Axioma determinismului

Axioma determinismului este o axiomă a teoriei mulțimilor , denumită de obicei AD . Această axiomă a fost propusă în 1962 de către matematicienii polonezi Jan Mycielski și Hugo Steinhaus [1] ca înlocuitor pentru axioma alegerii (introdusă în 1904, denumită AC ). Motivul căutării unei alternative la axioma alegerii au fost consecințele neobișnuite ale acestei axiome, care a provocat și continuă să provoace critici din partea unor matematicieni. De exemplu, în cazul aplicării axiomei alegerii, apar construcții paradoxale, cum ar fi „ paradoxul dublării mingii ”. Mulți matematicieni au observat că mulțimile a căror existență este dovedită folosind axioma alegerii sunt lipsite de individualitate în sensul că nu putem descrie exhaustiv compoziția lor din lipsa unui algoritm de selecție clar [2] .

În ramurile clasice ale matematicii ( teoria numerelor , calcul etc.), înlocuirea AC cu AD nu schimbă nimic, dar în teoria și topologia mulțimilor, consecințele axiomei determinismului diferă semnificativ de cele ale axiomei alegerii în multe moduri. De exemplu, din AD rezultă că toate seturile de numere reale sunt măsurabile, problema continuumului este rezolvată în mod unic (nu există cardinalități intermediare) și nu apare paradoxul dublării bilei.

Axioma determinismului, prin însăși existența ei, a trezit un mare interes în rândul specialiștilor în fundamentele matematicii, îi sunt consacrate numeroase publicații [3] , în special în domeniul teoriei descriptive a mulțimilor . Potrivit susținătorilor acestei axiome, situația din teoria mulțimilor seamănă acum cu situația de după descoperirea geometriei non-euclidiene - se poate recunoaște că nu există o teorie a mulțimilor, ci cel puțin două, și întrebarea care dintre ele. este corect este lipsit de sens. Susținătorii notează, de asemenea, că teoria mulțimilor bazată pe axioma determinismului este mai consistentă cu intuiția matematică decât bazată pe axioma alegerii [2] [4] .

Jocuri deterministe

Axioma determinismului este cel mai ușor de definit nu în termeni ai teoriei mulțimilor , ci ai teoriei jocurilor [5] . Luați în considerare o mulțime (fixă) A constând din secvențe infinite de numere naturale (astfel de secvențe formează un spațiu Baer topologic ).

Să definim un joc pentru două persoane cu următoarele reguli. Jucătorul I, începând jocul, scrie un număr natural. Jucătorul II, cunoscând această mișcare, scrie un număr. Apoi continuă să formeze o secvență pe rând - jucătorul I își alege elementele pare, jucătorul II - impare. Jocul durează nelimitat, dar rezultatul său este declarat conform următoarei reguli: dacă succesiunea formată este cuprinsă în setul dat A, atunci jucătorul I a câștigat, în caz contrar, jucătorul II. $G_{A}$ $a_{0}.$ $a_{1}.$

Este ușor de observat că, dacă setul A este finit sau numărabil, atunci jucătorul II are o strategie câștigătoare simplă — la a i- a mișcare (unde este impar, ) alegeți un număr care nu coincide cu al i- lea element al secvența i-a a mulțimii A („metoda diagonală”). Apoi, secvența rezultată cu siguranță nu va coincide cu niciun element al mulțimii A. În plus, se presupune că, în cazul general, fiecare jucător are propria strategie, adică există un algoritm clar care indică următorul număr pentru fiecare fragment de secvența generată (inclusiv cea inițială, goală). $n$ $n$ $n=2m+1$ $n$ $m$

Strategia jucătorului I se numește câștigător dacă pentru orice fragment inițial (dacă fragmentul nu este gol, atunci impar) în care fiecare termen cu un indice par a fost determinat de această strategie, este capabil să găsească astfel încât secvența infinită finală ( format din orice răspunsuri ale jucătorului II) aparține setului A. Strategia câștigătoare pentru jucătorul II este definită în mod similar — trebuie să sugereze numere care vor împiedica în cele din urmă adversarul să formeze un rezultat inclus în setul A. $a_{0},a_{1},a_{2},\dots a_{n)$ $n$ $a_{{n+1}}$

Setul A (și jocul corespunzător ) se numesc determinist dacă unul dintre jucători are o strategie câștigătoare. $G_{A}$

Din regulile jocului reiese clar că situația în care ambii jucători au o strategie câștigătoare este imposibilă. De asemenea, este clar că prezența proprietății determinismului depinde de mulțimea A. Mai sus este un exemplu când jocul este cu siguranță determinist (dacă mulțimea A este finită sau numărabilă). Astfel, proprietatea determinismului nu are de fapt un joc, ci un caracter teoretic multim [6] .

