Seria (matematică)

O serie , numită și sumă infinită , este unul dintre conceptele centrale ale analizei matematice . În cel mai simplu caz, seria se scrie ca o sumă infinită de numere [1] :

a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots \quad

Notă scurtă: (uneori numerotarea termenilor începe nu de la 1, ci de la 0)

\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}

Iată o succesiune de numere reale sau complexe ; aceste numere se numesc termeni ai seriei . $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$

Pentru a atribui valoarea unei sume unei serii de numere, luați în considerare șirul de „ sume parțiale ” care rezultă din terminarea unei sume infinite la un anumit termen:

S_{1}=a_{1}

S_{2}=a_{1}+a_{2)

{\displaystyle S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3))

\cdots

S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n)

\cdots

Dacă succesiunea de sume parțiale are o limită (finită sau infinită), atunci ei spun că suma seriei este egală cu În același timp, dacă limita este finită, atunci ei spun că seria converge . Dacă limita nu există sau este infinită, atunci se spune că seria diverge [1] . $S$ $S.$

Pentru a clarifica întrebarea cheie din analiză, dacă o serie dată converge sau nu, au fost propuse numeroase criterii de convergență .

Seriile numerice și generalizările lor (vezi mai jos despre seriile nenumerice ) sunt folosite peste tot în analiza matematică pentru calcule, pentru analiza comportării diferitelor funcții, în rezolvarea ecuațiilor algebrice sau diferențiale . Extinderea unei funcții într-o serie poate fi considerată ca o generalizare a specificării unui vector cu coordonate , această operație ne permite să reducem studiul unei funcții complexe la analiza funcțiilor elementare și facilitează calculele numerice [2] . Seriile sunt un instrument de cercetare indispensabil nu numai în matematică, ci și în fizică, astronomie, informatică, statistică, economie și alte științe.

Seria de numere

Exemple

Cel mai simplu exemplu de serie convergentă este suma termenilor unei progresii geometrice infinite [3] cu numitorul : $|q|<1$

a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\dots

Sumă parțială Limita acestei expresii este suma unei progresii geometrice infinite [1] . De exemplu, când obțineți o serie a cărei sumă este 2: $S_{n}=a\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$ $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {a}{1-q)),$ $a=1,q={\frac {1}{2)}$

2=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\dots

O zecimală cu o parte fracțională infinită poate fi considerată ca suma unei serii [3] ; de exemplu, numărul este suma următoarelor serii: $\pi =3{,}1415926\dots$

3+{\frac {1}{10^{1}}}+{\frac {4}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{3}}}+ {\frac {5}{10^{4}}}+{\frac {9}{10^{5}}}+\puncte

Un exemplu mai complicat este seria de pătrate inverse , a căror sumă cei mai buni matematicieni din Europa nu au putut-o găsi de mai mult de 100 de ani [4] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

Seria diverge, suma sa este infinită. De asemenea, seria armonică diverge : „ Seria lui Grundy ” diverge, sumele sale parțiale variază de la 1 la 0, deci nu există limită pentru sumele parțiale, această serie nu are o sumă [5] . $1+1+1+\dots$ $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n)}={\infty }.$ $1-1+1-1+1-1\dots$

Clasificare

O serie pozitivă [6] este o serie reală ai cărei termeni sunt nenegativi. Pentru seriile pozitive, suma există întotdeauna, dar poate fi infinită [7] .

O serie alternantă este o serie reală în care alternează semnele termenilor: plus, minus, plus, minus etc. Pentru astfel de serii, există un simplu test de convergență Leibniz . Versiunea alternativă a seriei armonice de mai sus , spre deosebire de cea din urmă, converge [8] :

1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)

Convergență absolută și condiționată

Se spune că o serie reală sau complexă converge absolut dacă o serie de module ( valori absolute ) ale membrilor săi converg [8] :

\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|

O serie absolut convergentă converge și în sensul obișnuit al acestui concept. În același timp, orice astfel de serie are o proprietate importantă de deplasare: pentru orice permutare a termenilor unei serii absolut convergente, se obține o serie convergentă cu aceeași sumă [9] . În special, pentru seriile convergente pozitive, puteți rearanja termenii seriei în orice fel, acest lucru nu afectează convergența și suma [10] .

Dacă o serie de numere converge, dar nu absolut, se spune că este convergentă condiționat . Exemplu:

1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\dots

Seria în sine converge, dar seria valorilor sale absolute ( seria armonică ) diverge [8] .

Proprietăți ale seriei convergente condiționat [8] .

Dacă o serie converge condiționat , atunci atât seria termenilor săi pozitivi, cât și seria termenilor săi negativi diverg.
- Consecință (criteriul convergenței absolute): o serie de numere reale converge absolut dacă și numai dacă atât seria termenilor săi pozitivi, cât și seria termenilor negativi converg.
( Teorema lui Riemann ): Prin rearanjarea termenilor unei serii convergente condiționat, se poate obține o serie cu orice sumă reală dată.

Operații pe rânduri

Fie seria convergentă și dat . Apoi: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

Suma lor se numește seria diferențelor - seria $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n}),$ $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-b_{n}).$

Dacă ambele serii converg către și respectiv, atunci suma și diferența lor converg de asemenea. Suma seriilor convergente și divergente diverge întotdeauna [11] :

S_{1}

S_{2}

\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n})=S_{1}+S_{2};\quad \sum _{n=1}^{ \infty }(a_{n}-b_{n})=S_{1}-S_{2}

, Dacă ambele serii converg absolut, atunci și suma și diferența acestor serii converg absolut [12] .

Produsul lor Cauchy este o serie în care: $\sum _{n=1}^{\infty}c_{n)$

c_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{n-k+1}=a_{1}b_{1}+(a_{1}b_{2 }+a_{2}b_{1})+(a_{1}b_{3}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{1})+\dots +(a_{1}b_ {n}+a_{2}b_{n-1}+\puncte +a_{n}b_{1})

Dacă cel puțin una dintre seriile originale converge absolut, atunci produsul seriei converge [13] .

Un criteriu necesar pentru convergența unei serii de numere

Seria poate converge numai dacă termenul (termenul comun al seriei) tinde spre zero pe măsură ce numărul său crește [14] : ${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+\ldots +{a}_{n}+\ldots$ ${a}_{n)$

\lim _{n\rightarrow \infty }{a}_{n}=0.

Acesta este un semn necesar al convergenței seriei, dar nu este suficient - pentru o serie armonică , de exemplu, termenul comun scade la nesfârșit odată cu creșterea numărului, cu toate acestea, seria diverge. Dacă termenul comun al seriei nu tinde spre zero, atunci seria cu siguranță diverge [14] .

Serii convergente

Proprietatea 1. Dacă seria

\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}={a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a }_{4}+\ldots

(1,1)

converge și suma sa este , apoi seria $S$

\sum _{n=1}^{\infty }c{a}_{n}=c{a}_{1}+c{a}_{2}+c{a}_{3 }+c{a}_{4}+\ldots

(1,2)

unde este un număr arbitrar, de asemenea, converge și suma lui este . Dacă seria (1.1) diverge și , atunci seria (1.2) diverge. $c$ $cS$ $c\neq 0$

Proprietatea 2 ( drept asociativ ). Într-o serie convergentă, puteți combina în mod arbitrar membrii vecini în grupuri fără a le încălca ordinea [15] .

Această proprietate poate fi folosită pentru a demonstra divergența unei serii: dacă după gruparea specificată se obține o serie divergentă, atunci și seria originală diverge.

Probleme nerezolvate

Încă nu se știe dacă seria Flint Hills converge [16 ] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {cosec} ^{2}(n)}{n^{3)))

Dacă este posibil să se demonstreze că această serie converge, atunci, în consecință, se va dovedi un fapt important: măsura iraționalității unui număr $\pi$ este mai mică de 2,5.

Se știe că suma unei serii de pătrate inverse și sumele altor serii cu puteri reciproce pare sunt exprimate în termeni de puteri ale unui număr, $\pi ,$ dar se știe puțin despre suma cuburilor inverse (" constanta lui Aperi "):

{\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\ frac {1}{4^{3}}}+\dots \aprox 1{,}2020569

Nimeni nu a reușit încă să conecteze această valoare cu constante clasice sau cu funcții elementare [17] .

