Metoda Galerkin

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 5 martie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Metoda Galerkin ( metoda Bubnov- Galyorkin ) este o metodă pentru rezolvarea aproximativă a unei probleme cu valori la limită pentru o ecuație diferențială . Aici, operatorul poate conține derivate parțiale sau complete ale funcției dorite. $L[u]=f(x)$ $L[\cdot]$

Baza metodei

Primul pas în implementarea metodei Galerkin este alegerea unui set de funcții de bază care:

satisface condiţiile la limită .
în limita unui număr infinit de elemente de bază formează un sistem complet .

Tipul specific de funcții de bază este determinat din specificul problemei și comoditatea muncii. Deseori folosite sunt funcțiile trigonometrice , polinoamele ortogonale (polinoamele lui Legendre , Chebyshev , Hermite etc.).

Soluția este reprezentată ca o extindere în ceea ce privește baza:

$\psi(x) = \sum_{k=1}^n \alpha_k \phi_k(x).$

, unde sunt funcțiile de bază alese, sunt coeficienții de greutate necunoscuți. $\phi _{k}(x)$ $\alpha _{k)$

Apoi soluția aproximativă este înlocuită în ecuația diferențială inițială și se calculează discrepanța acesteia . Pentru o ecuație omogenă, discrepanța va arăta astfel: $L[u]=0$

$L\left[\psi (x)\right]=N(x).$

Pentru o ecuație neomogenă, discrepanța va arăta ca . $L[u]=f(x)$ $N(x)=L[\psi(x)]-f(x)$

În plus, este prezentată cerința de ortogonalitate a reziduului față de funcțiile de bază, adică:

$\int\limits_a^b{N(x) \phi_k(x) dx} = 0.$

De aici, se obține un sistem omogen de ecuații pentru coeficienții de expansiune și este posibil să se găsească aproximativ valorile proprii ale problemei. $\alpha _{k)$

Exemplu

Luați în considerare, ca ilustrație , o ecuație diferențială obișnuită :

$\psi'' + \lambda \psi = 0,$

cu condiții la limită:

$\psi(0) = \psi(1) = 0.$

Soluția acestei ecuații este cunoscută:

$\psi(x) = \sin \pi nx, \quad \lambda = \pi^2 n^2, \qquad n = 1,2..$

Pentru prima soluție non-trivială, valoarea proprie este . $(n=1)$ $\lambda = \pi^2 \aproximativ 9.869...$

Acum să aplicăm metoda Galerkin. Să alegem mai întâi o funcție de bază:

$\phi_0(x) = x(1-x), \qquad \psi(x) = a_0 \phi_0(x).$

Înlocuind în ecuație, obținem discrepanța:

$N(x) = a(\phi'' + \lambda \phi),$

iar cerința de ortogonalitate reziduală va fi rescrisă sub forma:

$\int\limits_0^1{\phi'' \phi dx} + \lambda \int\limits_0^1{\phi^2 dx}=0.$

De aici este evident:

$\lambda = - {\int\limits_0^1{\phi''\phi dx}\over \int\limits_0^1{\phi^2 dx)) = {\int\limits_0^1{(\phi') ^2 dx}\over \int\limits_0^1{\phi^2 dx}}.$

În exemplul dat aici, se dovedește că diferă cu mai puțin de 1,5% față de soluția exactă. Specificarea unui număr mai mare de funcții de bază face posibilă rafinarea valorii deja cunoscute a lui λ, precum și obținerea unei prime aproximări pentru următoarea (corespunzătoare n=2). $\lambda = 10$

Reprezentăm soluția ca o combinație liniară de n funcții:

$\psi(x)=\sum_{k=1}^n \alpha_k \phi_k(x).$

Apoi discrepanța:

$N = \sum_{k=1}^n N_k(x)$ .

Sistem de ecuații pentru coeficienții de expansiune:

$\sum_{k=1}^n \alpha_k \int\limits_a^b{\phi_j N_k dx} = 0, \quad j=1..n.$

În acest caz, valorile proprii se găsesc din condiția solvabilității sistemului (egalitatea la zero a determinantului său ):

$\operatorname{det} \left( A_{jk} \right) = 0, \quad A_{jk} = \int\limits_a^b{\phi_j N_k dx}$

Este important să ne amintim că convergența metodei Galerkin nu este întotdeauna atinsă rapid. Aplicarea cu succes este posibilă numai pentru așa-numitele. probleme auto-adjuvante, adică invariante la conjugarea hermitiană .

