De la zero la puterea zero

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 23 septembrie 2021; verificările necesită 17 modificări .

Expresia 0⁰ ( de la zero la puterea zero ) este considerată de multe manuale ca fiind vagă și lipsită de sens [1] [2] . Acest lucru se datorează faptului că o funcție a două variabile într-un punct are o discontinuitate ireductibilă . Într-adevăr, de-a lungul direcției pozitive a axei unde este egală cu unu și de-a lungul direcției pozitive a axei unde este egală cu zero. Prin urmare, nicio convenție asupra valorii lui 0⁰ nu poate da o funcție care este continuă la zero. $f(x,y)=x^{y)$ $(0, 0)$ $X,$ $y=0,$ $Y,$ $x=0,$

Acord 0 0 = 1: Argumentul susținătorilor

Unii autori propun să accepte acordul că este egal cu 1. În favoarea acestei opțiuni sunt date mai multe argumente. De exemplu, expansiunea într-o serie a exponentului: $0^{0}$

e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!)}}

poate fi scris mai scurt dacă acceptăm : $0^{0}=1$

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!)}}

(convenția luată în considerare este folosită atunci când ). $x=0,\n=0$

Dacă 0 se referă la numere naturale , atunci ridicarea la o putere naturală poate fi definită după cum urmează:

a^{n}=1\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n},

iar apoi ridicarea oricărui număr (inclusiv zero) la puterea zero va da 1.

O altă justificare a acordului se bazează pe „Teoria seturilor” a lui Bourbaki [3] : numărul de mapări diferite ale unui set n - element într-un element m - unul este egal cu atunci când obținem o mapare de la un set gol la un unul gol și este unic. Desigur, aceasta nu poate fi considerată o dovadă (convențiile nu trebuie dovedite), mai ales că convenția în sine nu este folosită în teoria mulțimilor. $0^{0}=1$ $m^{n},$ $m=n=0$ $0^{0}=1$

În orice caz, convenția este pur simbolică și nu poate fi folosită nici în transformări algebrice sau analitice din cauza discontinuității funcției în acest punct. În lumina analizei matematice moderne, nu este deloc potrivit să vorbim de un acord în acest caz, această expresie poate și trebuie înțeleasă doar în sensul tranziției limitative în dezvăluirea incertitudinii. Un exemplu pentru calcule analitice: expresia unde este un număr real pozitiv arbitrar. Când obținem incertitudinea de tip și, dacă nu facem distincție între forma limită (unde fiecare dintre zerouri indică tendința spre zero) și valoare (unde fiecare dintre zerouri este zero), putem presupune în mod eronat că limita este 1. De fapt, această expresie este identic egală cu Aceasta înseamnă că o putere infinitezimală la o putere infinitezimală poate, în limită, să dea orice valoare, nu neapărat una. Greșeli similare pot fi făcute dacă convenția este folosită în transformările algebrice. $0^{0}=1$ $(a^{-1/t})^{t},$ $A$ $t\la 0$ $0^{0},$ $0^{0}$ $0^{0}$ $a^{-1}.$

Istoria diferitelor puncte de vedere

Dezbaterea asupra definiției se desfășoară cel puțin de la începutul secolului al XIX-lea. Mulți matematicieni au acceptat atunci convenția , dar în 1821 Cauchy [4] s-a numărat printre incertitudini precum În anii 1830, Libri [5] [6] a publicat un argument neconvingător pentru (vezi funcția Heaviside § Istorie ) și Möbius [7 ] a fost de partea lui, declarând în mod eronat că oricând . Reviewerul, care și-a semnat numele simplu ca „S”, a oferit un contraexemplu , care a calmat puțin dezbaterea. Mai multe detalii istorice pot fi găsite în Knuth (1992) [8] . $0^{0}$ $0^{0}=1$ $0^{0}$ ${\frac {0}{0)).$ $0^{0}=1$ $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1$ $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0$ $(e^{-1/t})^{t)$

Scriitorii de mai târziu interpretează situația de mai sus în moduri diferite. Unii susțin că cea mai bună valoare pentru depinde de context și, prin urmare, definirea acesteia o dată pentru totdeauna este problematică [9] . Potrivit lui Benson (1999), „Alegerea de a determina dacă să se determine se bazează mai degrabă pe comoditate decât pe corectitudine. Dacă ne abținem să definim , atunci unele afirmații devin inutil de incomode. <...> Consensul este de a folosi definiția , deși există manuale care se abțin să definească „ [10] . $0^{0}$ $0^{0},$ $0^{0}$ $0^{0}=1$ $0^{0}$

