Funcția holomorfă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 20 iunie 2022; verificările necesită 4 modificări .

O funcție holomorfă sau o funcție analitică complexă cu o singură valoare (din greacă ὅλος - „întreg, întreg” și μορφή - „formă”), uneori numită funcție regulată - o funcție a unei variabile complexe , definită pe un subset deschis al plan complex și complex diferențiabil în fiecare punct. $\mathbb {C}$

Spre deosebire de cazul real, această condiție înseamnă că funcția este infinit diferențiabilă și poate fi reprezentată printr-o serie Taylor care converge către aceasta .

Funcțiile holomorfe sunt uneori numite și analitice , deși al doilea concept este mult mai larg, deoarece o funcție analitică poate fi multivalorică și poate fi luată în considerare și pentru numere reale .

Definiție

Fie un subset deschis al și să fie o funcție cu valori complexe pe . Se spune că o funcție este holomorfă pe mulțime dacă una dintre următoarele condiții echivalente este îndeplinită: $U$ $\mathbb {C}$ $f:U\la {\mathbb {C}}$ $U$ $U$

Funcția are o derivată complexă în fiecare punct al mulțimii , adică limita $U$ $f'(z)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h)).$
Funcția este complex-diferențiabilă în fiecare punct , adică există un număr astfel încât într-o vecinătate a punctului $z\in U$ $L\in \mathbb {C}$ $z$ $f(z+h)=f(z)+Lh+o(h)$
Funcția este real-diferențiabilă și condițiile Cauchy-Riemann și sunt satisfăcute în fiecare punct Iată și părțile reale și imaginare ale funcției luate în considerare. $z=x+iy\in U$ ${\frac {\partial u}{\partial x)}={\frac {\partial v}{\partial y)}$ ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$ $u(z)$ $v(z)$
Funcția este diferențiabilă reală și în fiecare punct , unde . $z\in U$ ${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}})=0$ ${\frac {\partial }{\partial {\bar z))}={1 \over 2}\left({\frac {\partial }{\partial x))+i{\frac {\partial }{ \partial y}}\right),$
Seria Taylor a funcției în fiecare punct are o rază de convergență diferită de zero, iar suma sa este egală într-o anumită vecinătate cu . $z\in U$ $f(z)$ $z$
Funcția este continuă și integrală pentru orice curbă închisă . $\int \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0$ $\Gamma \subset U$

Faptul că toate aceste definiții sunt echivalente este un rezultat nebanal și destul de remarcabil al analizei complexe.

Se spune că o funcție este holomorfă într-un punct dacă este holomorfă într-o anumită vecinătate . $f$ $z_{0}\în U$ $z_{0}$

O funcție se numește holomorfă dacă este diferențiabilă complexă în domeniul său. $f$

Definiții înrudite

O funcție întreagă este o funcție holomorfă pe întregul plan complex.
O funcție meromorfă este o funcție care este holomorfă într-un domeniu și are un pol în toate punctele sale singulare. $\Omega \setminus \{{z_{i)),\;i\în I\subset {\mathbb {N}}\}$ $z_{i}$
Se spune că o funcție este holomorfă pe o mulțime compactă dacă există o mulțime deschisă care conține o astfel de funcție care este holomorfă în . $f$ $K$ $D$ $K$ $f$ $D$

Proprietăți

O funcție complexă este holomorfă dacă și numai dacă sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann $u+iv=f(x+iy)$ ${\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y));\quad {\frac {\partial u}{\partial y))=-{\ frac {\partial v}{\partial x))$

iar derivatele parțiale sunt continue.

