Atractor Rössler

Atractorul Rössler este un atractor haotic pe care sistemul de ecuații diferențiale Rössler îl are [1] :

$\left\{{\begin{matrice}{\frac {dx}{dt}}=-yz\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\\{\frac {dz} {dt}}=b+z(xc)\end{matrice}}\dreapta.$ ;

unde sunt constante pozitive. Pentru valorile parametrilor și , ecuațiile Rössler au un ciclu limită stabil . Cu aceste valori ale parametrilor, în sistem are loc o cascadă de dublare a perioadei . La , apare un atractor haotic . Liniile bine definite ale ciclurilor limită estompează și umplu spațiul fazelor cu un set infinit de traiectorii care au proprietățile unui fractal . $a,b,c$ $a=b=0,2$ $2,6\leq c\leq 4,2$ $c>4.2$

Rössler însuși a studiat sistemul cu constante , și , dar valorile , , și sunt, de asemenea, adesea folosite [2] . $a=0,2$ $b=0,2$ $c=5,7$ $a=0,1$ $b=0,1$ $c=14$

Analiza comportamentului sistemului în plan

Două dintre ecuațiile sistemului Rössler sunt liniare. Când iau forma $z=0$

$\left\{{\begin{matrice}{\frac {dx}{dt}}=-y\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\end{matrice}}\right .$

Prin urmare, stabilitatea mișcării în plan este determinată de valorile proprii ale matricei Jacobi , care sunt egale cu . $z=0$ ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\\\end{pmatrix}}$ ${\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4}}}{2}}$

Concluzie

Să găsim valorile proprii ale matricei

${\begin{pmatrix}0-\lambda &-1\\1&a-\lambda \\\end{pmatrix})$ .

Determinantul este , prin urmare $-\lambda a+{\lambda }^{2}+1=0$

$\lambda _{1,2}={\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4}}}{2}}$

Când , valorile proprii au o parte reală pozitivă și sunt conjugate complexe. Prin urmare, traiectorii de fază diverg de la origine într-o spirală. Acum să analizăm modificarea coordonatelor , numărând . Atâta timp cât este mai mic decât , factorul din ecuația pentru va menține traiectoria aproape de plată . De îndată ce devine mai mare , -coordonatele va începe să crească. La rândul său, un parametru mare va începe să încetinească creșterea în . $0<a<2$ $z$ $0<a<2$ $X$ $c$ $xc$ ${\frac {dz}{dt)}$ $X y$ $X$ $c$ $z$ $-z$ $X$ ${\frac {dx}{dt)}$

Puncte fixe

Ecuațiile pentru puncte fixe pot fi găsite prin setarea derivatelor în sistemul de ecuații Rössler egale cu zero. Ca rezultat, se dovedește că există două puncte fixe:

\left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab)}}{2)), {\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab)} }{2a)),{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)

\left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab)}}{2)), {\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab)} }{2a)),{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab))}{2a))\right)

După cum puteți vedea în imaginea de proiecție a atractorului Rössler de mai sus, unul dintre aceste puncte este situat în centrul spiralei atractoare, iar celălalt este departe de acesta.

Modificarea parametrilor a, b și c

Comportamentul atractorului Rössler depinde puternic de valorile parametrilor constanți. O modificare a fiecărui parametru are un anumit efect, în urma căruia poate apărea un punct fix stabil în sistem, un ciclu limită sau soluțiile sistemului vor „fuge” la infinit.

Diagramele de bifurcație sunt un instrument standard pentru analizarea comportamentului sistemelor dinamice, inclusiv a atractorului Rössler. Ele sunt create prin rezolvarea ecuațiilor unui sistem în care două variabile sunt fixe și una este schimbată. La construirea unei astfel de diagrame, se obțin regiuni aproape complet „umbrite”; acesta este tărâmul haosului dinamic.

Modificarea parametrului a

Reparăm și ne vom schimba . $b=0,2$ $c=5,7$ $A$

Ca rezultat, din punct de vedere empiric, obținem următorul tabel:

$a\leq 0$ : Convergând către un punct stabil.
$a=0,1$ : Învârtire cu o perioadă de 2.
$a=0,2$ : Haos (parametru standard al ecuațiilor Rössler) .
$a=0,3$ : atractor haotic.
$a=0,35$ : Similar cu precedentul, dar haosul este mai pronunțat.
$a=0,38$ : Similar cu precedentul, dar haosul este și mai puternic.

Modificarea parametrului b

Reparăm , iar acum vom schimba parametrul . După cum se poate observa din figură, deoarece atractorul tinde spre zero, este instabil. Când devine mai mare și , sistemul se va echilibra și va intra într-o stare staționară. $a=0,2$ $c=5,7$ $b$ $b$ $b$ $A$ $c$

Modificarea parametrului c

Remediați și schimbați . Din diagrama de bifurcație se poate observa că, la valori mici , sistemul este periodic, dar pe măsură ce crește, devine rapid haotic. Cifrele arată exact cum se modifică aleatoritatea sistemului odată cu creșterea . De exemplu, la = 4, atractorul va avea o perioadă egală cu unu și va exista o singură linie pe diagramă, același lucru se va întâmpla când = 3 și așa mai departe; până când devine mai mult de 12: ultimul comportament periodic este caracterizat de această valoare, apoi haosul merge peste tot. $a=b=0,1$ $c$ $c$ $c$ $c$ $c$ $c$

Oferim ilustrații ale comportamentului atractorului în intervalul indicat de valori , care ilustrează comportamentul general al unor astfel de sisteme - tranziții frecvente de la periodicitate la haos dinamic. $c$

Vezi și

atractor Lorentz

Note

↑ Peitgen, Heinz-Otto ; Jürgens, Hartmut & Saupe, Dietmar (2004), 12.3 The Rössler Attractor, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science , Springer, p. 636–646 .
↑ Letellier, C.; V. Mesager. Influențe asupra primei lucrări a lui Otto E. Rössler despre haos // International Journal of Bifurcation & Chaos : jurnal. - 2010. - Vol. 20 , nr. 11 . - P. 3585-3616 .

Link -uri

Animație flash
OE ROSSLER - O ECUAȚIE PENTRU HASUL CONTINU (link indisponibil)
Animația Java a atractorilor Rössler și Lorenz Arhivat 11.03.2008
Constructor de atractor pentru MacOS
Rössler atractor la Scholarpedia.org

Literatură

Voronov V.K., Podoplelov A.V. Fizica modernă: manual. M., KomKniga, 2005, 512 p., ISBN 5-484-00058-0 , cap. 2 Fizica sistemelor deschise. pp 2.4 Atractorul haotic al lui Rössler.