G2-colectivă

$G_{2}$ -varietatea este o varietate Riemanniană cu șapte dimensiuni cu un grup de holonomie sau subgrupul său. Ele sunt importante în teoria corzilor , în special în teoria M. $G_{2}$

$G_{2}$ -varietățile au curbură Ricci zero , sunt orientabile și au o structură spinor.

Geometrie

Geometria -varietăților este strâns legată de produsul vectorial șapte-dimensional : și anume, acestea sunt varietăți riemanniene șapte-dimensionale, pe fiecare spațiu tangent la care există un produs vectorial, iar ca câmp tensor este păstrat de Levi-. Conexiunea Civita (prin urmare spațiul euclidian cu șapte dimensiuni cu un produs vectorial este cel mai simplu exemplu - soiuri). Această condiție înseamnă că holonomia unei astfel de metrici se află în grupul : translațiile paralele păstrează produsul vectorial, iar grupul de automorfism al unui astfel de produs este exact . Pe de altă parte, dacă există o metrică cu o astfel de holonomie, atunci teoria reprezentării grupurilor ajută să vedem că există un subbundle paralel unidimensional distins în spațiul tensorilor de tip oblic-simetric. Secțiunea sa de lungime constantă este câmpul produselor vectoriale șapte-dimensionale. $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $(2.1)$

Omitând indici în raport cu metrica, din produsul vectorial, se poate obține o formă de 3, de obicei notă sau . Deoarece este paralel sub o legătură fără torsiune (și anume conexiunea Levi-Civita), este închisă. Forma sa duală Hodge 4 este, de asemenea, paralelă și închisă, deci este și armonică. O formă generală 3 pe un spațiu cu șapte dimensiuni are un stabilizator , astfel încât -varietățile pot fi definite în termenii unei forme 3 închise degenerate nicăieri. Acest lucru îi aduce mai aproape de varietăți simplectice (variete cu o formă de 2 închisă degenerată nicăieri), dar este important să înțelegem că o formă de 3 într-un spațiu cu șapte dimensiuni definește o metrică, iar o formă de 2 nu definește niciodată o metrică. $\phi$ $\rho$ $G_{2}$ $G_{2}$

Cu toate acestea, o noțiune importantă de geometrie simplectică - conceptul de subvarietate lagrangiană , adică o subvarietate de jumătate de dimensiune, astfel încât forma 2 este limitată la aceasta de zeroul identic - este parțial transferată la -varietate. Și anume, o subvarietate tridimensională se numește asociativă dacă forma 4 dispare atunci când oricare trei câmpuri tangente la această subvarietate sunt substituite în ea (sau, ceea ce este același, forma 3 este limitată la ea ca o formă de trei -volum riemannian dimensional). O subvarietate cu patru dimensiuni este numită coasociativă dacă forma 3 este limitată la ea de zero identic (în mod echivalent, forma 4 este limitată la ea ca formă a unui volum riemannian cu patru dimensiuni). Aceste denumiri sunt explicate prin definițiile lor alternative prin produsul vectorial: un subspațiu asociativ în este un subspațiu tridimensional închis sub produsul vectorial (sau, dacă ținem cont de faptul că produsul vectorial șapte-dimensional este obținut din multiplicarea imaginarului). octave , ca cuaternioni imaginari în octave imaginare pentru unele încorporare de algebre ). Subspațiile coasociative sunt exact complementele ortogonale ale celor asociative, sau subspații în care produsul vectorial al oricăror doi vectori este perpendicular pe acest subspațiu. $G_{2}$ $\star \rho$ $\rho$ $\rho$ $\rho$ $\mathbb{R} ^{7}$ $\mathbb {H} \hookrightarrow \mathbb {O}$

O altă analogie, mai comună în rândul fizicienilor, compară varietățile asociative cu curbele complexe din 3-varietăți Calabi-Yau și varietățile co-asociative cu subvarietăți speciale lagrangiene. Într-adevăr, produsul cartezian al unei 3-variete Calabi-Yau cu o metrică Ricci-plată pe un cerc este o varietate șapte-dimensională cu holonomie . Mai mult, produsele curbelor complexe care se află în această varietate și cerc sunt asociative, iar produsele subvarietăților speciale lagrangiene sunt coasociative. $\mathrm {SU} (3)\subset G_{2)$

O proprietate remarcabilă a produsului vectorial cu șapte dimensiuni, care îl apropie de cel tridimensional, este că dacă este un vector unitar, atunci pentru orice vector perpendicular avem . Cu alte cuvinte, multiplicarea vectorială cu normala unității este un endomorfism hiperplan la pătrat ca înmulțire cu , adică pur și simplu o structură complexă. Astfel, într-o varietate, fiecare hipersuprafață orientabilă are o structură naturală aproape complexă , care este analogă cu structura unei suprafețe Riemann pe o suprafață orientabilă în . Acest fenomen, aplicat spațiului euclidian cu șapte dimensiuni, a fost descoperit de Calabi (chiar înainte de introducerea varietăților generale). În același timp, spre deosebire de cazul tridimensional, o astfel de structură este extrem de rar integrabilă (adică permițând un atlas analitic din domenii ale spațiului complex ): de exemplu, în cazul spațiului euclidian , criteriul Calabi afirmă că această structură aproape complexă este integrabilă dacă și numai dacă operatorul Hipersuprafața Weingarten are valori proprii . În special, această suprafață trebuie să fie minimă . De exemplu, structura standard aproape complexă pe sferă este obținută ca structură aproape complexă Calabi pentru sfera unității . Prezența unei structuri aproape complexe integrabile pe o sferă cu șase dimensiuni este o problemă extrem de dificilă (cunoscută sub numele de conjectura Chern ), cu privire la statutul căreia opiniile celor mai proeminenți geometri sunt departe de a fi unanime. În același timp, astfel de varietăți aproape complexe precum sfera unității sunt, de asemenea, de interes pentru geometria diferențială: ele constituie clasa așa-numitelor. „aproximativ varietăți Kähler” ( ing. varietate aproape Kähler — traducerea exactă în rusă nu a fost încă stabilită), adică varietăți aproape hermitiene, derivata covariantă a formei standard 2 în raport cu conexiunea Levi-Civita pe care este complet oblic-simetric. Un con metric peste o varietate reală aproximativ Kähleriană de șase dimensiuni este o -varietate și, invers, coeficientul unei varietăți conic simetrice (adică unul care admite acțiunea unui grup multiplicativ prin homoteții) este în mod natural aproximativ Kählerian. $u$ $X$ $(x\times u)\times u=-x$ $-unu$ $G_{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $G_{2}$ $\mathbb {C} ^{3}$ $\lambda ,\mu ,\nu ,-\lambda ,-\mu ,-\nu$ $S^{6}\subset \mathbb {R} ^{7)$ $G_{2}$ $G_{2}$ $\mathbb {R} _{\geqslant 0)$

