Matricea D Wigner

$D$ matricea Wigner este matricea reprezentării ireductibile a grupurilor SU(2) și SO(3) . Conjugarea complexă a matricei este o funcție proprie a Hamiltonianului rotatorilor rigizi sferici și simetrici. Matricea a fost introdusă în 1927 de Eugene Wigner . $D$

Definiția matricei D Wigner

Fie , , generatori ai algebrelor Lie și . În mecanica cuantică, acești trei operatori sunt componente ale unui operator vectorial cunoscut sub numele de moment unghiular . Exemple sunt impulsul unui electron într-un atom, spinul electronului și momentul unghiular al unui rotator rigid. În toate cazurile, cei trei operatori satisfac următoarele relații de comutație $J_{x}$ $J_{y}$ $J_{z}$ ${\mathrm {SU}}(2)$ ${\mathrm {SO}}(3)$

[J_{x},\;J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},\;J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y} ,\;J_{z}]=iJ_{x},

unde este un număr pur imaginar și constanta lui Planck a fost setată egală cu unu. Operator $i$ $\hbar$

{\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2))

este operatorul Casimir al (sau , după caz). Poate fi diagonalizat împreună cu (Alegerea acestui operator este determinată prin convenție), care face naveta cu . Adică se poate demonstra că există un set complet de kets cu ${\mathrm {SU}}(2)$ ${\mathrm {SO}}(3)$ $J_{z}$ $J^{2}$

J^{2}|jm\rangle =j(j+1)|jm\rangle ,\quad J_{z}|jm\rangle =m|jm\rangle ,

unde si . Căci numărul cuantic este un număr întreg. $j=0,\ 1/2,\ 1,\ 3/2,\ 2,\ \ldots$ $m=-j,\ -j+1,\ldots ,\j$ ${\mathrm {SO}}(3)$ $j$

Operatorul de rotație poate fi scris ca

{\mathcal {R}}(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )=e^{-i\gamma J_{z}}e^{-i\beta J_{y}}e ^{-i\alpha J_{z}},

unde sunt unghiurile Euler . $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$

$D$ -Matricea Wigner este o matrice pătrată de dimensiune cu un element comun $2j+1$

D_{m'm}^{j}(\alpha,\;\beta,\;\gamma)\equiv \langle jm'|{\mathcal {R))(\alpha,\beta,\gamma )|jm\rangle =e^{-im'\gamma }d_{m'm}^{j}(\beta )e^{-im\alpha }.

Matrice cu element comun

d_{m'm}^{j}(\beta )=\langle jm'|e^{-i\beta J_{y}}|jm\rangle

cunoscută sub numele de matricea Wigner mică. $d$

Lista elementelor d -matricei

pentru $j=1/2$

$d_{1/2,\;1/2}^{1/2}=\cos(\theta /2)$
$d_{1/2,\;-1/2}^{1/2}=-\sin(\theta /2)$

pentru $j=1$

$d_{1,\;1}^{1}={\frac {1+\cos \theta }{2}}$
$d_{1,\;0}^{1}={\frac {-\sin \theta }{\sqrt {2)}}$
$d_{1,\;-1}^{1}={\frac {1-\cos \theta }{2))$
$d_{0,\;0}^{1}=\cos \theta$

pentru $j=3/2$

$d_{3/2,\;3/2}^{3/2}={\frac {1+\cos \theta }{2)}\cos {\frac {\theta }{2)}$
$d_{3/2,\;1/2}^{3/2}=-{\sqrt {3}}{\frac {1+\cos \theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2))$
$d_{3/2,\;-1/2}^{3/2}={\sqrt {3}}{\frac {1-\cos \theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2))$
$d_{3/2,\;-3/2}^{3/2}=-{\frac {1-\cos \theta }{2)}\sin {\frac {\theta }{2 }}$
$d_{1/2,\;1/2}^{3/2}={\frac {3\cos \theta -1}{2)}\cos {\frac {\theta }{2} }$
$d_{1/2,\;-1/2}^{3/2}=-{\frac {3\cos \theta +1}{2)}\sin {\frac {\theta }{} 2}}$

pentru [1] $j=2$

$d_{2,\;2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1+\cos \theta \right)^{2}$
$d_{2,\;1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1+\cos \theta \right)$
$d_{2,\;0}^{2}={\sqrt {\frac {3}{8})}\sin ^{2}\theta$
$d_{2,\;-1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1-\cos \theta \right)$
$d_{2,\;-2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1-\cos \theta \right)^{2}$
$d_{1,\;1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1\right)$
$d_{1,\;0}^{2}=-{\sqrt {\frac {3}{8})}\sin 2\theta$
$d_{1,\;-1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(-2\cos ^{2}\theta +\cos \theta +1\right)$
$d_{0,\;0}^{2}={\frac {1}{2}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)$

Elementele matricei Wigner cu indice invers se găsesc prin următoarea relație: $d$

d_{m',\;m}^{j}=(-1)^{mm'}d_{m,\;m'}^{j}=d_{-m,\;-m' }^{j}

Vezi și

Coeficienții Clebsch-Gordan

Note

↑ Edén, M. Simulări computerizate în RMN în stare solidă. I. Teoria dinamicii spinilor (engleză) // Concepte Magn. Reson. : jurnal. - 2003. - Vol. 17A , nr. 1 . - P. 117-154 . - doi : 10.1002/cmr.a.10061 .