Teorema Hadamard-Cartan

Teorema Hadamard-Cartan  este o afirmație conform căreia acoperirea universală a unei varietăți Riemanniene cu curbură nepozitivă este difeomorfă față de spațiul euclidian .

Istorie

Pentru suprafețele din spațiul euclidian, teorema a fost demonstrată de von Mangoldt în 1881 [1] , și independent de Hadamard în 1898 [2] . Cazul general a fost dovedit de Cartan în 1928 [3] .

Generalizările la spații metrice în diverse generalități au fost obținute de Busemann [4] [5] și Rinov [6] , Gromov [7] , precum și de Alexander și Bishop [8] .

Formulare

Teorema Cartan-Hadamard afirmă că spațiul de acoperire universal al unei varietăți Riemanniane complete conectate de curbură secțională nepozitivă este difeomorf față de spațiul euclidian. Mai mult decât atât, harta exponențială în orice punct este un difeomorfism.

Variații și generalizări

• Teorema se generalizează la varietățile Hilbert în sensul că maparea exponențială este o acoperire universală. În acest caz, completitudinea este înțeleasă în sensul că maparea exponențială este definită pe întreg spațiul tangent la punct.

• Teorema Cartan-Hadamard pentru spații metrice: un spațiu metric X cu curbură nepozitivă în sensul lui Aleksandrov este un spațiu CAT(0) .
  • În special, dacă X este pur și simplu conectat , atunci oricare două puncte din el sunt conectate printr-o singură geodezică, ceea ce înseamnă că X este contractibil .

Presupunerea curburii nepozitive poate fi relaxată [8] . Numim un spațiu metric X convex dacă pentru oricare două geodezice a ( t ) și b ( t ) funcția

este o funcție convexă a lui t . Se spune că un spațiu metric este convex local dacă fiecare dintre punctele sale are o vecinătate care este convexă în acest sens. Teorema Cartan-Hadamard pentru spații convexe local este formulată după cum urmează:

• Dacă X este un spațiu metric convex complet convex local, atunci acoperirea universală a lui X este un spațiu geodezic convex în raport cu metrica intrinsecă indusă .
  • În special, acoperirea universală a unui astfel de spațiu este contractabilă.

Note

1. ↑ Hans von Mangoldt. Ueber diejenigen Punkte auf positiv gekrümmten Flächen, welche die Eigenschaft haben, dass die von ihnen ausgehenden geodätischen Linien nie aufhören, kürzeste Linien zu sein. (germană)  // J. Reine Angew. Matematică.. - 1881. - Bd. 91 . — S. 23–53 .
2. ↑ Hadamard, J. Sur la forme des lignes géodésiques à l'infini et sur les géodésiques des surfaces réglées du second ordre  (franceză)  // Bulletin de la Société Mathématique de France. - 1898. - Vol. 26 . - P. 195-216 . Arhivat din original pe 3 iunie 2018.
3. ↑ Cartan, Elie. Lecons sur la geométrie des espaces de Riemann  (franceză) . - Paris: Gauthier-Villars, 1928. - vi + 273 p.
4. ↑ Busemann, H. Spații cu curbură nepozitivă. Acta Mathematica 80 (1948), 259-310.
5. ↑ Buseman G. The geometry of geodezics. — 1962.
6. ↑ Rinow, W. Die innere Geometrie der metrischen Raume. Springer, Berlin, Geidelberg, New York, 1961.
7. ↑ Gromov, M. Grupuri hiperbolice. Eseuri în teoria grupurilor. (engleză)  // Matematică. sci. Res. Inst. Publ.. - New York: Springer, 1987. - Vol. 8 . — P. 75–263 .
8. ↑ 1 2 S. B. Alexandru, R. L. Episcop. Teorema Hadamard—Cartan în spații metrice convexe local // Enseign. Matematică. (2). - 1990. - T. 36 , nr. 3-4 . - S. 309-320 .