Kernel (algebră)

Nucleul în algebră este o caracteristică a mapării , notat cu , reflectând diferența față de maparea injectivă , de obicei setul de imagini inverse ale unui element fix (zero, identitate, neutru) . Definiția specifică poate varia, dar pentru o mapare injectivă , mulțimea trebuie să fie întotdeauna banală, adică trebuie să fie formată dintr-un element (de obicei un element neutru din ). $\f:A\rightarrow B$ $\ker \,f$ $f$ $e$ $f$ $\ker \,f$ $A$

Dacă mulțimile și au o anumită structură (de exemplu, sunt grupuri sau spații vectoriale ), atunci trebuie să aibă și această structură, în timp ce diverse formulări ale teoremei principale de homomorfism conectează imaginea și setul de factori . $A$ $B$ $\ker \,f$ ${\mathrm {Im}}\,f$ $A/\ker \,f$

Nucleu de cartografiere liniară

Miezul unei mapări liniare este imaginea inversă a elementului zero al spațiului : $f:\,V\la U$ $U$

\ker f=\{x\in V:f(x)=0\}.

$\ker f$ este un subspațiu al . Conține întotdeauna elementul spațiu nul . Conform teoremei fundamentale a homomorfismului , imaginea este izomorfă cu spațiul coeficientului în raport cu nucleul : $V$ $V$ $f$ $V$ $f$

\mathrm {Im} \,f\simeq V/\ker f.

În consecință, dimensiunea imaginii spațiului este egală cu diferența dintre dimensiunile spațiului și nucleul de mapare, dacă dimensiunea este finită: $V$

\dim \mathrm {Im} \,f=\dim V-\dim \ker f,

iar imaginea inversă a oricărui vector este definită până la adăugarea unui vector din nucleu:

f^{{-1}}(u)=v_{0}+\ker f,~~~f(v_{0})=u,~~~v_{0}\in V,~u\in U .

Orice bază a nucleului se numește sistem fundamental de soluții .

Teoria matricelor

Orice matrice dreptunghiulară de dimensiune , care conține elemente de câmp (în special, numere reale ), poate fi gândită ca un operator liniar pentru înmulțirea vectorilor din stânga cu o matrice: $G$ $m\ori n$ $K$ $g:{\mathbb {K}}^{n}\rightarrow {\mathbb {K}}^{m}$

g(v)=Gv,~~~v\in {\mathbb {K}}^{n}

Astfel, rezultatele teoriei spațiilor liniare finite-dimensionale se transferă în întregime lucrului cu matrici. În special, sistemul de ecuații liniare cu necunoscute $n$

\left\{{\begin{matrix}a_{{11}}x_{1}+\ldots +a_{{1n}}x_{n}=b_{1};\\\ldots ~~\ldots ~~ \ldots ~~\\a_{{m1}}x_{1}+\ldots +a_{{mn}}x_{n}=b_{m}.\end{matrix}}\right.

poate fi considerată ca problema găsirii preimaginei vectorului , iar problema rezolvării sistemului omogen de ecuaţii ( ) se reduce la găsirea nucleului mapării . ${\mathbf {b}}=(b_{1},\;\ldots ,\;b_{m})$ ${\mathbf {b}}={\mathbf {0}}$ $g$

Exemplu

Fie o mapare liniară și: $f$ $f:{\mathbb R}^{3}\la {\mathbb R}^{3}$

f({\vec {x)))={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{ 3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\0\end{pmatrix}}.

Atunci nucleul său este un subspațiu vectorial:

\ker f=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix}}\in {\mathbb R}^{3}\mid \lambda \in {\mathbb R} \dreapta\}.

Homomorfism de grup

Dacă este un homomorfism între grupuri , atunci formează un subgrup normal de . $f$ $\ker f$ $A$

Homomorfisme de inel

Dacă este un homomorfism între inele , atunci formează un ideal al inelului . $f$ $\ker f$ $A$

Vezi și

sâmbure

Literatură

Vinberg E. B. Curs de algebră. - Ed. a 3-a. - Moscova: Presa factorială, 2002. - 544 p. - 3000 de exemplare. — ISBN 5-88688-060-7 .