Serii cu membri nenumerici

Conceptul de serie infinită și suma sa pot fi introduse nu numai pentru numere, ci și pentru alte obiecte matematice , pentru care sunt definite adunarea și conceptul de proximitate, ceea ce face posibilă determinarea limitei. De exemplu, serii de funcții sunt utilizate pe scară largă în analiză : seria de putere , seria Fourier , seria Laurent . Membrii seriei pot fi și vectori , matrici etc.

Definiție generală

O serie (sau o sumă infinită ) în matematică este o succesiune de elemente ( membrii unei serii date ) ale unui spațiu vectorial topologic , considerată împreună cu un set de sume parțiale ale membrilor seriei (sumele parțiale sunt definite în același mod ca în seria numerică). Dacă este definită o limită pentru o succesiune de sume parțiale : atunci valoarea se numește suma seriei date, iar seria în sine este numită convergentă (în caz contrar, divergentă ) [18] . $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$ $S=\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n},$ $S$

Serii pot fi întotdeauna adăugate sau scăzute termen cu termen, iar suma și diferența serielor convergente converg de asemenea. Dacă termenii seriei sunt preluați dintr-un inel sau dintr- un câmp , atunci seria în sine formează un inel în raport cu adunarea și produsul Cauchy .

Serii funcționale

Definiție și proprietăți

O serie se numește funcțională dacă toți membrii ei sunt funcții definite pe o mulțime:

a_{1}(x)+a_{2}(x)+a_{3}(x)+\ldots +a_{n}(x)+\ldots ;\quad

nota scurta:

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(x)

Sumele parțiale în acest caz sunt, de asemenea, funcții definite pe același set. O serie se numește convergentă pe mulțime dacă pentru orice număr fix converge seria [2] : $X$ $x_{0}\în X$

a_{1}(x_{0})+a_{2}(x_{0})+a_{3}(x_{0})+\ldots +a_{n}(x_{0})+ \ldots

Mulțimea se numește regiunea de convergență a seriei. Suma seriei este evident și o funcție activată $X$ $X.$

Un exemplu este expansiunea în serie a unei fracții raționale:

{\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots

Această serie converge în intervalul . $(-1;\;1)$

Printre principalele tipuri de serii funcționale:

serie de putere (în special seria Taylor );
serie trigonometrică ; în special seria Fourier ;
rânduri de Laurent .

Pe lângă convergența „punctual” definită mai sus, în diferite spații pot fi utilizate și alte norme de proximitate , de care depinde existența limitei sumelor parțiale. De exemplu, se poate defini „norma Cebyshev” [19] .

Convergență uniformă

În general, proprietățile unei sume pot diferi de cele ale termenilor unei serii — de exemplu, suma unei serii de funcții continue poate să nu fie continuă [20] .

Se spune că o serie funcțională convergând într-o mulțime converge uniform (pe această mulțime) [21] dacă șirul sumelor parțiale ale seriei converge uniform pe . $X$ $X$

Există mai multe semne care fac posibilă verificarea convergenței uniforme a seriei [21] :

Importanța conceptului de convergență uniformă a unei serii este arătată de următoarele teoreme (se presupune că toate funcțiile sunt reale).

Suma unei serii de funcții care sunt continue la un moment dat va fi ea însăși continuă în acel punct, cu condiția ca seria funcțională să convergă uniform în acel punct. În special, suma unei serii uniform convergente de funcții reale care sunt continue pe un segment va fi de asemenea continuă pe acest segment [22] . $x_{0}$ $x_{0}$ $[a,b],$
Dacă funcțiile sunt diferențiabile continuu pe interval și pe ambele serii: $f_{n}(x)$ $[a,b]$

f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\dots

{\frac {df_{1}(x)}{dx}}+{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+{\frac {df_{3}(x)}{ dx}}+\puncte

converg pe , iar seria de derivate converge uniform, atunci suma seriei are o derivată, iar seria poate fi diferențiată termen cu termen [23] :

[a,b]

{\frac {d}{dx}}(f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\dots )={\frac {df_{1} (x)}{dx}}+{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+{\frac {df_{3}(x)}{dx}}+\dots

Dacă funcțiile sunt continue pe interval și seria converge uniform către funcție, atunci seria poate fi integrată termen cu termen [24] : $f_{n}(x)$ $[a,b]$ $f_{1}(x)+f_{2}(x)+\dots$ $[a,b]$ $F(x),$

\int \limits _{a}^{b}F(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{f_{n }}(x)dx

Condiția de convergență uniformă garantează că seria din dreapta converge.