Soiuri

Metoda Galerkin are mai multe opțiuni îmbunătățite:

Metoda Galerkin-Petrov - soluția este extinsă pe o bază, iar ortogonalitatea reziduului este necesară la alta.
Metoda Galerkin-Kantorovici face posibilă reducerea ecuațiilor diferențiale parțiale la ecuații diferențiale obișnuite. De exemplu, într-o problemă bidimensională, soluția este reprezentată ca: iar procedura Galerkin este aplicată doar unei singure funcții (aici sau ). Ca urmare, se obține un sistem de ODE, pentru a cărui soluție există metode numerice eficiente. Această tehnică este similară cu binecunoscuta metodă Hartree-Fock din mecanica cuantică . $\psi(x,y)=\sum_n b_n X_n(x) Y_n(y),$ $X_n(x)$ $Y_n(y)$

Aplicație

Metodele lui Galerkin au fost utilizate de mult timp atât pentru rezolvarea ecuațiilor cu diferențe parțiale, cât și pentru formarea bazei metodei elementelor finite .

Aplicarea metodei la studiul problemelor de stabilitate a fluxurilor hidrodinamice a fost implementată de G. I. Petrov , care a demonstrat convergența metodei Galerkin pentru găsirea valorilor proprii ale unei clase largi de ecuații, inclusiv ecuații pentru sisteme neconservative, cum ar fi cum ar fi, de exemplu, ecuațiile oscilațiilor într-un fluid vâscos.

În hidrodinamică, metoda Galerkin funcționează cel mai eficient în problemele de convecție , datorită autonomiei lor. Problemele legate de fluxuri nu sunt astfel de probleme, iar convergența metodei cu o alegere nereușită a unei baze poate fi foarte dificilă.

Originea numelui

Metoda a câștigat popularitate după cercetările lui Boris Galerkin ( 1915 ). A fost folosit și de Ivan Bubnov ( 1913 ) pentru a rezolva probleme din teoria elasticității . Prin urmare, uneori această metodă este numită metoda Bubnov-Galyorkin . Teoretic, metoda a fost fundamentată de matematicianul sovietic Mstislav Keldysh în 1942 .

Vezi și

Weisstein, Eric W. Metoda Galerkin (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .

Literatură

Vorovich II Despre metoda Bubnov-Galyorkin în teoria neliniară a oscilațiilor scoicilor de mică adâncime. - Rapoarte ale Academiei de Științe a URSS, 1956. - T. 110. - Nr. 5. - S. 723-726.
A. D. Lyashko . Despre convergența metodelor de tip Galerkin // Doklady AN SSSR. 1958. Vol. 120, Nr. 2;
Galerkin B. G. Tije și plăci. Serie în unele chestiuni de echilibru elastic al tijelor și plăcilor. // Buletinul inginerilor. - 1915. - T. 1. - S. 897-908.
Kantorovich L. V. , Krylov V. I. Metode aproximative de analiză superioară. - a 5-a ed. - L.-M., 1962.
Mikhlin S. G. Metode variaționale în fizica matematică. - Ed. a II-a. — M.-L. — 1970.
Fletcher K. Metode numerice bazate pe metoda Galerkin. - M.-Mir - 1988.
Itô, K. (Ed.). „Alte metode decât metodele diferențiate”. § 303I în Dicționar enciclopedic de matematică, ed. a II-a, voi. 2. Cambridge, MA: MIT Press, p. 1139, 1980.
Ritz W. , Neue Methode zur Lösung gewisser Randwertaufgaben, „Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Matematică-fizică. clasă. Nachrichten, Göttingen, 1908.
Ritz W., Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, „Journal für die reine und angewandte Mathematik”, 1909, Bd 135.
Gulyaev V.I. , Bazhenov V.A. , Popov S.L. ,. Probleme aplicate ale teoriei oscilațiilor neliniare ale sistemelor mecanice. - M . : Şcoala superioară, 1989. - 383 p. - ISBN 5-06-000091-5 .

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă