Grupa P

p -grup - un grup în care ordinea fiecărui element este o putere a unui număr prim p .

Exemple

Grupul de ordine ciclică și produsele directe ale unor astfel de grupuri. $p^{n}$
- Fiecare grup p - comutativ este izomorf la unul dintre aceste exemple.
Modulul grupului Heisenberg este cel mai simplu exemplu de grup p necomutativ . $p$
Grupul Grigorchuk este un exemplu de 2-grup infinit.

Proprietăți

Centrul unui grup p finit non-trivial este un grup non-trivial. $Z(P)$ $P$
- În special, toate grupurile p sunt nilpotente .
- Mai mult, dacă
un subgrup normal într-un grup p , atunci . $H$ $P$ $|H\cap Z(P)|>1$
- Această proprietate se obține din teorema centrului dacă ținem cont de faptul că orice subgrup al unui p -grup este el însuși un p -grup și că un subgrup normal este invariant la conjugări.

Dacă grupul este finit, atunci ordinea lui este, de asemenea, egală cu o putere a lui p (aceasta rezultă din prima teoremă a lui Sylow ).

Mai mult decât atât, orice grup de ordine este un grup p (urmează din teorema lui Legendre ). $p^{n}$

Pentru , numărul de grupuri de ordin non-izomorfe este asimptotic egal cu

n\rightarrow\infty

p^{n}

p^{{\frac {2}{27}}\cdot n^{3}+O(n)}

.

Vezi și

Problemă cu Burnside

Literatură

Kurosh A. G. Teoria grupurilor . - Ed. a 3-a. — M.: Nauka , 1967. — 648 p. — ISBN 5-8114-0616-9 . (Rusă)
Hall M. Teoria grupurilor. - M .: Editura de literatură străină, 1962.
Gorenstein D. Grupuri finite - NY: Harper and Row, 1968.