dintr-un punct al curbei, atunci este adesea convenabil să atribuiți un semn minus arcului în una dintre aceste direcții.

a\leqslant b

În cazul n -dimensional, în loc de (2) avem o formulă similară:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{{k=1}}^{n}{f'_{k}}^{2}(t)} }\,dt

Dacă o curbă plană este dată de ecuația unde este o funcție netedă pe intervalul valorilor parametrilor , atunci lungimea curbei este determinată de formula: $y=f(x),$ $f$ $[a,b]$

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2))}\,dx.

În coordonate polare :

(r,\varphi )

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}}}\, d\varphi .

Formula lui Crofton face posibilă relaționarea lungimii unei curbe pe un plan și a integralei numărului de intersecții ale acesteia cu linii într-o măsură naturală pe spațiul liniilor.

Istorie

Problema îndreptării s-a dovedit a fi mult mai dificilă decât calcularea suprafeței , iar în cele mai vechi timpuri singura îndreptare reușită se făcea pentru un cerc . Descartes chiar și-a exprimat opinia că „ relația dintre linii drepte și curbe este necunoscută și, cred, nici măcar nu poate fi cunoscută de oameni ” [4] [5] .

Prima realizare a fost îndreptarea parabolei lui Neil ( 1657 ), realizată de Fermat și Neil însuși . Curând a fost găsită lungimea arcului cicloidului ( Renne , Huygens ). James Gregory (chiar înainte de descoperirea calculului ) a creat o teorie generală pentru găsirea lungimii unui arc, care a fost imediat folosită pentru diferite curbe.

Variații și generalizări

Spațiul riemannian

Într -un spațiu riemannian n - dimensional cu coordonate , curba este dată de ecuații parametrice: $x^{1}\cdots x^{n}$

x^{i}=x^{i}(t)\qquad \qquad

((3))

Lungimea unei curbe într-un spațiu riemannian este dată de:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{{ij}}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}\,dt

unde : este tensorul metric . Exemplu: curbă pe o suprafață în . $g_{ij}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Spațiu metric general

Într-un caz mai general al unui spațiu metric arbitrar , lungimea unei curbe este o variație a mapării care definește curba, adică lungimea curbei este determinată conform formulei: $(X,\rho)$ $S$ $\gamma :[a,b]\la X$

s=\sup \sum \limits _{{k=0}}^{m}\rho (\gamma (x_{{k+1}}),\gamma (x_{k})),

unde limita superioară este luată, ca mai înainte, peste toate partițiile segmentului . $a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{m}=b$ $[a,b]$

Vezi și

Note

↑ Lungime // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 2.
↑ Shibinsky, 2007 , p. 199.
↑ Shibinsky, 2007 , p. 201-202.
↑ Rene Descartes. Geometrie. Cu aplicarea lucrărilor selectate ale lui P. Fermat și corespondența lui Descartes / Traducere, note și articole de A. P. Yushkevich . - M. - L .: Gostekhizdat , 1938. - S. 49. - 297 p. - (Clasice ale științelor naturale).
^ Citat original francez : „la proportion qui est entre les droites et les courbes n'étant pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les hommes”, vezi Descartes, René. Discurs de la metoda... . - 1637. - S. 340.

Literatură

Korn G., Korn T. Manual de matematică (pentru cercetători și ingineri) . — M .: Nauka, 1973.
Merzon G. A., Yashchenko I. V. Lungime, suprafață, volum. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral în trei volume. - Ed. al 6-lea. — M .: Nauka, 1966.
Shibinsky VM Exemple și contraexemple în cursul analizei matematice. Tutorial. - M . : Şcoala superioară, 2007. - 543 p. - ISBN 978-5-06-005774-4 .

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius