Spațiu asferic

Un spațiu asferic este un spațiu topologic în care toate grupurile de homotopie, cu excepția banalelor, sunt triviale. Pentru varietatile simplectice , sensul termenului este ușor diferit; vezi varietate asferică simplică . $\pi _{n}(X)$ $n=1$

Proprietăți

După teorema lui Whitehead , un complex CW este asferic dacă și numai dacă acoperirea sa universală este contractabilă .

Fiecare spațiu asferic este prin definiție un spațiu K(G,1) , unde este grupul fundamental . $X$ $G=\pi _{1}(X)$ $X$

Fie un spațiu asferic și să fie un complex CW conectat . $X$ $K$
- Orice mapare continuă de la 2-scheletul la poate fi extinsă la o mapare continuă definită pe întregul . $K$ $X$ $K$
- Pentru orice homomorfism de grupuri fundamentale , există o mapare continuă care induce . $h\colon \pi _{1}K\to \pi _{1}X$ $\varphi \colon K\to X$ $h$
  - În plus, este unic până la
echivalența homotopiei . $\varphi$

Direct din definiție, un spațiu asferic este spațiul de clasificare pentru grupul său fundamental (care este considerat un grup topologic , atunci când este dotat cu topologia discretă ).

Toate suprafețele compacte , cu excepția sferei și a planului proiectiv, sunt asferice.
Un tor de orice dimensiune este asferic.
Orice varietate hiperbolica este asferica.
Mai mult, spațiile metrice cu curbură nepozitivă în sensul lui Alexandrov (adică local spații CAT(0) ) sunt asferice. În cazul varietăților riemanniene , aceasta rezultă din teorema Cartan-Hadamard .
Complementul nodului la este asferic după teorema sferei $\mathbb {S} ^{3}$
Orice nilmanifold este asferic.
Spațiul lentilei cu dimensiuni infinite este asferic. $\mathbb {S} ^{\infty}/\mathbb {Z} _{p)$