Funcție pătratică afină

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 21 februarie 2017; verificările necesită 9 modificări .

O funcție afină-quadratică este un analog al conceptului de formă pătratică pentru spații afine .

Definiție

Fie în continuare un spațiu afin asociat cu un spațiu vectorial peste un câmp a cărui caracteristică nu este egală cu . $S$ $V$ $\mathbb {K}$ $2$

Prin coordonate

O funcție se numește afin-quadratică dacă într-un cadru este dată de un polinom pătratic (sau un polinom de grad mai mic) în coordonate, adică $Q:S\la \mathbb {K}$

Q(P)=\sum _{1\leq i\leq j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}b_{ i}x_{i}+c

Spre deosebire de conceptul clasic de funcție pătratică, coeficienții pot fi zero în același timp. Astfel, un polinom poate fi atât liniar, cât și constant. $a_{{ij}}$

Prin forma pătratică

O funcție se numește afin-quadratică dacă, pentru un punct fix , este dată de relația $Q:S\la \mathbb {K}$ $O\in S$

Q(x+O)=q(x)+l(x)+c

unde , este o formă pătratică pe , este o formă liniară pe , și este o constantă fixă [1] . $x \în V$ $q$ $V$ $l$ $V$ $c$ $\mathbb {K}$

Prin funcția biafină

Este posibil să se dea o definiție similară cu definiția unei forme pătratice în termenii unei forme biliniare . Numim o funcție biafină dacă, pentru unul fix dintre parametri, funcția este afină , adică dacă sunt funcții afine. Atunci se numește afin-quadratic dacă pentru o funcție biafină $D:S\times S\to \mathbb {K}$ $\forall P\in S:D(P,\cdot), D(\cdot,P)$ $Q:S\la \mathbb {K}$ $D$

Q(P)=D(P,P)

. [2]

Conexiune cu funcții biafine

Conform celei de-a treia definiții, orice funcție de forma , unde este o funcție biafină, este afină-quadratică și orice funcție afină-quadratică poate fi reprezentată ca , unde este o funcție biafină. Cu toate acestea, pentru o anumită funcție afină-quadratică, funcția biafină care o definește nu este definită în mod unic. O corespondență unu-la-unu poate fi obținută dacă mai avem nevoie de simetrie , adică următoarea afirmație este adevărată: $D(P,P)$ $D$ $Q(P)$ $D(P,P)$ $D$ $D$

Pentru orice funcție afină-quadratică, există o funcție biafină simetrică unică astfel încât . Astfel, există o corespondență unu-la-unu între funcțiile afine-quadratice și funcțiile biafine simetrice.

Q(P)

D(P,R)

Q(P)=D(P,P)

În ceea ce privește o funcție afină-quadratică dată, funcția biafină simetrică corespunzătoare poate fi exprimată după cum urmează: $Q$ $D$

D(P,R)=2Q\left({\frac {1}{2}}P+{\frac {1}{2}}R\right)-{\frac {1}{2}} Q(P)-{\frac {1}{2}}Q(R)

Această formulă se numește formula de polarizare (similar cu cazul formelor pătratice și biliniare). Sumele punctelor cu coeficienți sunt aici o combinație afină .

Toate celelalte funcții biafine care definesc o funcție afină-quadratică dată sunt obținute prin adăugarea la funcția biafină antisimetrică arbitrară simetrică corespunzătoare.

Transformare la schimbarea originii

Conform celei de-a doua definiții, pentru un anumit punct orice funcție afine-quadratică poate fi reprezentată ca , unde este o formă pătratică pe , este o formă liniară pe , și este o constantă fixă . Dimpotrivă, funcția dată de expresia pentru un anumit punct este afin-quadratică. Punctul se numește origine. $O\in S$ $Q(x+O)=q(x)+l(x)+c$ $q$ $V$ $l$ $V$ $c$ $\mathbb {K}$ $O$ $Q(x+O)=q(x)+l(x)+c$ $O$

