Niveluri Landau

niveluri Landau

Numit după	Lev Davidovich Landau
Stat	URSS
Descoperitor sau Inventor	Lev Davidovich Landau
data deschiderii	1930
Formula care descrie o lege sau o teoremă	$E(n,k_{z})={\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m}}+\hbar \omega _{c}\left(n+{ \frac {1}{2}}\right),\qquad$

Nivelurile Landau sunt nivelurile de energie ale unei particule încărcate într-un câmp magnetic . Obținută pentru prima dată ca soluție a ecuației Schrödinger pentru un electron într-un câmp magnetic de către L. D. Landau în 1930 . Soluția la această problemă este valorile proprii și funcțiile proprii ale Hamiltonianului oscilatorului armonic cuantic . Nivelurile Landau joacă un rol esențial în fenomenele cinetice și termodinamice în prezența unui câmp magnetic puternic.

Observații introductive

În mecanica cuantică , conform interpretării de la Copenhaga , particulele nu au o coordonată definită și se poate vorbi doar despre probabilitatea de a găsi o particulă într-o anumită regiune a spațiului. Starea unei particule este descrisă de o funcție de undă , în timp ce dinamica unei particule (sau a unui sistem de particule) este descrisă nu de a doua lege a lui Newton, ci de ecuația Schrödinger mult mai complexă . (Ecuația Schrodinger este valabilă numai în cazul non-relativist, adică atunci când viteza particulelor este mult mai mică decât viteza luminii, altfel se aplică ecuația Dirac și mai complexă .)

O trăsătură caracteristică a ecuației Schrödinger este că valorile sale proprii pot fi discrete. De exemplu, planetele se pot învârti în jurul Soarelui pe orbite de orice rază și pot avea un set continuu de valori energetice, iar un electron dintr-un atom de hidrogen în aproximarea semiclasică „se învârte” în jurul unui proton pe orbite de anumite raze și poate avea doar unele energii permise reprezentate în spectrul energetic.

Odată cu descoperirea legilor mecanicii cuantice, a apărut întrebarea: ce se întâmplă cu mișcarea particulelor într-un câmp magnetic în cazul mecanicii cuantice? Pentru a rezolva această problemă, este necesar să se rezolve ecuația Schrödinger. Acest lucru a fost făcut pentru prima dată în 1930 de către fizicianul sovietic Landau . [1] S-a dovedit că o particulă se poate mișca de-a lungul unui câmp magnetic cu orice viteză, dar pentru o anumită proiecție a vitezei pe câmpul magnetic, o particulă poate ocupa doar niveluri discrete de energie. Aceste niveluri au fost numite niveluri Landau.

Mai jos este o soluție semiclasică a problemei spectrului de energie, ecuația Schrödinger (3), (8) și soluția acesteia (7), în plus:

ecuația (1) descrie nivelurile de energie ale unei particule într-un câmp magnetic (nivelurile Landau),
ecuația (10) descrie nivelurile de energie ale unei particule în câmpuri electrice și magnetice perpendiculare.
ecuația (11) descrie nivelurile de energie ale unei particule în spațiul bidimensional.

Caz semiclasic

Un electron care se mișcă cu o viteză într-un câmp magnetic extern este supus forței Lorentz , $\mathbf{v}$ $\mathbf {B}$

$\mathbf {\dot {p)}={\frac {e}{c}}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right],$

unde este vectorul momentului, este sarcina electrică elementară , este masa electronului , este viteza luminii în vid, punctul indică diferențierea în funcție de timp. Traiectoria sa este o spirală, iar proiecția orbitei pe un plan perpendicular pe vector este un cerc de rază ( raza Larmor , este componenta impulsului perpendicular pe câmp). Traiectoria unui electron în spațiul de impuls este un cerc cu rază . $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ $e$ $m$ $c$ $\mathbf {B}$ ${{r}_{L}}=c{{p}_{\bot }}/\left(eB\right)$ ${{p}_{\bot ))$ ${{p}_{\bot ))$

Conform principiilor generale ale mecanicii cuantice, energia de mișcare limitată în spațiu într-un plan perpendicular pe câmpul magnetic este cuantificată. În aproximarea semiclasică , nivelurile de energie ale unui electron pot fi găsite pe baza formulei Lifshitz - Onsager [2] , care este o consecință a regulii de cuantizare Bohr-Sommerfeld : [3]

$S\left(E,{{p}_{z}}\right)={\frac {2\pi e\hbar B}{c}}\left(n+\gamma \right),$

unde este constanta Planck redusă , este aria secțiunii transversale a suprafeței (sferei) de energie constantă de către plan , axa este îndreptată de-a lungul câmpului magnetic, . Înlocuind expresia pentru zonă $\hbar$ $S\stanga(E,{{p}_{z}}\dreapta)$ $E=const$ ${{p}_{z}}=const$ $z$ $\left|\gamma \right|\leq 1/2$

