Alternativa Fredholm

Alternativa Fredholm este un set de teoreme ale lui Fredholm privind solvabilitatea ecuației integrale Fredholm de al doilea fel.

Sunt date diferite formulări ale alternativei. Din punct de vedere al surselor, alternativa Fredholm este înțeleasă doar ca prima teoremă Fredholm, care afirmă că fie o ecuație neomogenă are o soluție pentru orice termen liber, fie o ecuație adjunctă (uniunea) are o soluție netrivială [1] . Alternativa lui Fredholm pentru ecuațiile integrale este o generalizare la cazul infinit-dimensional al teoremelor similare într-un spațiu finit-dimensional (pentru sisteme de ecuații algebrice liniare ). Generalizat de F. Riss la ecuații operator liniar cu operatori complet continui în spații Banach [2] .

Spațiu cu dimensiuni finite

Fie ecuația are o soluție pentru orice parte dreaptă , fie ecuația adiacentă are o soluție netrivială $\mathcal Az = u$ $u \in W$ $\mathcal A^*w=0$

Dovada

Metoda 1

Lasă . Există două cazuri: fie , fie . Condiția este echivalentă cu condiția , ceea ce înseamnă că ecuația are o soluție pentru orice . Mai mult, din moment ce , atunci , și prin urmare, ecuația nu are o soluție diferită de zero. Condiția este echivalentă cu condiția , ceea ce înseamnă existența unui vector diferit de zero , adică o soluție diferită de zero . Mai mult, ecuația nu are o soluție pentru niciun . $r = \operatorname{rg} \mathcal A, ~m = \operatorname{dim} W$ $r=m$ $r<m$ $r=m$ $\operatorname {im} {\mathcal {A}}=W$ $\mathcal Az = u$ $u \in W$ $\operatorname{rg} \mathcal A = \operatorname{rg} \mathcal A^*$ $\operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*}=0$ $\mathcal A^*w=0$ $r<m$ $\operatorname {dim} (\operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*})>0$ $w \in \operatorname{ker} \mathcal A^*$ $\mathcal A^*w=0$ $\operatorname{im} \mathcal A \ne W$ $\mathcal Az = u$ $u \in W$

Metoda 2

Fie sistemul (1), adică are o soluție pentru orice . În acest caz , deoarece altfel pentru unii ar fi mai mic decât rangul matricei extinse și sistemul (1) ar fi inconsecvent datorită teoremei Kronecker-Capelli . Deoarece , atunci în aceste condiții , adică este egal cu numărul de necunoscute din sistemul (2) și acest sistem are doar o soluție banală. $A\cdotX=B$ $B$ $\operatorname{rg} A = m$ $B$ $\operatorname{rg} A$ $\operatorname{rg} A^T= \operatorname{rg} A$ $\operatorname{rg} A^T = m$
Acum lăsați sistemul să fie inconsecvent pentru unii . Prin urmare , , înseamnă și , adică rangul matricei sistemului (2) este mai mic decât numărul de necunoscute și acest sistem are o soluție diferită de zero. $A\cdotX=B$ $B$ $\operatorname{rg}A<m$ $\operatorname{rg}A^T<m$

În demonstrație se folosesc următoarele notații: — rangul matricei , — dimensiunea spațiului , — imaginea operatorului , — defectul operatorului , — nucleul operatorului , — matricea transpusă . $\operatorname{rg} A$ $A$ $\operatorname{dim} W$ $W$ $\operatorname{im} \mathcal A$ ${\mathcal {A}}$ $\operatorname{def} \mathcal A$ $\mathcal A$ $\operatorname{ker} \mathcal A$ ${\mathcal {A}}$ $A^{T}$

Alternativa Fredholm pentru un operator liniar care acționează într-un spațiu înseamnă că fie ecuația de bază are o soluție unică pentru orice , fie ecuația omogenă adiacentă are o soluție netrivială [1] . ${\mathcal {A}}$ $V$ $u\în V$

Ecuații integrale

Formulări

Alternativa Fredholm este formulată pentru ecuația integrală Fredholm

\varphi(x) = \lambda \int\limits_0^a K(x, y) \varphi(y) \, dy + f(x) \qquad (1)

cu un sâmbure continuu și ecuația lui adiacentă $K(x, y)$

\psi(x) = \bar \lambda \int\limits_0^a K^*(x, y) \psi(y) \, dy + g(x), \qquad (1')

$K^*(x, y) = \overline{K(y, x)}$ . O ecuație omogenă este o ecuație cu termen liber zero f sau g.