De fapt, o funcție afine-quadratică pentru orice punct poate fi dată sub forma . În acest caz, forma pătratică pentru o funcție afină-quadratică dată este definită în mod unic și nici măcar nu depinde de alegerea punctului . Această formă se numește partea pătratică . O matrice de această formă se numește matrice principală . Aceeași matrice, în același timp, este matricea principală a funcției biafine simetrice corespunzătoare. Rangul matricei principale se numește rangul mic al funcției afine-quadratice. [3] $O\in S$ $Q(x+O)=q(x)+l(x)+c$ $q$ $O$ $Q$ $Q$

Forma și constanta pentru un punct dat sunt definite în mod unic, dar pot diferi pentru puncte diferite. Forma se numește partea liniară față de punct , iar constanta se numește partea constantă față de punct . [patru] $l$ $c$ $O$ $O$ $l$ $Q$ $O$ $c$ $O$

La schimbarea punctului , părțile liniare și constante sunt transformate după cum urmează. Să fie un punct nou, atunci pentru unii și . Acestea sunt exprimate astfel: $O$ $O'=O+a$ $Q(O'+x)=q(x)+l'(x)+c'$ $eu$ $c'$ $eu$ $c'$

l'(x)=2b(a,x)+l(x)

c'=q(a)+l(a)+c

unde este forma biliniară simetrică corespunzătoare formei pătratice . [5] $b$ $q$

Transformare la schimbarea cadrului

Conform primei definiții, orice funcție afine-quadratică dintr-un cadru poate fi reprezentată ca un polinom pătratic (sau un polinom de grad mai mic) în coordonate. Mai mult este adevărat: pentru orice funcție afină-quadratică, aceasta se poate face în orice cadru. În schimb, dacă o funcție este dată de un polinom pătratic în coordonate, atunci este afin-pătratică.

O formulă în coordonate poate fi obținută dintr-o formulă printr-o formă pătratică. Fie un cadru, fie matricea părții pătratice din baza , fie vectorul rând de coordonate ale părții liniare în raport cu în bază , și fie partea constantă în raport cu . Apoi: $(O,e)$ $A$ $e$ $B$ $O$ $e$ $c$ $O$

Q(P)=x^{T}Ax+Bx+c

Folosind conceptul de matrice augmentată, această expresie poate fi scrisă și mai simplu. Matricea extinsă a unei funcții afine-quadratice este matricea

A'={\begin{pmatrix}A&{\dfrac {B^{T}}{2}}\\{\dfrac {B}{2}}&c\end{pmatrix}}

Apoi

Q(P)={\begin{pmatrix}x^{T}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&{\dfrac {B^{T}}{2}}\\{ \dfrac {B}{2}}&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}}=x'^{T}A'x'

Regula pentru transformarea coeficienților atunci când treceți la alt cadru este, de asemenea, destul de simplu scrisă în termeni de matrici extinse. Fie matricea de tranziție de la vechea bază la cea nouă, fie vectorul coloană de coordonate ale noii origini în cadrul vechi. Apoi $T$ $t$

A'_{2}={\begin{pmatrix}A_{2}&{\dfrac {B'^{T}}{2}}\\{\dfrac {B'}{2}}&c „\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T^{T}&0\\t^{T}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}&{\dfrac {B ^{T}}{2}}\\{\dfrac {B}{2}}&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T&t\\0&1\end{pmatrix}}=T'^{T }A'_{1}T'

Rangul matricei extinse se numește rangul mare al funcției pătratice afine.

Definiții înrudite

O cvadrică afină este o mulțime de . $X(Q)=\{P\in S:Q(P)=0\)$
Funcțiile afine-quadratice și se numesc echivalent afin dacă există o transformare afină astfel încât . $Q_1$ $Q_{2}$ $F$ $Q_{1}(F(P))\equiv Q_{2}(P)$
Funcțiile afine-quadratice și pe un spațiu afin metric sunt numite echivalente metric dacă există o astfel de mișcare care . $Q_1$ $Q_{2}$ $F$ $Q_{1}(F(P))\equiv Q_{2}(P)$

Centru

Punctul central al unei funcții afine-quadratice este un punct din , astfel încât pentru oricare dintre , . Mulțimea tuturor punctelor centrale este numită centrul unei funcții afine-cuadratice [6] (unii autori aderă la o terminologie diferită: se referă la punctele în sine ca centre, și nu la mulțimea lor. [7] Mai mult, acest articol va adera la prima terminologie). $Q$ $O$ $S$ $X$ $V$ $Q(O+x)=Q(Ox)$

Dacă centrul este nevid , atunci o astfel de funcție afină-quadratică se numește centrală , iar în rest non-centrală . $Q$

Un punct este centrul unei funcții afine-quadratice dacă și numai dacă partea liniară față de acest punct este identică [8] . $O$ $0$

Dovada

$Q(O+x)-Q(Ox)=q(x)+l(x)+cq(x)+l(x)-c=2l(x)=0\Rightarrow l(x)= 0)$

Mulțimea centrelor unei funcții afine-quadratice în coordonate este soluția SLAE $Ax=-{\frac {B^{T}}{2}}$

Dovada

$P$ este centrul , unde este partea liniară în raport cu . , unde , este partea liniară în raport cu originea , este forma biliniară simetrică corespunzătoare formei pătratice . $\Leftrightarrow l'(x)\equiv 0$ $eu$ $P$ $l'(x)=2b(a,x)+l(x)$ $P=O+a$ $l$ $O$ $b$ $q$ $l'(x)\equiv 0\Leftrightarrow 2b(a,x)+l(x)\equiv 0\Leftrightarrow 2a^{T}Ax+Bx\equiv 0\Leftrightarrow (2a^{T}A+ B )x\equiv 0\Leftrightarrow 2a^{T}A+B=0\Leftrightarrow a^{T}A=-{\frac {B}{2}}\Leftrightarrow Aa=-{\frac {B^{ T }}{2}}$

Partea pătratică a unei funcții afine-quadratice non-centrale este degenerată (reduce din proprietatea anterioară și teorema Kronecker-Capelli ). Mulțimea centrelor funcției centrale afine-cuadratice este un subspațiu afin al spațiului de dimensiune , iar subspațiul său de ghidare este . Dacă partea pătratică este nedegenerată, atunci setul de centre este format dintr-un punct. [6] $S$ $\operatorname {dim} {S}-\operatorname {rk} {q)$ $\operatorname {ker} {q}$

O funcție afină-quadratică non-centrală are cel puțin un zero (decurge din forma sa canonică, care va fi derivată mai jos).

Forma canonică

Forma canonică pentru funcțiile afine-quadratice centrale și non-centrale diferă semnificativ una de cealaltă.

Caz central

Pentru a reduce funcția centrală afină-quadratică la forma canonică, este suficient să luăm ca origine oricare dintre centrele sale și baza canonică pentru partea sa pătratică ca bază. Apoi partea liniară va fi pusă la zero, pătratica va lua forma canonică și funcția afină-quadratică va lua forma:

Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+c_{0)

, unde , toate .

1\leq k\leq n

\lambda _{i}\neq 0

Valoarea nu depinde de alegerea unui anumit centru. $c_{0}$

Caz non-central

Alegem o bază în care partea pătratică are o formă canonică. Aceasta va aduce funcția afină-quadratică la forma , unde , deoarece partea pătratică a funcției afine-pătratice non-centrale este degenerată. Dacă , atunci înlocuirea la , la va duce la forma , unde partea liniară este identic egală cu zero, ceea ce înseamnă că originea este centrul. Se dovedește că cel puțin unul dintre coeficienți nu este egal cu zero și putem face o înlocuire pentru , , pentru , care va aduce funcția afine-quadratică la forma canonică: $Q(P)=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}y_{i}^{2}+\sum _{i=1}^{n}\mu _ {i}y_{i}+c_{0}=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}(y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2 \lambda _{i}}})^{2}+\sum _{i=k+1}^{n}\mu _{i}y_{i}+c'_{0}$ $k<n$ $\mu _{k+1},...,\mu _{n}=0$ $z_{i}=y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2\lambda _{i}}}$ $i=1,...,k$ $z_{i}=y_{i)$ $i=k+1,...,n$ $Q$ $\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}z_{i}^{2}+c'_{0)$ $\mu _{k+1},...,\mu _{n)$ $x_{i}=y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2\lambda _{i}}}$ $i=1,...,k$ ${\displaystyle x_{k+1}=\mu _{k+1}y_{k+1}+...+\mu _{n}y_{n}+c'_{0))$ $x_{i}=y_{i)$ $i=k+2,...,n$

Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+x_{k+1)

, unde , toate .

1\leq k<n

\lambda _{i}\neq 0

Întrebarea unicității formei canonice a unei funcții afine-quadratice se reduce la întrebarea unicității formei canonice a părții sale pătratice. Dacă două funcții afine-quadratice au aceeași formă canonică, atunci ele sunt echivalente afin. [9]

Vizualizare normală

Forma normală a unei funcții afine-quadratice diferă de cea canonică prin faptul că partea pătratică din ea are o formă normală. Să , unde totul să fie forma normală de . Atunci forma normală este : $q(x)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}$ $\lambda _{i}\neq 0$ $q$ $Q$

Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+c_{0)

, unde în cazul central,

1\leq k\leq n

Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+x_{k+1)

, unde în cazul necentral

1\leq k<n

Arbitrariul specific în alegerea coeficienților depinde de domeniu și trebuie luat în considerare în fiecare caz individual. $\lambda _{i}$ $\mathbb {K}$

Caz $\mathbb {K} =\mathbb {C}$

Q(P)=x_{1}^{2}+...+x_{k}^{2}+c_{0}

în cazul central

Q(P)=x_{1}^{2}+...+x_{k}^{2}+x_{k+1}

în cazul necentral

Caz $\mathbb {K} =\mathbb {R}$

Q(P)=x_{1}^{2}+...+x_{m}^{2}-x_{m+1}^{2}-...-x_{k}^ {2}+c_{0}

, unde în cazul central

0\leq m\leq k

Q(P)=x_{1}^{2}+...+x_{m}^{2}-x_{m+1}^{2}-...-x_{k}^ {2}+x_{k+1}

, unde în cazul necentral

0\leq m\leq k

Forma normală a unei funcții afine-quadratice este unică. Două funcții afine-quadratice au aceeași formă normală dacă și numai dacă sunt echivalente afin. [zece]

Reducere la axele principale

În spații euclidiene , unitare și alte afine asociate unui spațiu vectorial cu produs interior, se poate pune problema găsirii unui sistem de coordonate dreptunghiular în care forma afină-quadratică are cea mai simplă formă. Aici vom lua în considerare unul pentru spațiul euclidian.

Caz central

Ca referință, trebuie să luați orice centru și ca bază, o bază ortonormală în care forma pătratică are o formă canonică. Apoi funcția afin-quadratică va fi redusă la forma:

Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+c_{0)

, unde , toate

1\leq k\leq n

\lambda _{i}\neq 0

în plus, coeficienții sunt determinați în mod unic până la o permutare (aceasta rezultă din unicitatea formei formei pătratice în axele principale).

Caz non-central

În cazul non-central, un astfel de sistem de coordonate dreptunghiular în care funcția afină-quadratică are o formă canonică nu există întotdeauna, dar dacă îl schimbi puțin, poți obține o formă care există și este unică pentru orice funcție.
Pentru a reduce la această formă, trebuie mai întâi să aduceți partea pătratică la axele principale. Primim: . Apoi faceți următoarea înlocuire: pentru , , luați variabilele rămase astfel încât înlocuirea să fie ortogonală (matricea de înlocuire trebuie să fie completată astfel încât să fie ortogonală . Acest lucru se poate face, deoarece primele rânduri formează deja un sistem ortonormal și este destul de simplu de completat la o bază ortonormală) . Aspectul final este: $Q(P)=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}y_{i}^{2}+\sum _{i=1}^{n}\mu _ {i}y_{i}+c_{0}=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}(y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2 \lambda _{i}}})^{2}+\sum _{i=k+1}^{n}\mu _{i}y_{i}+c'_{0}$
$x_{i}=y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2\lambda _{i}}}$ $i=1,...,k$ $x_{k+1}={\frac {\mu _{k+1}y_{k+1}+...+\mu _{n}y_{n}+c'_{0} }{\sqrt {\mu _{k+1}^{2}+...+\mu _{n}^{2))))$ $k$

Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+px_{k+1)

, unde , toate , .