Istorie

Teorema Berger–Simons, dovedită în 1955, afirmă că grupul de holonomie al unei varietăți riemanniene compacte care nu este simetrică local acționează tranzitiv asupra vectorilor tangenți unitari. Lista de astfel de grupuri dată de Berger includea atât grupurile care până atunci erau cunoscute sub numele de grupuri de holonomie ale geometriilor clasice (de exemplu , grupul de holonomie al unei varietăți riemanniene generale sau grupul de holonomii al varietăților Kähleriene ), cât și cele care După cum sa dovedit mai târziu, pot fi doar grupuri de holonomie pe varietăți simetrice local (cum ar fi grupul spinor , care a fost exclus din listă de Berger Alekseevsky ). S-a crezut multă vreme că grupul care acționează pe spațiul șapte-dimensional al octavelor imaginare nu poate fi și grupul de holonomie al unei varietăți nesimetrice local, iar eforturile geometrilor din anii 1960 și 1980 au fost îndreptate spre demonstrarea acestui lucru. ${\mathrm {SO}}(n)$ $\mathrm {U} (n)$ $\mathrm {Rotire} (16)$ $G_{2}$

Bonan a dovedit în 1966 că o varietate admite o formă paralelă cu 3 forme și o formă duală cu 4 forme, folosind steaua Hodge . Pe vremea lui, totuși, nu există exemple de varietăți al căror grup de holonomie este egal cu . Primul exemplu de astfel de metrică pe domeniul în a fost construit de Bryant în 1987. În 1989, Bryant și Salamon au construit -metrics pe varietăți complete, dar necompacte: un mănunchi spinor peste o varietate tridimensională cu curbură în secțiune constantă și pe un mănunchi de forme anti-auto-duale peste o varietate Einstein cu patru dimensiuni cu un tensor Weyl auto-dual (de exemplu, o sferă cu patru dimensiuni cu o metrică rotundă sau un plan proiectiv complex cu metrica Fubini-Study). Ele sunt parțial analoge cu structura simplectică pe spațiul total al fasciculului cotangent (mai precis, metrica hiperkähler canonică a mănunchiului tangent holomorf la varietatea Kähler, care nu era încă cunoscută în acel moment și va fi descoperită în anii 1990 de către Faix și Kaledin ). Aceste rezultate parțiale au fost luate ca dovadă că astfel de metrici sunt imposibile pe o varietate compactă. $G_{2}$ $G_{2}$ $\mathbb{R} ^{7}$ $G_{2}$

În 1994, totuși, această viziune a fost respinsă: Joyce a construit mai multe exemple de varietăți compacte cu un grup de holonomie , găsind o modalitate de a rezolva analitic singularitățile unui factor al unui tor șapte-dimensional asupra unui grup finit. În 1998, MacLean a studiat deformațiile subvarietăților coasociative și asociative în varietăți închise , în special, a descoperit că deformațiile varietăților coasociative sunt descrise în termenii geometriei lor intrinseci, în timp ce varietățile asociative au o teorie a deformărilor descrisă de un operator Dirac în funcție de încorporate în spațiul închis și sunt de obicei rigide. În anii 2000, a fost inventată construcția de sumă Kovalev conectată răsucită , care permite construirea de colectoare dintr-o pereche de pliuri Fano 3 cu anumite condiții de compatibilitate. Bunurile pe -variete ale căror fibre sunt coasociative (în special, au, după cum a prezis MacLean, destul de multe deformații), au fost construite pentru prima dată folosind această construcție și sunt uneori numite „snopi Kovalev-Lefschetz” (de exemplu, de Donaldson ) prin analogie cu fasciculele la curbele eliptice pe suprafețele K3, numite istoric „snopi Lefschetz”. O generalizare a construcției lui Kovalev a făcut posibilă obținerea de structuri pe zeci de mii de varietati compacte nedifeomorfe pe perechi. În plus, în aceste generalizări au fost obținute soiuri cu subsoiuri asociative. $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$

O nouă legătură interesantă între geometria -varietăților și geometria complexă a fost stabilită în 2011 de către Verbitsky : spațiul nodurilor într- o -varietate este o varietate (infinită-dimensională) formal Kähleriană (cu alte cuvinte, deși nu admite hărți locale). cu valori în spațiul complex Fréchet cu funcții complexe de regulare analitică, dar obstrucția liniar-algebrică la prezența unor astfel de hărți, tensorul Nijenhuis, dispare pe ele; în cazul dimensional finit, observăm, acest lucru este suficient pentru prezenţa unui atlas analitic complex). $G_{2}$ $G_{2}$

Vezi și

Spațiul Calabi-Yau