Afirmația 1. Dacă ecuația integrală (1) cu un nucleu continuu este rezolvabilă în pentru orice termen liber , atunci ecuația (1') asociată acesteia este rezolvabilă în pentru orice termen liber , iar aceste soluții sunt unice ( prima teoremă a lui Fredholm ) . $C[0, a]$ $f \in C[0, a]$ $C[0, a]$ $g \in C[0, a]$

Dacă ecuația integrală (1) este rezolvabilă în C[0, a] nu pentru orice termen liber , atunci: $f$

1) ecuațiile omogene (1) și (1’) au același număr (finit) de soluții liniar independente ( a doua teoremă a lui Fredholm );

2) pentru ca ecuația (1) să fie rezolvabilă, este necesar și suficient ca termenul liber să fie ortogonal tuturor soluțiilor ecuației omogene de unire (1’) ( a treia teoremă a lui Fredholm ) [3] . $f$

Formularea 2. Dacă ecuația integrală omogenă Fredholm are doar o soluție trivială, atunci ecuația neomogenă corespunzătoare are întotdeauna una și o singură soluție. Dacă ecuația omogenă are o soluție netrivială, atunci ecuația integrală neomogenă fie nu are nicio soluție, fie are un număr infinit de soluții în funcție de funcția dată [4] [5] . $f(x)$

Ideea dovezii

Nucleu degenerat

Ecuația integrală Fredholm (1) cu un nucleu degenerat de forma

K(x, y) = \sum_{i = 1}^N f_i(x) g_i(y)

poate fi rescris sub formă

\varphi(x) = \lambda \sum\limits_{i = 1}^N c_i f_i(x) + f(x),

Unde

c_i = \int\limits_0^a \varphi(y) g_i(y) \, dy

sunt numere necunoscute. Înmulțind egalitatea rezultată cu și integrând pe interval , ecuația cu un nucleu degenerat este redusă la un sistem echivalent de ecuații algebrice liniare în raport cu necunoscutele : $g_k(x)$ $[0,a]$ $(c_1, c_2, \dots, c_N)$

c_k = \lambda \sum_{i = 1}^N \alpha_{ki} c_i + a_k,

Unde

\alpha_{ki} = \int\limits_0^a g_k(x) f_i(x) \, dx, \quad a_k = \int\limits_0^a g_k(x) f(x) \, dx.

Prin urmare, alternativa Fredholm decurge direct din cazul finit-dimensional [6] .

Un nucleu continu arbitrar

În cazul general, demonstrarea alternativei Fredholm pentru ecuații integrale se bazează pe reprezentarea unui nucleu continuu arbitrar sub forma

K(x, y) = P(x, y) + Q(x, y),

unde este un nucleu degenerat ( polinom ) și este un nucleu mic continuu, . Atunci ecuația (1) ia forma $P(x, y)$ $Q(x,y)$ $|Q(x, y)| < \varepsilon, \, 0 \le x \le a$

\varphi = \lambda P \varphi + \lambda Q \varphi + f,

unde și sunt operatori integrali cu nuclee și, respectiv. $P$ $Q$ $P(x, y)$ $Q(x,y)$

Introducem o funcție necunoscută prin formula $\Phi (x)$

\Phi = \varphi - \lambda Q \varphi

Pentru , funcția este exprimată în mod unic în termeni de formulă $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$ $\varphi$ $\Phi$

\varphi = (I - \lambda Q)^{-1} \Phi = (I + \lambda R) \Phi,

unde este operatorul de identitate , este un operator integral cu nucleu , rezoluția nucleului . Apoi ecuația inițială ia forma $eu$ $R$ $R(x, y, \lambda)$ $Q(x,y)$

\Phi = \lambda T \Phi + f,

Unde

T = P + \lambda PR

este un operator integral cu nucleu degenerat

T(x, y, \lambda) = P(x, y) + \lambda \int\limits_0^a P(x, \xi) R(\xi, y, \lambda) d\xi,

analitic în cerc . În mod similar, ecuația integrală asociată (1') este transformată în forma $\lambda$ $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$

\psi = \bar \lambda T^* \psi + g_1.

Astfel, ecuațiile (1) și (1') sunt echivalente în cerc cu ecuațiile cu nuclee degenerate, ceea ce face posibilă derivarea alternativei Fredholm pentru cazul general [6] . $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$

Consecințele

Setul de numere caracteristice ale nucleului continuu nu are puncte limită finite și, prin urmare, este cel mult numărabil . Într-adevăr, în fiecare cerc , numerele caracteristice ale nucleului coincid cu numerele caracteristice ale nucleului degenerat, care sunt zerourile funcției analitice . $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$ $K(x, y)$
Fiecare număr caracteristic are o multiplicitate finită (numărul de funcții proprii liniar independente ). Urmează din a doua teoremă Fredholm. Numerele caracteristice pot fi numerotate în ordinea crescătoare a modulului lor :

|\lambda_1| \le |\lambda_2| \le\dots,

repetându-se în această succesiune de câte ori multiplicitatea ei. $\lambda_k$

Dacă este numărul caracteristic al nucleului , atunci este numărul caracteristic al nucleului și au aceeași multiplicitate. $\lambda _{0}$ $K(x, y)$ $\bar \lambda_0$ $K^*(x, y)$
Funcțiile proprii ale și nucleele și , corespunzătoare numerelor caracteristice și respectiv, și , sunt ortogonale cu : . $\varphi_k$ $\psi _{i}$ $K(x, y)$ $K^*(x, y)$ $\lambda_k$ $\bar \lambda_i$ $\lambda_k \ne \lambda_i$ $(\varphi_k, \psi_i) = 0$

Folosind aceste proprietăți, se poate reformula alternativa Fredholm în termeni de numere caracteristice și funcții proprii:

Dacă , atunci ecuațiile integrale (1) și (1') sunt rezolvabile în mod unic pentru orice termeni liberi. $\lambda \ne \lambda_k, \, k = 1, 2, \dots$
Dacă , atunci ecuațiile omogene $\lambda = \lambda_k$

\varphi = \lambda_k K \varphi, \quad \psi = \bar \lambda_k K^* \psi,

au același număr (finit) de soluții liniar independente — funcțiile proprii ale nucleului și funcțiile proprii ale nucleului . $r_k\ge 1$ $\varphi_k, \varphi_{k + 1}, \dots, \varphi_{k + r_k - 1}$ $K(x, y)$ $\psi_k, \psi_{k + 1}, \dots, \psi_{r_k - 1}$ $K^*(x, y)$

Dacă , atunci pentru solubilitatea ecuației (1) este necesar și suficient ca $\lambda = \lambda_k$

(f, \psi_{k + i}) = 0, \quad i = 0, 1, r_k - 1.

[6]

Banach space

Având în vedere ecuațiile

A x - x = y, \quad (2)

A^* f - f = g, \quad (2')

unde este un operator complet continuu care actioneaza intr- un spatiu Banach si este un operator adjunct care actioneaza intr-un spatiu dual . Atunci oricare dintre ecuațiile (2) și (2’) sunt rezolvabile pentru orice parte din dreapta, caz în care ecuațiile omogene $A$ $E$ $A^{*}$ $E^{*}$

A x - x = 0

A^* f - f = 0

au doar soluții zero, sau ecuațiile omogene au același număr de soluții liniar independente

x_1, x_2, \dots, x_n; \quad f_1, f_2, \dots, f_n;

în acest caz, pentru ca ecuația (2) (respectiv (2’)) să aibă o soluție, este necesar și suficient ca

f_i(y) = 0, \quad i = 1, 2, \dots, n

(respectiv ) [7] . $g(x_i) = 0, \, i = 1, 2, \dots, n$

Aplicație la rezolvarea problemelor cu valori la limită pentru ecuații eliptice

Metoda Neumann pentru rezolvarea problemei Dirichlet

\Delta u(x) = 0, \quad x \in G, \quad u(s) = g(s), \quad s \in C

este că soluţia se caută în formă $u$

u(x) = \int\limits_C \mu(t) \frac{\partial}{\partial n_t} \log \frac{1}{r_{xt))dt,

adica sub forma unui potential dublu strat . Aici , este o zonă plată, este o curbă închisă care o delimitează și are curbură continuă , este distanța de la un punct la un punct de pe contur , este normala internă la punctul . Funcția trebuie să satisfacă ecuația integrală $G$ $C$ $r_{xt}$ $X$ $t$ $S$ $n_t$ $C$ $t$ $\mu$

\frac{1}{\pi} g(s) = \mu(s) + \int\limits_C K(s, t) \mu(t) \, dt

cu miez continuu

K(s, t) = \frac{1}{\pi} \frac{\partial}{\partial n_t} \log \frac{1}{r_{xt))dt.

Conform alternativei Fredholm, fie această ecuație neomogenă are o soluție pentru orice alegere de funcție continuă , fie ecuația omogenă $\mu (s)$ $g(e)$

\nu(s) + \int\limits_C K(s, t) \mu(t) \, dt = 0

admite o soluție diferită de zero . Acesta din urmă este imposibil, acest lucru poate fi demonstrat folosind principiul maxim pentru funcțiile armonice . Prin urmare, problema internă Dirichlet are o soluție pentru orice valoare la limită continuă . Rezultate similare au fost obținute pentru problema Dirichlet externă , precum și pentru problema Neumann [8] . $\nu(e)$ $g(e)$

Vezi și

Note

↑ 1 2 Ilyin V. A., Kim G. D. Linear Algebra and Analytic Geometry, 1998 , p. 313.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională, 1965 , p. 268.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Ecuațiile fizicii matematice, 2004 , p. 221.
↑ Tricomi F. Integral Equations, 1960 , p. 87.
↑ Krasnov M. L. Ecuații integrale, 1975 , p. 49.
↑ 1 2 3 Vladimirov V. S., Zharinov V. V. Ecuații ale fizicii matematice, 2004 , Capitolul IV, § 4.2.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională, 1965 , p. 280.
↑ Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , p. 81.

Literatură

Spațiu cu dimensiuni finite

Ilyin V. A. , Kim G. D. Algebră liniară și geometrie analitică. - M. : Editura Moscovei. un-ta, 1998. - 320 p. — ISBN 5-211-03814-2 .

Ecuații integrale

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ecuații de fizică matematică: manual pentru universități. - Ed. a II-a, stereotip .. - M . : Fizmatlit, 2004. - 400 p. - ISBN 5-9221-0310-5 .
Trikomi F. Ecuații integrale. - M . : Editura de literatură străină, 1960.
Krasnov M. L. Ecuații integrale. (Introducere în teorie). - M .: Ch. ed. Fiz.-Matematică. aprins. Editura „Science”, 1975.
Petrovsky IG Prelegeri despre teoria ecuațiilor integrale. — M .: Nauka, 1965. — 128 p.
Riess F. , Sökefalvi-Nagy B. Prelegeri despre analiza funcțională. — M .: Mir, 1979. — 592 p.

Banach space

Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională. - Ed. al 2-lea, revizuit. — M .: Nauka, 1965. — 520 p.