Dacă funcțiile sunt integrabile Riemann pe un segment și seria converge uniform către funcție, atunci suma seriei va fi și integrabilă Riemann [24] . $f_{n}(x)$ $[a,b]$ $f_{1}(x)+f_{2}(x)+\dots$ $[a,b]$ $F(x),$

Un exemplu de serie de puteri neuniform convergente este o progresie geometrică .În intervalul , ea converge către o funcție, dar nu uniform (după cum se dovedește prin saltul infinit al sumei la apropierea de 1) [25] . $1+x+x^{2}+x^{3}+\dots$ $[0,1)$ ${\frac {1}{1-x)),$

Serii de matrici

În inelul de matrice pătrate numerice de ordin fix, ne referim la o vecinătate a unei matrice un set de matrici , ale căror mai puțin decâtde componentele corespunzătoare cudiferăcomponente este limita succesiunii corespunzătoare $n$ $\varepsilon$ $A$ $A$ $\varepsilon.$ $L$ $A_{1},A_{2},A_{3}\dots$ $L_{ik)$ $A_{ik}.$

Acum este posibil să se definească, prin reguli generale, serii de matrici numerice, conceptul de convergență serie (inclusiv convergență absolută) și suma unei serii convergente. Cu alte cuvinte, o serie de matrice de ordin converg dacă seria componentelor sale converge, iar suma este o matrice care conține limitele corespunzătoare acestor serii [26] . $n$ $n^{2}$

Seria de puteri pentru matrice are forma [26] :

a_{0}I+a_{1}X+a_{2}X^{2}+a_{3}X^{3}+\dots ,

unde sunt coeficienții numerici dați, este matricea identității , este matricea necunoscutelor. Această serie este echivalentă cu un sistem de serii numerice. Pentru a estima convergența acesteia, compunem seria de puteri obișnuită a numerelor complexe: $a_{0},a_{1},\dots$ $eu$ $X$ $n^{2}$

a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\dots

Fie raza de convergență a acestei serii . Atunci următoarele teoreme sunt adevărate [26] : $R.$

Seria de putere a matricei converge absolut pentru toate matricele situate în - vecinătatea matricei zero , unde $\varepsilon$ $\varepsilon =R/n.$
Dacă o serie de putere a matricei converge în regiunea în care este o matrice cu componente pozitive și este o matrice de module de necunoscute, atunci ea converge absolut în această regiune. $|X|<P,$ $P$ $|X|$

Pentru un exemplu de serie de puteri din matrice , vezi Exponent de matrice . Folosind serii, se pot defini funcții standard pentru matrice pătrată (de exemplu, sinus ).

Variații și generalizări

O generalizare a conceptului de serie este conceptul de serie dublă , ai cărei membri sunt numerotați nu cu unul, ci cu doi indici [27] .

O generalizare a conceptului de suma unei serii este conceptul de funcție de însumare a unei serii , a cărei alegere face acceptabil conceptul de sumă a unei serii divergente (în sensul clasic). Au fost propuse multe variante ale unei astfel de generalizări: convergența Poisson-Abel , Borel , Cesaro , Euler , Lambert și alții [28] .

Istorie

Perioada antică

Matematicienii antici , în conformitate cu ideologia pitagoreică , au respins toate conceptele de fapt infinite , inclusiv serii infinite. Cu toate acestea, au existat câteva aplicații limitate ale conceptului de serie. De exemplu, Arhimede , pentru a calcula aria unui segment al unei parabole , a găsit de fapt suma unei progresii geometrice infinite [29] :

1+{\frac {1}{4^{1}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+ \cdots ={4 \over 3}

Van der Waerden scrie despre aceasta: „Arhimede nu vorbește despre suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, el nu cunoaște încă expresia „suma unei serii infinite”, dar deține perfect esența acestui concept”. În mai multe probleme rezolvate de Arhimede pentru calcularea ariei sau volumului, el folosește, în terminologia modernă, sume integrale superioare și inferioare cu un număr nelimitat de termeni. Din cauza absenței conceptului de limită , pentru a justifica rezultatul a fost folosită o metodă greoaie de epuizare [29] .

