Nilvarietatea

O varietate nil este o varietate netedă având un grup nilpotent tranzitiv de difeomorfisme care acționează asupra acestei varietăți. Un nilmanifold este un exemplu de spațiu omogen și este difeomorf față de un spațiu de coeficient, grupul de coeficient al unui grup N Lie nilpotent de un subgrup închis H. Termenul a fost introdus de Anatoly I. Maltsev în 1951.

În categoria riemanniană există și o definiție exhaustivă a unei varietăți zero. O varietate riemanniană se numește nilvarietate omogenă dacă există un grup nilpotent de izometrii care acționează tranzitiv asupra ei. Cerința ca un grup nilpotent tranzitiv să acționeze prin izometrii duce la următoarea caracterizare: orice nilvarietate omogenă este izometrică la un grup Lie nilpotent cu o metrică invariantă la stânga (vezi articolul lui Wilson [1] ).

Nilmanifoldurile sunt obiecte geometrice importante și apar adesea în exemple concrete cu proprietăți specifice. În geometria riemanniană, aceste spații au întotdeauna curbură mixtă [2] , varietăți aproape plate apar ca spații coeficiente ale nilvarietăților [3] , iar nilmultipurile compacte au fost folosite pentru a construi exemple elementare ale colapsului metricii riemanniene în fluxurile Ricci [4] .

Pe lângă rolul lor important în geometria nilvariei, există un interes din ce în ce mai mare pentru ele ca având un rol în combinatoria aritmetică (vezi articolul lui Green și Tao [5] ) și teoria ergodică (vezi, de exemplu, articolul de Host și Cra [6] ).

Compact nilmanifolds

Un nilmanifold compact este un nilmanifold care este compact. O modalitate de a construi astfel de spații este să luăm în considerare un grup N Lie nilpotent simplu conectat și un subgrup discret . Dacă un subgrup acționează cocompact (prin înmulțire dreaptă) pe N , atunci varietatea coeficientului este o nilvarietate compactă. După cum a arătat Maltsev, orice nilmanifold compact poate fi obținut în acest fel [7] .

Un subgrup ca mai sus se numește rețea în N . Un grup Lie nilpotent admite o rețea numai dacă algebra lui Lie admite o bază cu constante de structură rațională - acesta este criteriul Maltsev. Nu toate grupurile de minciuni nilpotente admit zăbrele. Pentru detalii, vezi articolul lui M. S. Raunathan [8] .

O varietate riemanniană compactă este o varietate riemanniană compactă care este izometrică local la un grup Lie nilpotent printr-o metrică invariantă la stânga. Aceste spații sunt construite în felul următor. Fie o rețea într-un grup N Lie nilpotent simplu conectat ca mai sus. Înzestrăm N cu o metrică stânga-invariantă (riemanniană). Apoi subgrupul acționează prin intermediul izometriilor pe N prin înmulțire la stânga. Atunci spațiul coeficient este un spațiu compact izometric local la N . Rețineți că acest spațiu este în mod natural difeomorf .

Nilmanifoldurile compacte apar, de asemenea, ca un pachet principal . De exemplu, luați în considerare un grup N Lie nilpotent în 2 trepte care admite o rețea (vezi mai sus). Fie comutatorul subgrupului N . Notăm cu p dimensiunea comutatorului Z și cu q codimensiunea lui Z , adică dimensiunea lui N este egală cu p+q. Se știe (vezi articolul lui Raghunathan) că este o rețea în Z . Prin urmare, este un tor compact p -dimensional. Deoarece Z este central în N , grupul G acţionează asupra unei nilvariete compacte cu un spaţiu coeficient . Această varietate de bază M este un tor compact q -dimensional. S-a demonstrat că orice snop principal de tori peste un tor are această formă, vezi lucrarea Police și Stewart [9] . Mai general, un nilmanifold compact este un snop de tori peste un snop de tori peste un snop de tori ... peste un tor.

După cum sa menționat mai sus, soiurile aproape plate sunt în esență nil-variete compacte. Consultați articolul aferent pentru mai multe informații.

Nilmanifolds complexe

Din punct de vedere istoric, un nilmanifold complex înseamnă coeficientul unui grup complex Nilpotent Lie de o rețea cocompact . Un exemplu de astfel de varietate nulă este soiul Iwasawa . Începând cu anii 1980, o altă noțiune (mai generală) de nilmanifold complex a înlocuit treptat această noțiune.

