Axioma alegerii numărabile

Axioma alegerii numărabile este o axiomă a teoriei mulțimilor , de obicei desemnată . Axioma afirmă că pentru orice familie numărabilă de mulțimi nevide , există o „ funcție de alegere ” care extrage din fiecare mulțime unul și doar unul dintre elementele sale. Cu alte cuvinte, pentru o secvență de mulțimi nevide , se poate construi o secvență a reprezentanților acestora , în timp ce mulțimile pot fi infinite și chiar nenumărabile [1] . $\mathbf {AC} _{\omega }.$ $S_{1},S_{2},S_{3}\dots$ $x_{1},x_{2},x_{3}\dots$ $Si}$

Locul axiomei în matematică

Axioma alegerii numărabile este o versiune limitată a axiomei complete de alegere ( ), spre deosebire de aceasta din urmă, ea afirmă existența unei funcții de alegere numai pentru o familie numărabilă de mulțimi. După cum a demonstrat Paul Cohen , axioma alegerii numărabile este independentă de alte axiome ale teoriei mulțimilor (fără axioma alegerii) [2] . Spre deosebire de axioma completă a alegerii, axioma de alegere numărabilă nu duce la paradoxul de dublare a mingii sau la alte consecințe contraintuitive. $\mathbf {AC} _{\omega )$ $\mathbf {AC}$

Axioma alegerii numărabile este suficientă pentru a justifica principalele teoreme de analiză . Urmează, în special [3] :

pentru orice punct limită există o secvență care converge către acesta;
măsura Lebesgue este numărabilă aditivă;
fiecare mulțime infinită conține o submulțime numărabilă.

Cu toate acestea, o parte semnificativă a afirmațiilor teoriei mulțimilor nu poate fi dovedită folosind axioma alegerii numărabile. De exemplu, pentru a demonstra că fiecare mulțime poate fi bine ordonată , este necesară o axiomă completă de alegere.

Există o versiune puțin mai puternică numită „ axioma alegerii dependente ” ( ). Din ea rezultă axioma alegerii numărabile, precum și din axioma determinismului ( ). $\mathbf {AC} _{\omega},$ $\mathbf {DC}$ $\mathbf {AD}$

Literatură

Aleksandrov PS Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. — M .: Nauka, 1977. — 368 p. — Capitolul 3, § 4.
Kanovey VG Axioma alegerii și axioma determinismului. — M .: Nauka, 1984. — 64 p. — (Probleme ale științei și progresului tehnic).
Medvedev F. A. Istoria timpurie a axiomei alegerii . — M .: Nauka, 1982. — 304 p. Arhivat pe 28 octombrie 2015 la Wayback Machine
Medvedev F. A. Axioma alegerii și analiza matematică // Cercetări istorice și matematice . - M . : Nauka , 1980. - Nr. 25 . — S. 167-188 .
Carte de referință despre logica matematică. Partea a II-a. Teoria multimilor = Handbook of Mathematical Logic / J. Barweiss.- M .: Nauka , 1983. - 392 p.
Herrlich, Horst. Principii de alegere în topologia elementară și analiză (engleză) // Comentariu.Math.Univ.Carolinae. - 1997. - Vol. 38, nr. 3 . — p. 545.
Potter, Michael. Teoria multimilor și filosofia sa: o introducere critică . - Oxford University Press, 2004. - ISBN 9780191556432 . (Engleză)

Note

↑ Kanovey V.G., 1984 , p. 9.
↑ Potter, 2004 , p. 164.
↑ Kanovey V.G., 1984 , p. 6, 9.