{\frac {\partial u}{\partial x)),\;{\frac {\partial u}{\partial y)),\;{\frac {\partial v}{\partial x)),\ ;{\frac {\partial v}{\partial y))

Suma și produsul funcțiilor holomorfe este o funcție holomorfă, care decurge din liniaritatea diferențierii și din îndeplinirea regulii Leibniz. Coeficientul funcțiilor holomorfe este, de asemenea, holomorf în toate punctele în care numitorul nu dispare.
Derivata unei funcții holomorfe este din nou holomorfă, astfel încât funcțiile holomorfe sunt infinit diferențiabile în domeniul lor de definiție.
Funcțiile holomorfe pot fi reprezentate ca convergente într-o anumită vecinătate a fiecărui punct din seria Taylor .
Din orice funcție holomorfă se pot distinge părțile sale reale și imaginare, fiecare dintre acestea fiind o soluție a ecuației Laplace în . Adică, dacă este o funcție holomorfă, atunci și sunt funcții armonice . $\mathbb {R} ^{2}$ $f(x+iy)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)$ $u$ $v$
Dacă valoarea absolută a unei funcții holomorfe atinge un maxim local într-un punct interior al domeniului său, atunci funcția este constantă (se presupune că domeniul este conectat). De aici rezultă că maximul (și minim, dacă nu este egal cu zero) al valorii absolute a funcției holomorfe poate fi atins doar la limita domeniului.
Într-o regiune în care derivata întâi a unei funcții holomorfe nu dispare și funcția este univalentă , efectuează o mapare conformă .
Formula integrală a lui Cauchy raportează valoarea unei funcții într-un punct interior al unei regiuni cu valorile sale la limita acestei regiuni.
Din punct de vedere algebric, mulțimea de funcții holomorfe dintr-o mulțime deschisă este un inel comutativ și un spațiu liniar complex . Este un spațiu vectorial topologic convex local cu seminorma egală cu suprema pe submulțimi compacte.
Conform teoremei Weierstrass , dacă o serie de funcții holomorfe dintr-un domeniu converge uniform pe orice mulțime compactă, atunci suma sa este și holomorfă, iar derivata sa este limita derivatelor sumelor parțiale ale seriei [1] . $D$ $D,$
Dacă în domeniu nu dispare, atunci va fi holomorf în . $f'(z)$ $G$ $f^{{-1}}(z)$ $G$

Unele proprietăți ale funcțiilor holomorfe sunt apropiate de proprietățile polinoamelor , ceea ce, totuși, nu este surprinzător - descompunerea funcțiilor holomorfe din seria Taylor indică faptul că funcțiile sunt, într-un fel, variante limitative ale polinoamelor. Să presupunem că, conform teoremei fundamentale a algebrei , orice polinom poate avea zerouri nu mai mult decât gradul său. Pentru funcțiile holomofice, este adevărată o afirmație similară, care rezultă din teorema unicității într-o formă alternativă:

Dacă mulțimea de zerouri a unei funcții holomorfe într-un domeniu simplu conectat are un punct limită în acest domeniu , atunci funcția este identic egală cu zero.
Pentru o funcție de mai multe variabile reale, diferențiabilitatea față de fiecare dintre variabile nu este suficientă pentru ca funcția să fie diferențiabilă. Pentru o funcție de mai multe variabile complexe, a fi holomorf în fiecare dintre variabile este suficient pentru ca funcția să fie holomorfă ( teorema lui Hartogs ).

Exemple

Toate polinoamele din z sunt funcții holomorfe pe întregul plan . $\mathbb {C}$

În plus, holomorfe, deși nu pe întregul plan complex, sunt funcțiile raționale , funcțiile exponențiale , logaritmul , funcțiile trigonometrice, funcțiile trigonometrice inverse și multe alte clase de funcții, precum și sumele, diferențele, produsele, funcțiile holomorfe parțiale.

Exemple de funcții non-holomorfe includ $\mathbb {C}$

$f(z)=|z|$ ,
$f(z)=\overline {z}$ ,

întrucât nu au în niciun moment o derivată complexă. În acest caz, restricția la axa reală va fi o funcție analitică a variabilei reale (deoarece coincide complet cu restricția funcției ). $f(z)=\overline {z}$ $f(z)=z$

Istorie

Termenul „funcție holomorfă” a fost introdus de doi studenți ai lui Cauchy , Brio ( 1817 - 1882 ) și Bouquet ( 1819 - 1895 ), și provine din cuvintele grecești őλoς ( holos ), care înseamnă „întreg”, și μorφń ( morphe ) - formă, imagine. [2]

Astăzi, mulți matematicieni preferă termenul „funcție holomorfă” în loc de „funcție analitică”, deoarece acest din urmă concept este folosit pentru un caz mai general. În plus, unul dintre rezultatele importante ale analizei complexe este că orice funcție holomorfă este analitică , ceea ce nu este evident din definiție. Termenul „analitic” este folosit de obicei pentru cazul mai general, când funcțiile nu sunt neapărat date în plan complex.