O structură aproape complexă pe algebra Lie reală g este un endomorfism al cărui pătrat este −Id g . Acest operator se numește o structură complexă dacă spațiile sale proprii corespunzătoare valorilor proprii sunt subalgebre în . În acest caz, I definește o structură complexă stânga-invariantă pe grupul Lie corespunzător. Un astfel de soi ( G , I ) se numește soi de grup complex . Astfel, orice varietate omogenă complexă conectată dotată cu o acțiune holomorfă tranzitivă liberă asupra unui grup de Lie real se obține în acest fel.

Fie G un grup Lie real nilpotent. Un nilmanifold complex este un factor de varietate al unui grup complex ( G , I ) dotat cu o structură complexă stânga invariantă printr-o rețea cocompact discretă care acționează la dreapta.

Nilmultipurile complexe nu sunt de obicei omogene ca și varietatile complexe.

În dimensiunea complexă 2, singurele nilmanifolds complexe sunt torul complex și suprafața Kodaira [10] .

Proprietăți

Nilmultipurile compacte (cu excepția torusului) nu sunt niciodată formale [11] [12] . Acest lucru implică imediat că nilmultipurile compacte (cu excepția torusului) nu admit o structură Kähler (vezi și articolul lui Benson și Gordon [13] ).

Din punct de vedere topologic, toate nilmanifoldurile pot fi obținute ca snopi iterați de tori peste un tor. Acest lucru este ușor de văzut din rândul central descendent [14] .

Exemple

Grupuri Nilpotent Lie

Este clar din definiția de mai sus pentru o nilvarietate omogenă că orice grup Lie nilpotent cu o metrică invariantă la stânga este o nilvarietate omogenă. Cele mai cunoscute grupuri Lie nilpotente sunt grupurile matriceale ale căror elemente diagonale sunt egale cu 1 și toate elementele subdiagonale sunt zero.

De exemplu, grupul Heisenberg este un grup Lie nilpotent în 2 trepte. Acest grup Lie nilpotent este, de asemenea, special pentru că permite un coeficient compact. Grupul poate fi matrici triunghiulare superioare cu elemente întregi. Nilmanifoldul rezultat este tridimensional. Un posibil domeniu fundamental este (izomorf la) [0,1] 3 cu fețele identificate corespunzător. Acest lucru se datorează faptului că un element de nilvarietate poate fi reprezentat printr-un element din domeniul fundamental. Aici înseamnă funcția „etaj” a lui x și înseamnă partea fracțională a lui . Apariția funcției „etaj” aici este un indiciu despre conexiunea dintre nilmanifolds cu combinatoria aditivă - așa-numitele polinoame bracket sau polinoame generalizate sunt importante în analiza Fourier de ordin înalt [5] .

Grupuri Abelian Lie

Cel mai simplu exemplu este orice grup Abelian Lie. Acest lucru se datorează faptului că orice astfel de grup este un grup Lie nilpotent. De exemplu, putem lua grupul de numere reale prin adunare și subgrupul cocompact discret de numere întregi. Nilmanifoldul rezultat în 1 pas este un inel familiar . Un alt exemplu binecunoscut este un compact 2-tor sau spațiu euclidian prin adunare.

Generalizări

Note

  1. ↑ Wilson, 1982 .
  2. ↑ Milnor, 1976 , p. 293–329.
  3. ↑ Gromov, 1978 , p. 231–241.
  4. ↑ Chow, Knopf, 2004 , p. xii+325.
  5. ↑ 1 2 Green, Tao, 2010 , p. 1753–1850
  6. ↑ Gazdă, Kra, 2005 , p. 397–488.
  7. ↑ Maltsev, 1949 , p. 9-32.
  8. ↑ Raghunathan, 1972 .
  9. ↑ Palais, Stewart, 1961 , p. 26–29.
  10. ↑ Hasegawa, 2005 , p. 749–767.
  11. ↑ O algebră gradată diferențială minimă A peste K este formală dacă există un morfism de algebre gradate diferențiale de la A la , astfel încât generează o identitate pe coomologie cu antiderivată d = 0 pe (Hasegawa, p. 68).
  12. ↑ Hasegawa, 1989 , p. 65–71.
  13. ↑ Benson și Gordon 1988 , p. 513–518.
  14. ↑ Rollenske, 2009 , p. 425–460.

Literatură