Enunțul axiomei determinismului

Orice mulțime A este deterministă.

În timpul studiului acestei axiome, au apărut versiuni modificate ale acesteia:

Axioma determinismului real este o versiune consolidată pentru mulțimi continue.
Axiom AD+ este o altă versiune consolidată.
Axioma determinismului proiectiv este o variantă specială pentru mulțimile proiective.

Comparație între axioma determinismului și axioma alegerii

Mai mult, axiomatica general acceptată a teoriei mulțimilor Zermelo-Fraenkel (abreviată ca ZF ) este implicată în tot . Din axioma determinismului rezultă (pentru domeniul numerelor reale) axioma alegerii numărabile , pe care se bazează teoremele de bază ale analizei matematice . Prin urmare, noua axiomă este compatibilă cu matematica clasică. Cu toate acestea, este incompatibil cu axioma completă a alegerii — s-a dovedit [6] că folosind axioma alegerii este posibil să se construiască o mulțime nedeterministă A, care contrazice direct axioma determinismului.

Multe consecințe ale axiomelor concurente în teoria mulțimilor și topologie sunt opuse una față de alta. Folosind axioma alegerii, se demonstrează că există seturi de numere reale care nu sunt măsurabile în sensul lui Lebesgue ; din axioma determinismului rezultă că astfel de mulțimi nu există — toate mulțimile de numere reale sunt măsurabile. Problema continuumului este rezolvată diferit (existența puterilor intermediare între numărabil și continuu ) - axiomatica lui Zermelo-Fraenkel permite oricare dintre cele două opțiuni de rezolvare a acestei probleme (adică nu poate fi nici dovedită, nici infirmată), în timp ce din axioma determinismului se derivă o soluție unică: orice set infinit nenumărat de numere reale este continuă. Există, de asemenea, numeroase alte diferențe: axioma determinismului permite ordonarea completă nu a oricăror, ci numai a mulțimilor finite și numărabile, analiza non-standard pierde temei [7] . Teoria descriptivă a mulțimilor menționată mai sus este deosebit de prost în concordanță cu axioma alegerii - multe dintre ipotezele prezentate în această teorie, precum ipoteza continuumului, s-au dovedit a fi indecidabile, în timp ce axioma determinismului permite demonstrarea riguroasă a acestor ipoteze; asta explică interesul mare pentru această axiomă al matematicienilor care studiază teoria descriptivă a mulțimilor [8] .

Note

↑ Mycielski, Jan; Steinhaus, Hugo. (1962). O axiomă matematică care contrazice axioma alegerii. Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences. Serie des Sciences Mathematiques, Astronomiques et Physiques 10:1-3. ISSN 0001-4117. MR 0140430.
↑ 1 2 Kanovey V. G., 1984 , p. 3, 4.
↑ Kanovey V.G., 1985 , p. 5, 15.
↑ Kanovey V.G., 1984 , p. 29.
↑ Kanovey V.G., 1984 , p. 30-33.
↑ 1 2 Kanovey V. G., 1984 , p. 33-35.
↑ Kanovey V.G., 1984 , p. 51.
↑ Kanovey V.G., 1985 , p. patru.

Literatură

Aleksandrov PS Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. — M .: Nauka, 1977. — 368 p. — Capitolul 3, § 4.
Kanovey VG Axioma alegerii și axioma determinismului. — M .: Nauka, 1984. — 64 p. — (Probleme ale științei și progresului tehnic).
Kanovei VG Axioma determinismului și dezvoltarea modernă a teoriei descriptive a mulțimilor // Itogi Nauki i Tekhniki. Seria: Algebră. Topologie. Geometrie. - M .: VINITI, 1985. - T. 23 . - S. 3-60 .
Carte de referință despre logica matematică. Partea a II-a. Teoria multimilor = Handbook of Mathematical Logic / J. Barweiss.- M .: Nauka , 1983. - 392 p.
Kleinberg EM Combinatoria infinită și axioma determinității. — Berlin: Springer, 1977.
Martin DA Axioma determinării și principiilor de reducere în ierarhia analitică // Bull. amer. Matematică. soc. - 1968. - Vol. 74, nr 4. - p. 687-689.
Moschovakis YM Teoria descriptivă a mulțimilor. - Amsterdam: Olanda de Nord, 1980.