1\leq k<n

\lambda _{i}\neq 0

p>0

Această formă este, de asemenea, unică până la o permutare a coeficienților . $\lambda _{i}$

Dovada de unicitate

Unicitatea coeficienților rezultă din unicitatea coeficienților formei pătratice din axele principale. Rămâne de demonstrat unicitatea coeficientului . Fie într-un sistem de coordonate dreptunghiular să aibă forma , iar în - , , toate , Fie o formă biliniară simetrică corespunzătoare , să fie un operator liniar autoadjunct corespunzător acestei forme. Matricea sa în bază și în bază are aceeași formă . Atunci matricea de tranziție de la la are forma: $\lambda _{i}$ $p$
$(O,e_{1},...,e_{n})$ $Q$ $Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+px_{k+1)$ $(O',e'_{1},...,e'_{n})$ $Q(P)=\lambda _{1}x_{1}'^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}'^{2}+p'x_{k+ one }'$ $1\leq k<n$ $\lambda _{i}\neq 0$ $p,p'>0$
$b$ $q$ $\phi$ $e$ $e'$ $A=\operatorname {diag} (\lambda _{1},...,\lambda _{k},0,...,0)$ $\operatorname {im} {\phi }=<e_{1},...,e_{k}>=<e_{1}',...,e_{k}'>$ $e$ $e'$

T={\begin{pmatrix}T_{1}&0\\0&T_{2}\end{pmatrix}}

iar matricele și sunt ortogonale. Lasă . $T_{1}$ $T_{2}$ $O'=O+a$

\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}^{2}=x^{T}Ax=(Tx'+a)^{T}A(Tx '+a)=(x'^{T}T^{-1}+a^{T})A(Tx'+a)=x'^{T}T^{-1}ATx'+x' ^{T}T^{-1}Aa+a^{T}ATx'+a^{T}Aa=x'^{T}Ax'+2a^{T}ATx'+a^{T}Aa =\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}'^{2}+\sum _{i=1}^{k}a_{1}x_{i}' +c_{1}

{\displaystyle px_{k+1}=\sum _{i=k+1}^{n}pt_{i}x_{i}'+c_{2))

\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}'^{2}+\sum _{i=1}^{k}a_{1}x_{i }'+\sum _{i=k+1}^{n}pt_{i}x_{i}'+c_{1}+c_{2}=\sum _{i=1}^{k}\ lambda _{i}x_{i}'^{2}+p'x_{k+1}'

t_{k+1}={\frac {p'}{p)),t_{k+1},...,t_{n}=0

Matrice - ortogonală $T_{2}$ $\Rightarrow t_{k+1}^{2}=\left({\frac {p'}{p}}\right)^{2}=1$
${\frac {p'}{p}}>0\Rightarrow {\frac {p'}{p}}=1\Rightarrow p'=p$

Două funcții afine-quadratice sunt echivalente metric dacă și numai dacă au aceeași formă în axele principale. [unsprezece]

Aplicație

Funcțiile afine-quadratice sunt folosite pentru a clasifica cvadricile. De exemplu: cu ajutorul lor se poate obține o clasificare standard afină sau metrică a curbelor și suprafețelor de ordinul doi în spațiul euclidian [12] .

Vezi și

funcţie liniară afină

Note

↑ Vinberg, 2001 , p. 284.
↑ Kostrikin, 2000 , p. 217.
↑ Kostrikin, 2000 , p. 230.
↑ Kostrikin, Manin, 1980 , p. 215.
↑ Vinberg, 2001 , p. 310.
↑ 1 2 Kostrikin, Manin, 1980 , p. 216.
↑ Vinberg, 2001 , p. 285.
↑ Kostrikin, 2000 , p. 219.
↑ Kostrikin, Manin, 1980 , p. 217.
↑ Kostrikin, Manin, 1980 , p. 218.
↑ Kostrikin, 2000 , p. 222.
↑ Vinberg, 2001 , p. 290.

Literatură

Vinberg E. B. Curs de algebră. - M . : Presa factorială, 2001. - 544 p.
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Algebră liniară și geometrie. - Sankt Petersburg. : Lan, 1980. - 303 p.
Kostrikin A.I. Introducere în algebră. Partea 2. Algebră liniară. - M. : FIZMATLIT, 2000. - 368 p.