Funcții eliptice Weierstrass

Funcțiile eliptice Weierstrass sunt una dintre cele mai simple funcții eliptice . Această clasă de funcții (în funcție de curba eliptică) poartă numele lui Karl Weierstrass . Ele sunt numite și funcții Weierstrass, iar pentru a le desemna se folosește un simbol ( P stilizat ). $\wp$ $\wp$

Definiție

Să fie dată o curbă eliptică , unde este o rețea în . Atunci funcția Weierstrass de pe ea este o funcție meromorfă definită ca suma seriei $E={\mathbb {C}}/\Gamma$ $\Gamma$ $\mathbb {C}$ $\wp$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{{w\in \Gamma \setminus \{0\}}}\left({\frac {1}{(zw)^{2}}}-{\frac {1}{w^{2}}}\dreapta).

Se poate observa că funcția astfel definită va fi -periodică pe , și deci este o funcție meromorfă pe . $\Gamma$ $\mathbb {C}$ $E$

Seria care definește funcția Weierstrass este, într-un anumit sens, o „versiune regularizată” a seriei divergente – o încercare „naivă” de a defini o funcție -periodică. Acesta din urmă diverge absolut (și în absența unei ordini naturale pe ea are sens să vorbim doar de convergență absolută) pentru tot z, deoarece pentru un z fix și pentru w mare modulii termenilor săi se comportă ca , iar suma peste a rețeaua bidimensională diverge. $\sum _{{w\in \Gamma }}{\frac {1}{(zw)^{2}}}$ $\Gamma$ $\Gamma$ ${\frac {1}{|w|^{2}}}$ $\sum _{{w\in \Gamma }}{\frac {1}{|w|^{2}}}$ $\Gamma$

Variante ale definiției

Setarea zăbrelei ca bază, , putem scrie $\Gamma$ $\Gamma =\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in {\mathbb {Z}}\}$

\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{{(m,n)\in {\mathbb {Z}}^{2}\setminus \{(0,0)\}}}\left({\frac {1}{(zm\omega _{1}-n\omega _{2})^{ 2))}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\dreapta).

De asemenea, deoarece funcția Weierstrass în funcție de trei variabile este omogenă , notând , avem egalitatea $\wp (az;a\omega _{1},a\omega _{2})=a^{{-2}}\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})$ $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$

\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}^{{-2}}\wp (z/\omega _{1};1,\tau ) .

Prin urmare, luați în considerare

\wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{{(m,n)\in {\mathbb {Z}}^{2}\setminus \{(0,0)\}}}\left({\frac {1}{(zmn\tau )^{2}}}-{\frac {1}{ (m+n\tau )^{2}}}\dreapta).

Proprietăți

Funcția Weierstrass este o funcție meromorfă uniformă pe o curbă eliptică E, cu un singur pol de ordinul doi la 0. $\wp _{E}:E\mapsto \widehat {{\mathbb {C}}}$
Ca o mapare meromorfă de gradul 2, definește o acoperire ramificată cu două foi a sferei Riemann de către torul E. Această acoperire are patru puncte de ramificare : infinit și trei valori critice . Aceste patru valori sunt imaginile celor patru puncte lăsate pe loc de automorfismul curbei E - punctul 0 și cele trei semiperioade . Astfel, funcția Weierstrass implementează un izomorfism (sau, mai precis, coboară la un izomorfism) între sfera topologică (care moștenește o structură complexă cu E) și sfera Riemann . $e_{1},e_{2},e_{3}$ $z\mapsto -z$ $\omega _{1}/2,\omega _{2}/2,(\omega _{1}+\omega _{2})/2$ $E/(z\mapsto -z)$ $\widehat {{\mathbb {C}}}$
Folosind expansiunea și însumând peste , putem obține expansiunea în punctul funcției Weierstrass într-o serie Laurent: ${\frac {1}{(wz)^{2}}}={\frac {1}{w^{2}}}+\sum \nolimits _{{j=1}}^{{\infty } }{\frac {j+1}{w^{{j+2))))z^{j}$ $w\în \Gamma \setminus \{0\}$ $z=0$

$\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{{k=2}}^{{\infty }}(2k+1)G_{{ 2k}}(\Gamma )z^{{2k-2}},$ unde sunt seria Eisenstein pentru rețea (sumele impare corespunzătoare sunt egale cu zero). $G_{{2k}}(\Gamma )=\sum _{{w\in \Gamma \setminus \{0\}}}w^{{-2k}}$ $\Gamma$

Cu toate acestea, coeficienții la și sunt adesea scriși într-o normalizare diferită, tradițională, legată (vezi mai jos) de încorporarea unei curbe eliptice în : $z^{2}$ $z^{4}$ ${\mathbb {C}}P^{2}$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{ \frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\dots ,

unde și sunt invarianții modulari ai rețelei : $g_{2}$ $g_{3}$ $\Gamma$

g_{2}(\Gamma )=60G_{4}(\Gamma ),\quad g_{3}(\Gamma )=140G_{6}(\Gamma ).

