Funcția R

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 mai 2016; verificările necesită 5 modificări .

Funcția R ( funcția Rvachev ) - o funcție numerică a variabilelor reale , al cărei semn este complet determinat de semnele argumentelor sale cu împărțirea corespunzătoare a axei numerice în intervale și . Funcțiile R au fost introduse pentru prima dată în lucrările lui V. L. Rvachev [1] [2] [3] . Spre deosebire de geometria analitică clasică, teoria funcțiilor R se ocupă de sinteza de probleme și ecuații cu proprietăți cunoscute. [patru]

Pentru a studia funcțiile R, trebuie să cunoaștem nu numai geometria analitică clasică, ci și teoria mulțimilor.

Definiție

O funcție numerică se numește funcție R dacă există o funcție booleană însoțitoare cu același număr de argumente ca și

Conceptul de funcție R este introdus în mod similar pentru numărul de argumente

Fiecare funcție R are o funcție booleană unică însoțitoare. Reversul nu este adevărat: aceeași funcție booleană corespunde unui număr infinit (ramură) de funcții R.

Mulțimea funcțiilor R este închisă în sensul suprapunerii funcțiilor R. Un sistem de funcții R se numește suficient de complet dacă mulțimea tuturor suprapozițiilor de elemente (mulțimea funcțiilor -realizabile) are o intersecție nevidă cu fiecare ramură a mulțimii de funcții R. O condiție suficientă pentru completitudine este completitudinea sistemului de funcții booleene însoțitoare corespunzătoare.

Sisteme complete de funcții R

Cel mai frecvent utilizat sistem complet de funcții R este sistemul (pentru ):

Când avem sistemul :

Când avem sistemul :

În acest din urmă caz, funcțiile R de conjuncție și disjuncție coincid cu norma t și t-conorma corespunzătoare logicii fuzzy :

Aplicații

Cu ajutorul funcțiilor R, se pot construi sub formă implicită ecuațiile limitelor domeniilor compuse din ecuațiile cunoscute ale domeniilor simple. Descrierea limitei unei zone complexe sub forma unei singure expresii analitice vă permite să creați structuri pentru rezolvarea problemelor de limită ale fizicii matematice care depind de componente nedefinite și care satisfac exact condițiile de limită . Componentele incerte ale unor astfel de structuri pot fi apoi găsite prin una dintre metodele variaționale sau de proiecție pentru rezolvarea problemelor cu valori la limită (colocare, Rayleigh-Ritz , Bubnov-Galyorkin-Petrov , cele mai mici pătrate ). Metoda de rezolvare a problemelor cu valori la limită pentru ecuațiile diferențiale parțiale bazată pe teoria funcțiilor R se numește metoda structurală a funcțiilor R sau, în literatura străină, RFM (Metoda R-Functions).

Funcțiile R pot fi considerate ca un instrument al logicii cu valori infinite sau al logicii fuzzy .

Funcțiile R sunt utilizate (în principal de către elevii școlii științifice din Harkov ) în rezolvarea unei clase largi de probleme de fizică matematică ( teoria elasticității [5] [6] [7] [8] [9] , electrodinamică [10] [ 11] [12] , teoria conductivității termice [13] [14] [15] [16] ), precum și în procesarea imaginilor și a semnalului digital multidimensional [17] , grafica pe computer și alte domenii.

Aplicarea teoriei R-funcțiilor și waveletelor la soluționarea problemelor cu valori la limită ale fizicii matematice

În opera profesorului V.F. Kravchenko și elevul său A.V. Yurin [12] a propus și fundamentat o nouă metodă bazată pe teoria funcțiilor R și a sistemelor WA de funcții [18] [19] [20] (wavelete construite pe baza funcțiilor atomice), folosind variația Galerkin-Petrov. principiu.

Când se analizează o clasă largă de probleme cu valori la limită de natură fizică variată, devine necesară rezolvarea ecuațiilor cu diferențe parțiale în care zona studiată are o configurație complexă. În astfel de cazuri, de regulă, se folosesc metode numerice: grilă (metoda diferențelor finite, elemente finite, elemente de limită), metode variaționale și de proiecție (metoda Ritz, Bubnov-Galerkin-Petrov, colocații, Treftts, metoda celor mai mici pătrate, metoda zonelor fictive , R -funcții). Cu toate acestea, fiecare dintre ele are propriile sale avantaje și dezavantaje. Astfel, metodele grilă au o eficiență ridicată a algoritmului (datorită căreia sunt utilizate pe scară largă), dar nu țin cont cu exactitate de geometria obiectului studiat. În cazul metodelor variaționale, nu este întotdeauna posibil să se construiască funcții de bază care să satisfacă toate condițiile cerute. Prin urmare, utilizarea lor este limitată. Trebuie subliniată în special metoda R-funcțiilor [11] , care are flexibilitate geometrică și universalitate față de metoda aleasă de minimizare a funcționalului . Aplicarea acestei abordări necesită costuri de calcul semnificative. Acest lucru se datorează utilizării formulelor structurale, care se bazează pe funcțiile regiunii construite cu ajutorul operațiilor R. Astfel de funcții pot avea o structură complexă, iar pentru a calcula integralele lor pe o regiune de formă nestandard, este necesar să se utilizeze formule de cuadratura cu o precizie ridicată. Bazele wavelet fac posibilă ocolirea dezavantajelor de mai sus datorită proprietăților lor unice [21] [22] și dezvoltarea unei scheme de calcul adaptive fără a utiliza operația de integrare. Această abordare este posibilă datorită introducerii unor coeficienți speciali care reflectă caracteristicile diferențiale și integrale ale bazei, precum și coeficienții expansiunii wavelet a funcțiilor de domeniu, condițiile la limită și partea dreaptă a ecuației. Instrumentul principal pentru implementarea noii metode bazate pe funcții R și wavelets este schema Galerkin-Petrov [23] [24] pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale parțiale.