Unii matematicieni cred că ar trebui definit ca 1. De exemplu, Knuth (1992) afirmă cu încredere că „ ar trebui să existe 1”, făcând o distincție între valoarea lui , care ar trebui să fie 1, așa cum sugerează Libri, și forma limită ( o abreviere pentru limit unde ), care este neapărat o ambiguitate, după cum a subliniat Cauchy: „Atât Cauchy, cât și Libri au avut dreptate, dar Libri și apărătorii săi nu au înțeles de ce adevărul era de partea lor” [8] . $0^{0}$ $0^{0}$ $0^{0}$ $0^{0}$ $f(x)^{g(x))$ $f(x),g(x)\la 0$

Site-ul autorizat MathWorld , citând opinia lui Knuth, afirmă totuși că valoarea este considerată de obicei nedefinită, în ciuda faptului că convenția permite în unele cazuri simplificarea scrierii formulelor [11] . În Rusia, Marea Enciclopedie Rusă , Marea Enciclopedie Sovietică , Dicționarul Enciclopedic Matematic, Manualul lui Vygodsky de matematică elementară, manualele școlare și alte surse o caracterizează fără echivoc ca o expresie care nu are sens (incertitudine). $0^{0}$ $0^{0}=1$ $0^{0}$

Dezvăluirea incertitudinii 0 0

Având în vedere două funcții și tinzând spre zero, atunci limita în cazul general, așa cum se arată mai sus, poate fi orice. Deci din acest punct de vedere este o incertitudine. Pentru a găsi limita în acest caz, ei folosesc metodele de dezvăluire a incertitudinii , de regulă, luând mai întâi logaritmul expresiei date: , iar apoi folosind regula L'Hopital . $f(x)$ $g(x)$ $f(x)^{g(x))$ $0^{0}$ $f(x)^{g(x))$ $\ln \left(f(x)^{g(x)}\right)={\frac {g(x)}{\frac {1}{\ln f(x)}))$

Cu toate acestea, în anumite condiții, această limită va fi întotdeauna egală cu unu. Și anume, dacă funcțiile și sunt analitice într-un punct (adică într-o anumită vecinătate punctele coincid cu seria lor Taylor ), și , și într-o vecinătate , atunci limita pe măsură ce dreapta tinde spre zero este egală cu 1 [12] [13] [14] . $f$ $g$ $0$ $0$ $f(0)=g(0)=0$ $f(x)>0$ $(0,\delta )$ $f(x)^{g(x))$ $X$

De exemplu, în acest fel puteți verifica imediat acest lucru

\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1,

\lim _{x\to 0^{+}}(\sin x)^{\operatorname {tg} x}=1,

\lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{x+1}-e\right)^{x}=1.

În același timp, nu trebuie uitat că, dacă cel puțin una dintre funcții nu se extinde într-o serie Taylor în punctul 0 sau este identic egală cu 0, atunci limita poate fi orice sau poate să nu existe. De exemplu, $f(x)$

\lim _{x\to 0^{+}}x^{a/\ln x}=e^{a},

\lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{-1/x}\right)^{x}=e^{-1},

\lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0.

Caz complex

Pentru numerele complexe , expresia formei for ]cadefinităesteșimultivaloricăeste . $u,v$ $tu^{v}$ $u\neq 0$ $e^{v\operatorname {Ln} u}$ $\operatorname {Ln} 0$ $0^{0},$ $0^{z},$ $z\neq 0$ $0^{z}=0$

În computere

Standardul IEEE 754-2008 , care descrie formatul de reprezentare a numerelor în virgulă mobilă , definește trei funcții de exponențiere [18] :

Funcția de ridicare la o putere întreagă: . Conform standardului, pentru orice , inclusiv atunci când este zero sau infinit. $\operatorname {pown} (x,y)$ $\operatorname {pown} (x,0)=1$ $X$ $X$ NaN
Funcţia de ridicare la o putere arbitrară: - în esenţă egală cu . Returnează „ nu un număr ” conform standardului . $\operatorname {putere} (x,y)$ $\exp {\big (}y\ln(x){\big ))$ $\operatorname {powr} (\pm 0,\pm 0)$ NaN
O funcție pentru ridicarea la o putere arbitrară, care este definită în mod specific pentru numere întregi: . Conform standardului, pentru toată lumea (la fel ca ). Această convenție în ansamblu are o justificare rezonabilă (a se vedea mai jos), cu toate acestea, problema poate apărea atunci când . $\operatorname {pow} (x,y)$ $\operatorname {pow} (x,\pm 0)=1$ $X$ $\operatorname {pown} (x,0)$ x=NaN

În multe limbaje de programare, puterea de la zero la zero este egală cu 1. De exemplu, în C++ : pow(0, 0) == 1, în Haskell acest lucru este valabil pentru toate cele trei operații standard de exponențiere: 0^0 == 1, 0^^0 == 1, 0**0 == 1. Același lucru este valabil și pentru calculatorul standard MS Windows.