Încorporarea curbelor eliptice în ${\mathbb {C}}P^{2}$

Funcțiile Weierstrass vă permit să construiți o încorporare a unei curbe eliptice în , prin prezentarea unei ecuații care definește imaginea. Aceasta stabilește o corespondență între vederile „algebrice” și „topologice” ale curbei eliptice - permițându-vă să încorporați curba eliptică și să scrieți în mod explicit ecuația care definește imaginea. ${\mathbb {C}}P^{2}$ $E={\mathbb {C}}/\Gamma$ ${\mathbb {C}}P^{2}$

Și anume, luați în considerare maparea dată în afara punctului ca Deoarece funcția este meromorfă, această mapare se extinde la o mapare holomorfă de la la . $F:E\la {\mathbb {C}}P^{2}$ $z=0$ $F(z)=(\wp (z),\wp '(z))\in {\mathbb {C}}^{2}.$ $\wp$ $E$ ${\mathbb {C}}P^{2}$

Imaginea acestei mapări poate fi specificată în mod explicit. Și anume, singurul pol atât al funcției, cât și al funcției este punctul . În plus, deoarece este o funcție pară, este impară și, în consecință, pară . Funcția are un pol de ordinul doi la zero - astfel încât polii pot fi îndepărtați prin scăderea unei combinații liniare de puteri . Alegerea explicită a coeficienților din expansiuni $\wp (z)$ $\wp '(z)$ $z=0$ $\wp (z)$ $\wp '(z)$ $(\wp '(z))^{2}$ $\wp (z)$ $(\wp')^{2}$ $\wp$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{ \frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\dots ,

(\wp '_{E}(z))^{2}=\left(-{\frac {2}{z^{3}}}+{\frac {1}{10}}g_{2} (\Gamma )z+{\frac {1}{7}}g_{3}(\Gamma )z^{3}+\dots \right)^{2}={\frac {4}{z^{6 ))}-{\frac {2}{5}}g_{2}(\Gamma ){\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {4}{7}}g_{3 }(\Gamma)+\puncte,

vedem că diferența

\varphi (z)=(\wp _{E}'(z))^{2}-4\wp _{E}^{3}(z)+g_{2}(E)\wp (z)

este nesingular într-un punct . Dar este și holomorfă în exterior (pentru că și este holomorfă ), deci este o funcție holomorfă pe întreaga suprafață compactă Riemann . În virtutea principiului maximului, este o constantă. În cele din urmă, din aceeași expansiune la zero, îi găsim valoarea - se dovedește a fi egală cu . În cele din urmă, funcția se transformă la zero identic. Astfel, imaginea mapării este o curbă eliptică dată de ecuație $z=0$ $\varphi (z)$ $z=0$ $\wp$ $\wp'$ $\varphi (z)$ $E$ $\varphi (z)$ $-g_{3}(E)$ $(\wp '(z))^{2}-4\wp ^{3}(z)+g_{2}(E)\wp (z)+g_{3}(E)$ $E$ $F$ ${\mathbb {C}}P^{2}$

y^{2}=4x^{3}-g_{2}(E)x-g_{3}(E).

Strict vorbind, coeficienții „istorici” 60 și 140, care leagă invarianții modulari și cu sumele corespunzătoare de puteri inverse și , sunt legați tocmai de aceasta : datorită unei astfel de alegeri tradiționale de normalizare, în ecuația pentru curbă și este exact coeficientul lui si este termenul liber. $g_{2}$ $g_{3}$ $G_{2}(E)$ $G_{3}(E)$ $g_{2}$ $g_{3}$ $X$

Forme holomorfe, rețele de perioadă și mapare inversă

Pentru o curbă eliptică , rețeaua care o definește nu este definită în mod unic: este definită până la proporționalitate. Cu toate acestea, rețeaua corespunde unu-la-unu perechii , unde este o formă 1 holomorfă diferită de zero pe : se poate lua proiecția pe formele pe , apoi este restaurată ca un set de integrale posibile peste bucle pe torul : $E$ $\Gamma$ $(E,\omega )$ $\omega$ $E$ $\omega$ $E$ $dz$ $\mathbb {C}$ $\Gamma$ $\omega$ $E$

\Gamma =\left\{\int _{{\gamma }}\omega \mid \gamma \in H_{1}(E)\right\}

Există o formă holomorfă pe curba eliptică , care este imaginea mapării . Este ușor de observat că este exact imaginea formularului atunci când este afișat . Acest lucru ne permite să ajungem la mai multe concluzii simultan: $y^{2}=4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)$ $F=(\wp _{E},\wp '_{E})$ $\omega ={\frac {dx}{y}}$ $dz$ $E$ $F$