Variații și generalizări

Caz multidimensional

Există, de asemenea, o definiție a holomorfiei funcțiilor mai multor variabile complexe

f\colon \mathbb {C} ^{n}\la \mathbb {C} .

Pentru definire se folosesc conceptele de -diferențiabilitate și -liniaritate ale unor astfel de funcții $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$

C-liniaritate

O funcție se numește -liniară dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: $f$ $\mathbb {C}$

$f(z'+z'')=f(z')+f(z''),\quad z',\;z''\in \mathbb {C} ^{n)$ .
$f(\lambda z)=\lambda f(z),\quad z\in \mathbb {C} ^{n},\quad \lambda \in \mathbb {C}$

(pentru funcții -liniare ). $\mathbb {R}$ $\lambda \in \mathbb{R}$

Pentru orice funcție liniară , există secvențe astfel încât . $\mathbb {R}$ $f$ $\{a_{n}\},\;\{b_{n}\}\subset \mathbb {C}$ $f=\sum _{{i=1}}^{{n}}(a_{i}z_{i}+b_{i}{\bar z}_{i})$
Pentru orice funcție liniară , există o secvență astfel încât . $\mathbb {C}$ $f$ $\{a_{n}\}\subset \mathbb {C}$ $f=\sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}z_{i}$

C-diferențiabilitate

O funcție se numește -diferențiabilă într-un punct dacă există funcții și astfel încât într-o vecinătate a punctului $f$ $\mathbb {C}$ $z\in \mathbb {C} ^{n}$ $l$ $o$ $z$

f(z+h)=f(z)+l(h)+o(h),\quad \lim _{{h\to 0}}{\frac {o(h)}{h}}=0 ,

unde este funcția -liniară (pentru -diferențiabilitate - -liniară). $l$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Holomorfism

Se spune că o funcție este holomorfă într-un domeniu dacă este -diferențiabilă într-o vecinătate a fiecărui punct din acel domeniu. $f$ $D,$ $\mathbb {C}$

Cvasi-analiticitate

Note

↑ A. V. Domrin, A. G. Sergeev. Prelegeri despre analiza complexă. Prima jumătate de an. - M .: MIAN, 2004. - S. 79. - ISBN 5-98419-007-9 .
↑ Markushevich AI, Silverman, Richard A. (ed.) Teoria funcțiilor unei variabile complexe. - M .: Societatea Americană de Matematică , ed. a II-a. — ISBN 0-8218-3780-X , [1] Arhivat 13 noiembrie 2012 la Wayback Machine .

Literatură

Funcție holomorfă // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka , 1969 . — 577 p.
Titchmarsh E. Teoria funcţiilor: Per. din engleza. - Ed. a II-a, revizuită. — M .: Nauka , 1980 . — 464 p.
Privalov II Introducere în teoria funcțiilor unei variabile complexe: Un manual pentru învățământul superior. - M. - L .: Editura de Stat, 1927 . — 316 p.
Evgrafov M. A. Funcții analitice. - Ed. a II-a, revizuită. si suplimentare — M .: Nauka , 1968 . — 472 p.
Blakey, Joseph. Matematică universitară (neopr.) . — al 2-lea. — Londra: Blackie and Sons, 1958.

Link -uri

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Funcția analitică , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

Dicționare și enciclopedii

Mare norvegian
Marele Soviet (1 ed.)

În cataloagele bibliografice
BNF : 119819963 GND : 4025645-5 J9U : 987007562960505171 LCCN : sh85061536 NDL : 00570426 NKC : ph321880