Teorema Hopf-Rinow

Teorema Hopf-Rinow este o teoremă de geometrie diferențială , demonstrată de Heinz Hopf și studentul său Willy Rinov . Ultima dată publicată în 1931 [1] .

Formulare

Pentru o varietate Riemanniană conectată la cale , următoarele afirmații sunt echivalente: $M$

$M$ este completă (adică varietatea Riemanniană este completă ca spațiu metric );
pentru fiecare punct , maparea exponențială este definită pe tot (unde este spațiul tangent la punctul ); $p\în M$ $\exp _{p}:T_{p}\la M$ $T_{p}$ $T_{p}$ $M$ $p$
fiecare mulţime mărginită şi închisă în este compactă . $M$

Orice două puncte și într-o varietate Riemanniană completă conectată liniar pot fi conectate printr-o lungime geodezică egală cu distanța dintre și ; $p$ $q$ $p$ $q$
Orice geodezică dintr-o varietate Riemanniană completă conectată prin căi poate fi extinsă la infinit.

Teorema Hopf-Rinow este adevărată pentru spații cu metrică intrinsecă , nu neapărat riemanniană (de exemplu, Finsler ) [2] : dacă este un spațiu metric complet compact local cu metrică intrinsecă , atunci orice mulțime mărginită închisă este compactă. În special, oricare două puncte din spațiu pot fi conectate printr-o cale cea mai scurtă. [3] $(X,\rho)$ $(X,\rho)$ $X$
- Această afirmație a fost generalizată în cazul metricilor nesimetrice. [patru]

Teorema Hopf-Rinow nu este adevărată în cazul infinit-dimensional [5] , precum și în cazul varietăților pseudo-riemanniene [6] .

↑ Hopf, H.; Rinow, W. Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche (germană) // [Commentarii Mathematici Helvetici : magazin. - 1931. - Bd. 3 , Nr. 1 . - S. 209-225 . - doi : 10.1007/BF01601813 .
↑ Menger, Karl. „Untersuchungen über allgemeine Metrik”. Mathematische Annalen 100 (1925); 105 (1930).
↑ Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Curs de geometrie metrică. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 . teorema 2.5.28.
↑ Cohn-Vossen, Stefan. „Existenz Kurzester Wege”. Compositio Mathematica 3 (1936): 441-452; tradus în Cohn-Vossen, S. E. „On the Existence of Shortest Paths”. Câteva întrebări de geometrie diferențială în general. Moscova: Fizmatgiz (1959): 288-303.
↑ Atkin, CJ (1975), Teorema Hopf–Rinow este falsă în dimensiuni infinite , The Bulletin of the London Mathematical Society vol. 7 (3): 261–266, doi : 10.1112/blms/7.3.261 , < http: //blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/7/3/261.pdf > .
↑ O'Neill, Barrett (1983), Geometria semi-riemanniană cu aplicații la relativitate , voi. 103, Matematică pură și aplicată, Presa Academică, p. 193, ISBN 9780080570570 , < https://books.google.com/books?id=CGk1eRSjFIIC&pg=PA193 > Arhivat 14 mai 2021 la Wayback Machine .

Gromol D., Klingenberg W., Meyer W., Riemannian geometry in general , trad. din germană., M., 1971;
Cohn-Vossen, Câteva probleme în geometria diferenţială în general , Moscova, 1959.
V. A. Sharafutdinov. Prelegeri. Capitolul 5: Varietăți riemanniene