$S=\pi p_{\bot }^{2}=\pi \left(2mE-p_{z}^{2}\right)$

obținem o expresie pentru nivelurile Landau valabilă pentru : $n\gg 1$

${{E}_{n}}\left({{p}_{z}}\right)=\hbar {{\omega }_{c}}\left(n+\gamma \right)+ {\frac {p_{z}^{2}}{2m}}.$

unde este frecvența ciclotronului (CGS). $\omega _{c}={\frac {eB}{mc)}$

Caz 3D

Spectrul de energie pentru un electron (valoarea energiei în funcție de starea sa) într-un câmp magnetic în cazul tridimensional este reprezentat într-o formă simplă [4]

E(n,k_{z})={\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m}}+\hbar \omega _{c}\left(n+{ \frac {1}{2}}\dreapta),\qquad (1)

unde este vectorul de undă în direcția , care este luată ca direcție a câmpului magnetic. Aici spectrul energetic este ușor de interpretat. Mișcarea de-a lungul unui câmp magnetic, unde câmpul magnetic nu afectează o particulă încărcată, este reprezentată de unde plane, ca și pentru o particulă liberă cu un vector de undă . Mișcarea în direcția perpendiculară pe câmpul magnetic este limitată, iar spectrul de energie este complet cuantificat. Deși mișcarea unei particule are loc în spațiul tridimensional, spectrul de energie depinde doar de două numere cuantice : continuu și discret . Aceasta înseamnă că spectrul particulei este degenerat . În cazul tridimensional, există o degenerare dublă a energiei în ceea ce privește proiecția vectorului de undă pe direcția câmpului magnetic . Pe lângă aceasta, există o degenerare a nivelului Landau egală cu $k_{z}$ ${\overrightarrow {z)}$ $(unu)$ $k_{z}$ $k_{z}$ $n$ $\pm k_{z}$

N_{L}={\frac {eBS}{2\pi \hbar c)),\qquad (2)

Multiplicitatea degenerării fiecărui nivel Landau este egală cu raportul dintre aria secțiunii transversale a probei de un plan perpendicular pe câmpul magnetic și aria unui cerc cu o rază egală cu lungimea magnetică. $S$

l_{H}={\sqrt {\frac {\hbar c}{eB)}},

care este dimensiunea caracteristică a regiunii cu mare probabilitate de găsire a particulei.

În plus, pentru electronii liberi din spațiul tridimensional, se observă o degenerare aproximativă dublă a nivelurilor de energie în spin . Această degenerare, totuși, nu este banală, deoarece necesită ca nivelul Landau pentru electronul de spin-down să fie exact același cu nivelul Landau pentru electronul de spin-up plus momentul magnetic al electronului pe câmpul magnetic. Cu alte cuvinte, factorul g pentru un electron trebuie să fie exact 2 (acest lucru, după cum arată electrodinamica cuantică , nu este în întregime adevărat). Această cerință nu este cu atât mai mult satisfăcută pentru electroni, care sunt cvasiparticule în solide (masa efectivă a unui electron și momentul său magnetic sunt doar puțin legate). Cu toate acestea, problema unui electron cu spin și factor g egal cu 2 este de un anumit interes teoretic, deoarece poate fi reprezentată ca o problemă cu supersimetrie [5] .

Despre soluția ecuației Schrödinger pentru un electron într-un câmp magnetic

Ecuația staționară Schrödinger pentru un electron într-un câmp magnetic este reprezentată ca

{\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-{\frac {e}{c}}{\hat {\mathbf {A} }}\ dreapta)^{2}\Psi _{n}(\mathbf {r} )=E_{n}\Psi _{n}(\mathbf {r}),\qquad (3)

unde și sunt operatorul impulsului electronic și, respectiv, potențialul vectorial al câmpului magnetic, este funcția de undă a electronilor , este energia, iar indicele denotă al n -lea nivel Landau. În ecartamentul Landau, ecuația poate fi scrisă sub formă $\hat{\mathbf{p}}$ ${\pălărie {\mathbf {A} })$ $\Psi _{n}(\mathbf {r} )$ $E_{n}$ $n$ $(3)$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y }}-{\frac {eB}{c}}x\right)^{2}\right]\Psi _{n}(x,y,z)=E_{n}\Psi _{n}(x ,y,z).\qquad(4)

Pentru a separa variabilele din această ecuație, este convenabil să căutați soluția ca un produs al trei funcții

\Psi _{n}(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {L_{z}L_{y}}))e^{ik_{z}z}e^{ ik_{y}y}\psi _{n,k_{y}}(x),\qquad (5)

unde și sunt dimensiunile sistemului și sunt vectori de undă, indicele funcției de undă înseamnă că depinde de el ca parametru. Înlocuind în , obținem o ecuație unidimensională pentru $L_{z}$ $L_{y)$ $k_{z}$ $k_{y)$ $k_{y)$ $\psi _{n,k_{y}}(x)$ $(5)$ $(patru)$ $\psi _{n,k_{y}}(x)$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{ c}^{2}}{2}}(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}\right]\psi _{n,k_{y}}(x)=E_ {n}\psi_{n,k_{y}}(x).\qquad(6)