Școala Kerala

Matematicienii din India , nelimitați de restricțiile pitagoreice, au avansat semnificativ teoria seriei și au aplicat-o cu succes. Școala de astronomie și matematică din Kerala (sudul Indiei) a obținut cel mai mare succes în secolele XV-XVI . Pentru calcule astronomice, poporul Kerala a reușit pentru prima dată în istorie să găsească extinderea funcțiilor trigonometrice și a altor funcții în serii infinite:

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots

Nu aveau însă o teorie generală a unor astfel de expansiuni; pentru a obține aceste formule, arcul de cerc a fost rectificat [30] [31] . În Europa , o serie similară pentru arctangent a fost publicată pentru prima dată de James Gregory în 1671, iar seria pentru sinus și cosinus de Isaac Newton în 1666.

Din seria pentru arc tangente, Keralas a obținut o bună aproximare pentru numărul $\pi$ : $3{,}141592653.$

În Europa, realizările școlii din Kerala au rămas necunoscute multă vreme și au fost redescoperite independent.

Secolul al XVII-lea

Până în jurul secolului al XVII-lea, serii infinite au apărut rar în scrierile matematicienilor europeni. Merită menționată lucrarea matematicianului englez din secolul al XIV-lea Richard Swainshead , care a rezumat seria [32] :

{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {2}{2^{2}}}+{\frac {3}{2^{3}}}+{\ frac {4}{2^{4}}}+{\frac {5}{2^{5}}}+...=2.

În secolul al XVII-lea, serii infinite sunt deja de interes general și încep să fie folosite în rezolvarea multor probleme practice - calcule aproximative , interpolare , teoria logaritmilor etc.

În 1647, Grégoire de Saint-Vincent a descoperit legătura dintre logaritm și aria de sub hiperbolă (vezi figura). În 1650, pe baza unor considerații geometrice, matematicianul italian Pietro Mengoli a publicat în tratatul „ Noi cuadraturi aritmetice ” extinderea într-o serie infinită [33] : $\ln 2$

\ln 2={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}\dots

Mengoli a investigat și alte serii și a demonstrat că seria armonică diverge; Mengoli a arătat, de asemenea, că seria pătratului invers converge, deși nu a fost în stare să-i găsească suma [33] .

În 1668, matematicianul german Nicholas Mercator (Kaufmann), care locuia pe atunci la Londra, în tratatul „ Logaritmotehnica ” a considerat pentru prima dată extinderea într-o serie de nu numere, ci funcții, punând astfel bazele teoriei serii de puteri. [33] :

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{ 4}}{4}}+\cdots

Ca instrument universal pentru studiul funcțiilor și calculelor numerice, serii infinite au fost folosite de Isaac Newton și Gottfried Wilhelm Leibniz , creatorii analizei matematice . La mijlocul secolului al XVII-lea, Newton și Gregory au descoperit expansiunea binomială pentru orice, nu doar pentru un exponent întreg (publicat pentru prima dată în Algebra de Wallis , 1685): $\alfa$

(1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n!}z^n+...

Seria converge la Cu ajutorul acestei formule, Newton a putut pentru prima dată să calculeze arcul unei elipse ca serie (în terminologia modernă, el a calculat integrala eliptică ) [34] . Newton a arătat, de asemenea, cum să folosești serii pentru a rezolva ecuații, inclusiv ecuații diferențiale de ordinul întâi și să exploreze integralele care nu sunt exprimate în termeni de funcții elementare [35] . $|z|\leqslant 1.$

Până la sfârșitul secolului al XVII-lea, au devenit cunoscute extinderile în serii ale tuturor funcțiilor elementare . Leibniz și Grigore au descoperit (1674) prima extindere a unui număr $\pi$ din Europa ( seria Leibniz ):

{\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+ {\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+\cdots

La începutul secolului (1689-1704), studentul lui Leibniz Jacob Bernoulli a publicat prima monografie în cinci volume sub titlul Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis carumque summa finita ( Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis carumque summa finita ). El a arătat utilizarea seriilor pentru a rezolva o mare varietate de probleme.