Deși se știe bine că aceasta este o ambiguitate, comportamentul unor funcții care revin în acest caz nu este rezultatul unui acord sau al unei erori, are o rațiune. Faptul este că în aritmetica computerizată, datele numerice sunt împărțite în întregi și reale. Acest lucru poate fi folosit implicit în unele funcții care implementează operația de exponențiere. De exemplu, acest lucru se face în calculatorul Windows și funcțiile în C++. Pentru exponenții întregi și reali se folosesc diferiți algoritmi, iar funcția de exponențiere analizează exponentul: dacă este un număr întreg, atunci exponentul este calculat conform unui algoritm diferit, în care sunt permise bazele negative și zero ale exponentului. Dacă exponentul aparține mulțimii numerelor întregi și este egal cu 0, iar baza este un număr real, atunci operația trebuie definită doar ca . Deoarece 0 în exponent este exact, trecerea la limită se referă doar la bază și (spre deosebire de cazul în care exponentul este și real) este definit în mod unic și egal cu . Cele de mai sus se aplică pe deplin în cazul calculării expresiei . $0^{0}$ $unu$ pow $0^{0}$ $\lim _{x\to 0}x^{0}$ $unu$ $(\pm \infty )^{0)$

Literatură

Funcția de putere // Marea enciclopedie sovietică . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
Funcția de putere // Marea Enciclopedie Rusă : [în 35 de volume] / cap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Marea Enciclopedie Rusă, 2004-2017.

Note

↑ BRE .
↑ TSB, 1969-1978 : „Pentru funcția de putere ... nu este definită pentru ; nu are niciun sens.” $x=0$ $x^{a}$ $a<0$ $0^{0}$
↑ N. Bourbaki . Teoria mulţimilor // Elemente de matematică, Springer-Verlag, 2004, III, § 3.5.
↑ Augustin-Louis Cauchy . Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). În Oeuvres Complètes , seria 2, volumul 3.
↑ Guillaume Libri . Note sur les valeurs de la fontction 0 0 x , Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.
↑ Guillaume Libri . Mémoire sur les fonctions se întrerupe, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303-316.
↑ A. F. Mobius. Beweis der Gleichung 0 0 = 1, nach JF Pfaff (germană) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazin. - 1834. - Bd. 12 . - S. 134-136 .
↑ 1 2 Donald E. Knuth, Două note despre notație, Amer. Matematică. Lunar 99 nr. 5 (mai 1992), 403-422 (arXiv: math/9205211 Arhivat la 20 noiembrie 2018 la Wayback Machine [math.HO]).
↑ De exemplu: Edwards și Penny (1994). Calculus , ed. a 4-a, Prentice-Hall, p. 466; Keedy, Bittinger și Smith (1982). Algebra Doi . Addison-Wesley, p. 32.
^ Donald C. Benson, The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies . New York Oxford University Press (Marea Britanie), 1999. ISBN 978-0-19-511721-9 .
↑ Weisstein, Eric W. Power . Wolfram mathworld . Consultat la 5 octombrie 2018. Arhivat din original la 12 septembrie 2018. (nedefinit)
↑ Louis M. Rotando; Henry Korn. Forma nedeterminată 0 0 // Revista de matematică : revistă . - 1977. - ianuarie ( vol. 50 , nr. 1 ). - P. 41-42 . - doi : 10.2307/2689754 .
↑ Întrebări frecvente sci.math: Ce este 0^0? . www.faqs.org. Preluat la 30 august 2019. Arhivat din original la 2 decembrie 2010. (nedefinit)
↑ Leonard J. Lipkin. Pe forma nedeterminată 0 0 // The College Mathematics Journal. - 2003. - T. 34 , nr. 1 . - S. 55-56 . — ISSN 0746-8342 . - doi : 10.2307/3595845 . Arhivat din original pe 13 octombrie 2019.
↑ „Deoarece log(0) nu există, 0 z este nedefinit. Pentru Re( z ) > 0 , îl definim în mod arbitrar ca 0”. ( George F. Carrier, Max Krook și Carl E. Pearson , Functions of a Complex Variable: Theory and Technique, 2005, p. 15).
↑ „Pentru z = 0 , w ≠ 0 , definim 0 w = 0 , în timp ce 0 0 nu este definit”. Mario Gonzalez , Analiza complexă clasică, Chapman & Hall, 1991, p. 56.
↑ „Să începem de la x = 0 . Aici x x este nedefinit”. Mark D. Meyerson , The x x Spindle, Mathematics Magazine 69 , nr. 3 (iunie 1996), 198-206.
↑ IEEE Computer Society. Standardul IEEE pentru aritmetică în virgulă mobilă § 9.2.1 : jurnal . — IEEE, 2008. — 29 august. - ISBN 978-0-7381-5753-5 . - doi : 10.1109/IEEEESTD.2008.4610935 .