Această ecuație nu este altceva decât ecuația Schrödinger pentru un oscilator armonic cuantic cu o deplasare a minimului potențialului. Astfel, soluțiile pot fi scrise ca [4]

\psi _{n,k_{y}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!\pi ^{1/2}l_{H)))} e^{-{\frac {(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}}{2l_{H}^{2}}}}H_{n}\left({\ frac {(x-k_{y}l_{H}^{2})}{l_{H}}}\dreapta),\qquad (7)

unde este polinomul Hermite de ordin . $H_n(x)$ $n$

Despre influența câmpului electric

Să luăm acum în considerare efectul unui câmp electric perpendicular pe câmpul magnetic asupra spectrului de energie al unui electron. Să rescriem ecuația ținând cont de câmpul electric direcționat de-a lungul : [6] $(6)$ $\varepsilon$ $X$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{ c}^{2}}{2}}(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}+e\varepsilon x\right]\psi _{n,k_{y}} (x)=E_{n,k_{y}}\psi _{n,k_{y}}(x),\qquad (8)

care, după selectarea pătratului complet, este reprezentat ca

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{ c}^{2}}{2}}(x-X_{k_{y}})^{2}+e\varepsilon k_{y}l_{H}^{2}-{\frac {m}{ 2}}v_{d}^{2}\right]\psi _{n,k_{y}}(x)=E_{n,k_{y}}\psi _{n,k_{y}}( x),\qquad(9)

unde , și . Vedem din Hamiltonian că câmpul electric deplasează pur și simplu centrul funcției de undă. Spectrul de energie este dat de următoarea expresie: $X_{k_{y}}=k_{y}l_{H}^{2}-v_{d}/\omega _{c}$ $v_{d}=c\varepsilon /B$

E_{n,k_{y}}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+e\varepsilon X_{k_{y}}- {\frac {m}{2}}v_{d}^{2}.\qquad (10)

Caz bidimensional

În structurile dimensionale cuantice , în care mișcarea purtătorilor de sarcină este limitată într-una dintre direcții (de exemplu, un puț cuantic aproape de limita unei heterojoncții ), spectrul de energie devine discret pentru mișcarea de-a lungul coordonatei corespunzătoare (de exemplu, axa ). Dacă un singur nivel cuantic cu energia minimă este umplut în puțul de potențial , purtătorii se comportă ca un gaz bidimensional , adică. sub influența câmpurilor externe, nu trei, ci două componente ale impulsului se pot schimba deja. [7] $z$ $E_{0}$

În acest caz, spectrul de electroni constă din niveluri echidistante (cu distanța dintre niveluri , unde este determinată de componenta câmpului magnetic de-a lungul axei ). Energia electronilor este $\hbar \omega _{c}$ $\omega_{c}$ $z$

E(n)=E_{0}+\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\qquad (11)

Dacă alegem energia ca origine, atunci formula (11) va lua forma: [7] $E_{0}$

E(n)=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right).\qquad (12)

Note

↑ Landau LD Diamagnetismus der Metalle (germană) // Z. Phys .. - 1930. - Bd. 64 . — S. 629 .
↑ A. E. Meyerovich. Cuantificare Lifshitz-Onsager . Enciclopedia de fizică și tehnologie . Preluat la 15 ianuarie 2022. Arhivat din original la 2 iunie 2022. (Rusă)
↑ Abrikosov A.A. Fundamentele teoriei metalelor / Ed. LA. Falkovsky. - Moscova: FIZMATLIT, 2010. - S. 182. - 600 p. - ISBN 978-5-9221-1097-6 .
↑ 1 2 Landau L. D., Lifshits E. M. Mecanica cuantică (teorie non-relativista). — Ediția a III-a, revizuită și mărită. — M .: Nauka , 1974 . — 752 p. - („Fizica teoretică”, Volumul III).
↑ Gendenshtein L. E. , Krive I. V. Supersimetria în mecanica cuantică // UFN. - 1985. - T. 146 , nr. 4 . - S. 553-590 . - doi : 10.3367/UFNr.0146.198508a.0553 . Arhivat din original pe 13 iulie 2021.
↑ EN ADAMS și TD HOLSTEIN. TEORIA CUANTĂ A GALVANO-FENOMENE TRANSVERSALE // J. Phys. Chim. solide. - Pergamon Press, 1959. - Vol. 10 . — P. 254-276 . - doi : 10.1016/0022-3697(59)90002-2 .
↑ 1 2 A. Ya. Shik, L. G. Bakueva, S. F. Musikhin, S. A. Rykov. FIZICA SISTEMELOR JOS-DIMENSIONALE / Editat de V. I. Ilyin și A. Ya. Shik. - Sankt Petersburg: „Nauka”, 2001. - 160 p. — ISBN 5-02-024966-1 . (Rusă)

Literatură

Nivele Landau // Enciclopedia fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Enciclopedia Sovietică (vol. 1-2); Marea Enciclopedie Rusă (vol. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .