Analiza asimptotică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 9 martie 2020; verificările necesită 3 modificări .

Analiza asimptotică este o metodă de descriere a comportamentului limitativ al funcțiilor.

De exemplu, într-o funcție , pe măsură ce se apropie de infinit, termenul devine neglijabil în comparație cu , deci se spune că funcția este „echivalentă asimptotic cu ” , care este adesea scris și ca . Un exemplu de rezultat asimptotic important este teorema numerelor prime . Fie denotă funcția de distribuție a primelor , adică egală cu numărul de prime care sunt mai mici sau egale cu , atunci teorema poate fi formulată ca . $f(n)=n^{2}+3n$ $n$ $3n$ $n^{2}$ $f(n)$ $n^{2}$ $n\la\infty$ $f(n)\sim n^{2)$ $\pi(x)$ $\pi(x)$ $X$ $\pi (x)\sim {\frac {x}{\log x)}$

Egalitatea asimptotică

Lasă și fi niște funcții. Atunci relația binară este definită în așa fel încât $f(x)$ $g(x)$ $\sim$

f(x)\sim g(x)\quad ({\text{for }}x\to \infty )

dacă și numai dacă [1]

\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)))=1.

Funcțiile și sunt numite și echivalente asimptotic deoarece este o relație de echivalență pentru funcțiile peste . Domeniul și poate fi orice mulțime în care conceptul de limită are sens: numere reale , numere complexe , numere naturale etc. Aceeași notație este folosită și pentru alte restricții de limită pe , cum ar fi . O limită specifică nu este de obicei indicată dacă este clară din context. $f$ $g$ $\sim$ $X$ $f$ $g$ $X$ $x\la 0$

Definiția de mai sus este comună în literatură, dar își pierde sensul dacă ia un număr infinit de ori. Prin urmare, unii autori folosesc o definiție alternativă în ceea ce privește notația O : $g(x)$ $0$

f(x)-g(x)\in o(g(x)).

Această definiție este echivalentă cu cea dată mai sus dacă este diferită de zero într-o vecinătate a punctului limită [2] [3] . $g(x)$

Proprietăți

Dacă și , atunci sub anumite restricții naturale, următorul lucru este adevărat: $f\sim g$ $a\sim b$

$f^{r}\sim g^{r)$ , pentru orice real $r$
$\log(f)\sim \log(g)$
$f\times a\sim g\times b$
$f/a\sim g/b$

Aceste proprietăți permit schimbului liber de funcții echivalente asimptotic unul cu celălalt în unele expresii algebrice.

Exemple de formule asimptotice

Formula Stirling pentru factoriali

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

Număr de moduri de a împărți un număr natural într-o sumă neordonată de numere naturale $n$

p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3)}})e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3)}})

Funcția Airy - rezolvarea unei ecuații diferențiale $Ai(x)$ $y''-xy=0$

{\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4))))

Funcții Hankel

{\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z)}}e^{i\left(z -{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2} {\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}

Expansiunea asimptotică

O expansiune asimptotică a unei funcții este o expresie a unei funcții sub forma unei serii ale cărei sume parțiale nu pot converge , dar orice sumă parțială oferă estimarea asimptotică corectă . Astfel, fiecare element următor al expansiunii asimptotice oferă o descriere puțin mai precisă a ordinii de creștere a . Cu alte cuvinte, dacă este o expansiune asimptotică a , atunci , în cazul general, pentru orice . În conformitate cu definiția , aceasta înseamnă că , adică crește asimptotic mult mai lent $f(x)$ $f$ $f$ $f=g_{1}+g_{2}+g_{3}+\dots$ $f$ $f\sim g_{1},$ $f-g_{1}\sim g_{2)$ $f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k)$ $k$ $\sim$ $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})$ $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})$ $g_{k}.$

Dacă expansiunea asimptotică nu converge, atunci pentru orice argument există o sumă parțială care aproximează cel mai bine funcția în acest moment, iar adăugarea ulterioară a termenilor la aceasta va reduce doar precizia. De regulă, numărul de termeni dintr-o astfel de sumă optimă va crește pe măsură ce se apropie punctul limită. $X$

Exemple de expansiuni asimptotice

funcția gamma

{\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x ))+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )

Exponent integral

xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n }}}\ (x\la \infty )

Funcția de eroare

{\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1 )^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )

unde ( 2n − 1)!! este factorialul dublu .

Aplicații

Se utilizează analiza asimptotică:

În matematică aplicată pentru a construi metode numerice de rezolvare a ecuațiilor.
În statistica matematică și teoria probabilității pentru a determina proprietățile limitative ale variabilelor aleatoare și estimări statistice .
În informatică în analiza algoritmilor și a timpului lor de rulare .
În fizica statistică în analiza comportării sistemelor fizice .
În analiza catastrofelor în determinarea cauzelor unei catastrofe prin modelarea multor catastrofe în același loc.

Analiza asimptotică este un instrument cheie pentru studierea ecuațiilor diferențiale care apar în modelarea matematică a fenomenelor din lumea reală [4] . De regulă, aplicarea analizei asimptotice are ca scop studierea dependenței modelului de un parametru adimensional , care se presupune că este neglijabil la scara problemei care se rezolvă.

Expansiunile asimptotice, de regulă, apar în calculele aproximative ale unor integrale ( metoda lui Laplace , metoda punctului de șa ) sau distribuții de probabilitate ( seria lui Edgeworth ). Un exemplu de expansiune asimptotică divergentă sunt graficele Feynman din teoria câmpului cuantic .

Vezi și

Asimptotă
Densitatea asimptotică (în teoria numerelor)
„O” mare și „o” mic
Eveniment asimptotic sigur

Note

↑ ( de Bruijn 1981 , §1.4)
↑ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Egalitatea asimptotică , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Estrada & Kanwal (2002 , §1.2)
↑ Howison, S. (2005), Practical Applied Mathematics Arhivat la 22 iulie 2021 la Wayback Machine , Cambridge University Press

Literatură

Fedoryuk M. V. Asimptotice: Integrale și serii. — M .: Nauka , 1987. — 544 p. — (Bibliotecă matematică de referință).
Olver, F. Introducere în metodele asimptotice și funcțiile speciale. — M .: Nauka , 1978. — 386 p.
Balser, W. (1994), From Divergent Power Series To Analytic Functions , Springer-Verlag , < https://books.google.com/books?id=V-17CwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
de Bruijn, NG (1981), Asymptotic Methods in Analysis , Dover Publications , < https://books.google.com/books?id=Oqj9AgAAQBAJ&printsec=frontcover >
Estrada, R. & Kanwal, RP (2002), A Distributional Approach to Asymptotics , Birkhäuser , < https://books.google.com/books?id=X3cECAAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Miller, P.D. (2006), Applied Asymptotic Analysis , American Mathematical Society , < https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Murray, JD (1984), Asymptotic Analysis , Springer , < https://books.google.com/books?id=PC3rBwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Paris, R. B. & Kaminsky, D. (2001), Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press , >

Link -uri

Analiza asimptotică — pagina de pornire a revistei, care este publicată de IOS Press
O lucrare despre analiza seriilor temporale folosind distribuția asimptotică