În lucrările [12] [20] , folosind exemplul rezolvării problemelor cu valori la limită de tip eliptic, este prezentată eficacitatea metodei funcțiilor R (funcțiile lui V.L. Rvachev) în combinație cu sistemele WA de funcții [18] , care înlătură toate dezavantajele indicate mai jos.

Note

  1. ↑ Rvachev V. L. Aplicații geometrice ale algebrei logicii. - Kiev: Tekhnika, 1967.
  2. ↑ Rvachev V. L. Metode de algebră a logicii în fizica matematică. - Kiev: Nauk. gândire, 1974.
  3. ↑ Rvachev V. L. Teoria funcțiilor R și unele dintre aplicațiile sale. - Kiev: Nauk. gândit 1982.
  4. ↑ Kaledin, Valery Olegovich. Teoria funcţiilor R: un manual pentru instituţiile de învăţământ superior în direcţia Matematică Aplicată şi Informatică: rec. universitățile UMO din Federația Rusă / V. O. Kaledin, E. V. Reshetnikova, V. B. Gridchina; statul Kemerovo. un-t, Novokuznetsk in-t (fil.). - Ed. a II-a, revizuită. si suplimentare - Novokuznetsk: NFI KemSU, 2017. - 119 p.
  5. ↑ Rvachev V. L., Kurpa L. V., Sklepus N. G., Uchishvili L. A. Metoda funcțiilor R în problemele de îndoire și vibrații ale plăcilor de formă complexă. - Kiev: Naukova Dumka, 1973.
  6. ↑ Rvachev V. L., Protsenko V. S. Probleme de contact ale teoriei elasticității pentru regiuni non-clasice. - Kiev: Naukova Dumka, 1977.
  7. ↑ Rvachev V. L., Kurpa L. V. R-funcții în problemele teoriei plăcilor. - Kiev: Naukova Dumka 1987.
  8. ↑ Rvachev V. L., Sinekop N. S. Method of R-functions in problems of the theory of elasticity and plasticity. - Kiev: Naukova Dumka 1990.
  9. ↑ Pobedrya B. E. Metode numerice în teoria elasticității și plasticității. - M.: Editura Universității de Stat din Moscova, 1995.
  10. ↑ Kravchenko V. F., Basarab M. A. Algebra booleană și metode de aproximare în problemele cu valori la limită ale electrodinamicii. — M.: Fizmatlit, 2004.
  11. ↑ 1 2 Kravchenko VF, Rvachev VL Algebra logicii, funcțiilor atomice și wavelets în aplicații fizice. — M.: Fizmatlit, 2006.
  12. ↑ 1 2 3 V.F. Kravcenko, A.V. Yurin. Aplicarea teoriei R-funcțiilor și waveletelor la rezolvarea problemelor cu valori la limită de tip eliptic. Unde electromagnetice și sisteme electronice. 2009. V.14. Numărul 3. pp. 4-39.
  13. ↑ Rvachev V. L., Slesarenko A. P. Algebr-logical and projection methods in heat transfer problems. - Kiev: Nauk. gândire, 1978.
  14. ↑ Basarab M. A., Kravchenko V. F., Matveev V. A. Modelarea matematică a proceselor fizice în giroscopie. - M .: Inginerie radio, 2005.
  15. ↑ Basarab M. A., Kravchenko V. F., Matveev V. A. Methods of modeling and digital signal processing in gyroscopy. — M.: Fizmatlit, 2008.
  16. ↑ Matveev V. A., Lunin B. S., Basarab M. A. Sisteme de navigație bazate pe giroscoape în stare solidă cu val. — M.: Fizmatlit, 2008.
  17. ↑ Prelucrarea digitală a semnalului și a imaginii în aplicații radiofizice / Ed. V. F. Kravcenko. — M.: Fizmatlit, 2007.
  18. ↑ 1 2 V.F. Kravchenko, O.S. Labunko, A.M. Lehrer, G.P. Sinyavsky. Capitolul 3, 4 // Metode de calcul în radiofizica modernă. Sub. ed. V.F. Kravcenko. — Moscova: Fizmatlit, 2009.
  19. ↑ Kravchenko V.F., Kravchenko O.V., Pustovoit V.I., Churikov D.V., Yurin A.V. Aplicarea familiilor de sisteme atomice, WA și funcții R în problemele moderne de radiofizică. Partea a II-a // Inginerie radio și electronică: revizuire. - 2015. - Nr. T. 60. Nr. 2 . — S. 109-148 .
  20. ↑ 1 2 Kravchenko V.F., Kravchenko O.V., Pustovoit V.I., Churikov D.V., Yurin A.V. Aplicarea familiilor de sisteme atomice, WA și funcții R în problemele moderne de radiofizică. Partea IV // Inginerie radio și electronică. - 2015. - T. 60 , Nr. 11 . - S. 1113-1152 .
  21. ↑ Dobeshi I. Zece prelegeri despre wavelets. Izhevsk: Centrul de cercetare „Dinamica regulată și haotică”, 2001.
  22. ↑ Novikov I.Ya., Protasov V.Yu., Skopina M.A. Teoria splash. Moscova: Fizmatlit, 2006.
  23. ↑ Aubin J.P. Rezolvarea aproximativă a problemelor cu valori la limită eliptică. M.: Mir, 1972.
  24. ↑ Krasnoselsky M.A., Vainenko G.M., Zabreiko P.P., Rutitsky Ya.B., Stetsenko V.Ya. Rezolvarea aproximativă a ecuațiilor operatorului. Moscova: Nauka, 1969.

Vezi și

Link -uri