Secolele XVIII-XIX

În 1715, Brooke Taylor a publicat seria fundamentală Taylor (cunoscută de mult, totuși, de Gregory și Newton).

O contribuție uriașă la teoria seriei a fost adusă de Leonhard Euler . El a fost primul care a găsit suma unei serii de pătrate inverse , a dezvoltat metode de îmbunătățire a convergenței seriilor, a început studiul seriilor trigonometrice , a propus conceptul de sumă generalizată a unei serii potrivite pentru serii divergente. Însuși conceptul de „ funcție analitică ” a fost asociat cu posibilitatea reprezentării sale sub forma unei serii de puteri.

În secolul al XIX-lea , Cauchy și Weierstrass au construit baze riguroase pentru analiză și, în special, o teorie riguroasă a seriilor. A fost introdus conceptul important de convergență uniformă și au fost formulate diverse criterii de convergență.

Teoria seriilor trigonometrice a primit o dezvoltare rapidă . Daniil Bernoulli a exprimat și credința că orice funcție (continuă) pe un interval dat poate fi reprezentată printr-o serie trigonometrică [36] . Discuțiile pe această temă au continuat până în 1807, când Fourier a publicat teoria reprezentării funcțiilor analitice arbitrare pe bucăți prin serii trigonometrice (versiunea finală este conținută în Teoria analitică a căldurii, 1822) [37] . Pentru a extinde funcția într-o serie Fourier, a dat formule integrale pentru calcularea coeficienților [37] . Expunerea lui Fourier nu a fost riguroasă în sensul modern, dar conținea deja o investigație a convergenței majorității seriilor pe care le-a obținut. $f(x)$ $f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos {nx}+b_{n}\sin {nx})$

În același timp, seriile în analiză complexă , inclusiv seria Laurent , au fost dezvoltate și utilizate pe scară largă în secolul al XIX-lea . Utilizarea seriei în științele naturii a început - în mecanica cerească (pentru a rezolva problema celor trei corpuri ), în optică , teoria conducției căldurii , spre sfârșitul secolului - în teoria electromagnetismului .

În secolul al XX-lea, conceptul de serie a fost extins la o clasă largă de obiecte matematice , nu neapărat numerice.

Note

↑ 1 2 3 Fikhtengolts, 1966 , p. 257-258.
↑ 1 2 Enciclopedia matematică, 1984 , p. 1068-1070.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , p. 258-259.
↑ Vorobyov, 1979 , p. 52, 178.
↑ Vorobyov, 1979 , p. 32-33, 52-53.
↑ Vygodski, 1977 , p. 540.
↑ Vorobyov, 1979 , p. 50-71.
↑ 1 2 3 4 Vorobyov, 1979 , p. 72-85.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 315.
↑ Vilenkin și colab., 1982 , p. 55.
↑ Vilenkin și colab., 1982 , p. cincisprezece.
↑ Vilenkin și colab., 1982 , p. 67, ex. 56.
↑ Rudin, Walter. Principiile analizei matematice . - McGraw-Hill, 1976. - P. 74 .
↑ 1 2 Vorobyov, 1979 , p. 38-39.
↑ Vorobyov, 1979 , p. 40-41.
↑ Seria Flint Hills . Preluat la 11 mai 2019. Arhivat din original la 11 mai 2019. (nedefinit)
↑ Weisstein, constanta lui Eric W. Apéry pe site-ul Wolfram MathWorld .
↑ Enciclopedia Matematică, 1984 , p. 1063.
↑ Vilenkin și colab., 1982 , p. 80-82.
↑ Vilenkin și colab., 1982 , p. 86, ex. 70.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , p. 428-432.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 430-432.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 438-439.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , p. 436-438.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 424.
↑ 1 2 3 4 Smirnov V. I. Curs de matematică superioară. - Ed. a X-a - Sankt Petersburg. : BHV-Petersburg, 2010. - T. 3 partea 2. - S. 369-374. — 816 p. - ISBN 978-5-9775-0087-6 .
↑ Vorobyov, 1979 , p. 233-258.
↑ Vorobyov, 1979 , p. 281-306.
↑ 1 2 Van der Waerden . Trezirea Științei. Matematica Egiptului antic, Babilonului și Greciei. - M. : Nauka, 1959. - S. 302-303, 309-310. — 456 p.
↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 202-203.
↑ Paplauskas A. B. Perioada pre-newtoniană de dezvoltare a serii infinite. Partea I // Cercetare istorică și matematică . - M . : Nauka, 1973. - Numărul. XVIII . - S. 104-131 .
↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 275.
↑ 1 2 3 Istoria matematicii, Volumul II, 1970 , p. 158-166.
↑ Istoria matematicii, volumul II, 1970 , p. 231.
↑ Istoria matematicii, volumul II, 1970 , p. 246-247.
↑ Paplauskas A. B. Seria trigonometrică. De la Euler la Lebesgue. - M . : Nauka, 1966. - S. 26-27. — 277 p.
↑ 1 2 Seria trigonometrică // Enciclopedie matematică (în 5 volume). - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 5.