Maparea inversă față de mapare este căutată ca o integrală a formei : $F$ $\omega$

z(x,y)=\int _{{\infty }}^{{(x,y))){\frac {dx}{y}},

unde integrarea se realizează de-a lungul unui traseu situat pe o curbă eliptică . Punctul de la infinit pe curbă este ales ca început al căii de integrare, deoarece este imaginea F a punctului , iar schimbarea alegerii căii către alta duce la modificarea rezultatului la un element al zăbrele de epocă . $F(E)$ $F(E)$ $z=0$ $\Gamma$

Maparea inversă la funcția Weierstrass este dată de

\wp _{E}^{{-1}}(x)=\int _({\infty }}^{x}{\frac {dx}{\pm {\sqrt {4x^{3}+g_ {2}(E)x+g_{3}(E)}}}}.

(alegerea semnului corespunde alegerii uneia dintre cele două preimagini pe curba eliptică, iar o modificare a căii de integrare duce la o deplasare a preimaginei calculate de către elementul ). $\Gamma$

Rețeaua este reconstruită ca un set de integrale de formă pe toate căile posibile închise pe o curbă eliptică . $\Gamma$ ${\frac {dx}{y))$ $y^{2}=4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)$

Adăugarea de puncte pe o curbă eliptică

O curbă eliptică este (sau, mai precis, poate fi făcută a fi) un grup abelian prin adunare. Pentru o reprezentare „algebrică”, aceasta este pur și simplu adăugare de puncte . Pentru „geometric” - așa cum este încorporat într- o curbă - această adunare este dată prin alegerea unui punct infinit îndepărtat ca zero și regula „trei puncte situate pe o linie dreaptă se adună la zero”. $E={\mathbb {C}}/\Gamma$ $\mathbb {C}$ ${\mathbb {C}}P^{2}$ $y^{2}=4x^{3}+px+q$

Este firesc să ne așteptăm ca maparea construită din funcția Weierstrass să transforme adunarea dată algebric în cea dată geometric, ceea ce este cazul. Aceasta (deoarece coliniaritatea a trei puncte este dată prin transformarea determinantului la zero) corespunde următoarei relații: $F=(\wp(z),\wp '(z))$

\det {\begin{bmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w) &1\end{bmatrix}}=0

pentru orice . De asemenea, având în vedere paritatea pară și impară , se poate scrie ca $u+v+w=0$ $\wp$ $\wp'$

\det {\begin{bmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\\\wp (z+w)&-\wp ' (z+w)&1\end{bmatrix}}=0

Aplicații în dinamica holomorfă

Folosind funcția Weierstrass, construim un exemplu de Latte — un exemplu de mapare rațională a sferei Riemann în sine, a cărei mulțime Fatou este goală (și, prin urmare, a cărei dinamică este peste tot haotică). Și anume, luând , putem lua în considerare harta de dublare pe torus : $\wp$ $\Gamma ={\mathbb {Z}}[i]=\{a+bi\mid a,b\in {\mathbb {Z}}\}$ $D$ $E={\mathbb {C}}/\Gamma$

D(z)=2z\,\mod {\mathbb {Z}}[i].

Această mapare este haotică peste tot - un cartier arbitrar mic acoperă întregul tor după un număr finit de iterații.

Pe de altă parte, maparea coboară corect la factorul . Prin urmare, maparea D prin mapare este semi-adjunctă la o mapare rațională : $D$ $S^{2}=E/(z\sim -z)$ $\wp$ $R:{\mathbb {C}}P^{1}\la {\mathbb {C}}P^{1}$

\wp \circ D=R\circ \wp .

Cu alte cuvinte,

R(z)=\wp (2\wp ^{{-1}}(z)).

Pentru o astfel de cartografiere , imaginile cartierelor mici acoperă, de asemenea, întreaga sferă Riemann după un număr finit de iterații. Prin urmare, setul Julia și, respectiv, setul Fatou sunt goale. $R$ $J(R)={\mathbb {C}}P^{1}$

În cele din urmă, este ușor de observat că gradul de cartografiere este de patru (deoarece maparea pe tor are gradul 4), iar coeficienții săi pot fi găsiți în mod explicit prin calcularea unui număr suficient de coeficienți ai seriei Taylor la zero în termeni de seria Laurent pentru (și, în consecință, pentru ). $R$ $z\mapsto 2z$ $R$ $R$ $\wp$ $\wp ^{{-1}}$

Note

Link -uri

Weisstein, Eric W. Weierstrass Eliptic Function (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .

Literatură

J. Hubbard, I. Pourezza, The space of closed subgrups of , Topology 18 (1979), nr. 2, p. 143-146. $\mathbb {R} ^{2}$
Lavrentiev M. A., Shabat B. V., Metode ale teoriei funcțiilor unei variabile complexe.
A. F. Beardon, Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin, New York, Heidelberg, 2009, ISBN 0-387-95151-2