Literatură

Vilenkin N. Ya. , Tsukerman V. V., Dobrokhotova M. A., Safonov A. N. Rows. - M . : Educaţie, 1982. - 160 p.
Vorobyov N. N. Teoria seriei. - a 4-a ed. — M .: Nauka, 1979. — 408 p.
Vygodsky M. Ya. Manual de matematică superioară. - Ed. a XII-a - M . : Nauka, 1977. - 872 p.
Zorich V.A. Capitolul III. Limită. § 1. Limită de succesiune// Analiză matematică, partea I. -M.: Nauka, 1981. - P. 104-114. — 544 p.
Istoria matematicii. Din cele mai vechi timpuri până la începutul New Age // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
Matematica secolului al XVII-lea // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
Pismenny D.T. Partea 2 // Note de curs despre matematica superioară. - Ed. a VI-a. - M. : Iris-press, 2008.
Seria // Enciclopedia matematică (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1984. - T. 4. - S. 1063-1070.
Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral, în trei volume. - Ed. a VI-a - M . : Nauka, 1966. - T. 2. - 680 p.

Link -uri

Savelyeva R. Yu. Matematică superioară. Teoria rândurilor .

Dicționare și enciclopedii

Rusă mare
Brockhaus și Efron
in jurul lumii
Micul Brockhaus și Efron

În cataloagele bibliografice
BNE : XX526931 BNF : 11933261z GND : 4049197-3 J9U : 987007531747905171 LCCN : sh85120237 NDL : 00567344 NKC : ph128240

Secvențe și rânduri
Secvențe	Succesiunea numerică Secvență fundamentală Secvență liniară recurentă numerele Fibonacci numere ondulate Factorială secvența Barker de bruijn secvenţă
Rânduri, de bază	Suma rândurilor Restul rândului Convergență condiționată Serii alternante Rând multisecțiune
Seria de numere ( operații cu seria de numere )	serie armonică seria Leibniz O serie de pătrate inverse O serie de numere prime reciproce rândul Dirichlet Seria Mercator Row Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
rânduri funcționale	Seria Taylor Seria Laurent Seria Fourier Seria Fourier trigonometrică serie trigonometrică Seria Wiener
Alte tipuri de rânduri	Seria Neumann rândul Puiseux

Semne de convergență a seriei
Pentru toate rândurile	Stare necesară Criteriul Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pentru serii cu semn pozitiv	Criteriul principal Semn de comparație semn Kummer semnul Gauss Semnul radical al lui Cauchy Caracteristica integrală Semnul lui D'Alembert semn de putere semn logaritmic Semnul lui Raabe semn Bertrand Semnul lui Jamet Semnul lui Schlömilch Semnul lui Ermakov Semnul lui Lobaciovski semn telescopic Semnul lui Sapogov
Pentru serii alternate	semnul Leibniz
Pentru rândurile formularului $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	semnul Abel Semnul lui Dedekind semn Dubois-Reymond Semnul Dirichlet
Pentru serii funcționale	semn Weierstrass
Pentru seria Fourier	semn Dini Semnul lui de la Vallée Poussin semn Iordan Semnul Jung Semnul Salem Semnul Lebesgue Semnul Lebesgue-Gergen Semnul lui Martsinkevich