Mișcarea (matematică)

Mișcarea este o transformare a spațiului metric care păstrează distanța dintre punctele corespunzătoare, adică dacă și sunt imaginile punctelor și , atunci . Cu alte cuvinte, mișcarea este o izometrie a spațiului în sine. $A'$ $B'$ $A$ $B$ $A'B'=AB$

Deși mișcarea este definită pe toate spațiile metrice, termenul este mai frecvent în geometria euclidiană și în câmpurile conexe. În geometria metrică (în special în geometria riemanniană ), se spune mai des: izometria spațiului în sine . În cazul general al unui spațiu metric (de exemplu, pentru o varietate riemanniană neplată ), mișcările pot să nu existe întotdeauna.

Uneori, mișcarea este înțeleasă ca o transformare a spațiului euclidian care păstrează orientarea. În special, simetria axială a unui plan nu este considerată o mișcare, în timp ce rotația și translația paralelă sunt considerate mișcări. În mod similar, pentru spațiile metrice generale, mișcarea este un element al grupului de izometrie din componenta conexă a mapării identității .

În spațiul euclidian (sau pseudo-euclidian ), mișcarea păstrează automat și unghiurile, astfel încât toate produsele punctiforme să fie păstrate .

Mai departe, în acest articol, sunt luate în considerare izometriile doar ale spațiului punctual euclidian.

Mișcări adecvate și necorespunzătoare

Fie mișcarea unui spațiu de puncte euclidian și spațiul vectorilor liberi pentru spațiu . Operatorul liniar asociat unei transformări afine este un operator ortogonal și, prin urmare, determinantul său poate fi fie ( operator ortogonal propriu ) fie ( operator ortogonal impropriu ). În conformitate cu aceasta, și mișcările sunt împărțite în două clase: proprie (dacă ) și improprii (dacă ) [1] . $f\colon E\rightarrow E$ $E,$ $V$ $E$ $Df\colon V\rightarrow V,$ $f,$ $unu$ $-unu$ $\det Df=1$ $\det Df=-1$

Mișcările adecvate păstrează orientarea spațiului ; cele neproprii - înlocuiți-l cu una opusă [2] . Uneori mișcările proprii și improprii sunt numite respectiv deplasări și antideplasări [3] . $E,$

Orice mișcare a unui spațiu de puncte euclidian n -dimensional poate fi determinată în mod unic prin specificarea unui cadru ortonormal în care, în timpul unei mișcări date, trece un cadru ortonormal preselectat în spațiu . În acest caz, în cazul mișcării proprii, noul cadrul este orientat la fel ca cel original, iar în cazul mișcării necorespunzătoare, noul cadru este orientat în sens invers. Mișcările păstrează întotdeauna distanțele dintre punctele din spațiu (adică sunt izometrii ), și nu există alte izometrii, cu excepția mișcărilor proprii și improprii [4] . $E$ $(O';e'_{1},\ldots, e'_{n}),$ $E$ $(O;e_{1},\ldots,e_{n}).$ $E$

În mecanică , conceptul de „mișcare” are un sens diferit; în special, este întotdeauna privit ca un proces continuu care are loc pe o perioadă de timp (vezi mișcarea mecanică ). Dacă, după P. S. Aleksandrov , numim mișcare continuă o astfel de mișcare a spațiului care depinde continuu de parametru (căci în mecanică aceasta corespunde mișcării unui corp absolut rigid ), atunci cadrul ortonormal poate fi obținut prin mișcare continuă din ortonormal. cadru dacă și numai dacă ambele repere sunt orientate în același mod [5] . $E,$ $t\in [t_{0},t_{1}]$ $n=3$ $(O';e'_{1},\ldots, e'_{n})$ $(O;e_{1},\ldots, e_{n})$

Tipuri particulare de izometrii

Drept

Orice mișcare a unei drepte este fie o translație paralelă (redusă la deplasarea tuturor punctelor unei drepte de către același vector situat pe aceeași linie dreaptă), fie o reflecție asupra unui punct luat pe o dreaptă dată. În primul caz, mișcarea este proprie, în al doilea - improprie [6] .

În avion

Orice mișcare a avionului aparține unuia dintre următoarele tipuri [2] :

transfer paralel ;
întoarce ;
Simetrie axială ( reflexie );
O simetrie de alunecare este o suprapunere a unei translații cu un vector paralel cu o dreaptă și o simetrie în jurul acestei drepte.

Mișcările primelor două tipuri sunt proprii, ultimele două sunt improprii [7] .

În spațiul 3D

Orice mișcare a spațiului tridimensional aparține unuia dintre următoarele tipuri [2] :

transfer paralel;
întoarce;
Mișcarea șurubului este o suprapunere a unei rotații în jurul unei anumite drepte și translația printr-un vector paralel cu această dreaptă;
Simetria oglinzii (reflexia) în jurul planului ;
Simetria de alunecare este suprapunerea unei translații de către un vector paralel cu un plan și o simetrie în jurul acestui plan;
Rotația oglinzii este o suprapunere a rotației în jurul unei linii drepte și a reflexiei în jurul unui plan perpendicular pe axa de rotație.

Mișcările primelor trei tipuri epuizează clasa mișcărilor proprii ale spațiului tridimensional ( teorema lui Chall ), iar mișcările ultimelor trei tipuri sunt improprie [7] .

În spațiu n-dimensional

În spațiul dimensional, mișcările sunt reduse la transformări ortogonale , translații paralele și suprapuneri ale ambelor. $n$

La rândul lor, transformările ortogonale pot fi reprezentate ca suprapoziții de rotații (proprii) și reflexii în oglindă (adică, simetrii față de hiperplanuri ).

Mișcările ca suprapoziții de simetrii

Orice izometrie în spațiul euclidian -dimensional poate fi reprezentată ca o suprapunere a cel mult n+1 reflexii în oglindă [8] . $n$

Deci, translația și rotația paralelă sunt suprapuneri a două reflexii, reflexia glisante și rotația oglinzii sunt trei, iar mișcarea șurubului este de patru.

Proprietăți generale ale izometriilor

Suprapunerea izometriilor este de asemenea o izometrie [9] .
Izometriile spațiului euclidian E în raport cu operația de suprapunere formează grupul Iso( E ) , care este un grup Lie .
Izometria este un caz special al unei transformări afine (deci Iso( E ) este un subgrup al unui alt grup Lie, grupul afin Aff( E ) al spațiului E ) [10] .
Grupul Iso( E ) este format din două componente conexe : mulțimea Iso + ( E ) a mișcărilor proprii (care este ea însăși un grup Lie) și mulțimea Iso - ( E ) a mișcărilor improprii; fiecare dintre aceste componente este conectată la cale [3] .
Izometria, fiind o transformare afină , transformă întotdeauna un segment înapoi într-un segment.

Note

↑ Kostrikin și Manin, 1986 , p. 201-204.
↑ 1 2 3 Egorov I.P. Mișcare // Enciclopedie matematică. Vol. 2 / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia sovietică , 1979. - 1104 stb. - Stb. 20-22.
↑ 1 2 Berger, 1984 , p. 249.
↑ Aleksandrov, 1968 , p. 259-262.
↑ Aleksandrov, 1968 , p. 210, 214.
↑ Aleksandrov, 1968 , p. 284.
↑ 1 2 Kostrikin și Manin, 1986 , p. 204.
↑ Berger, 1984 , p. 255.
↑ Aleksandrov, 1968 , p. 267.
↑ Kostrikin și Manin, 1986 , p. 202.

Literatură

Alexandrov P. S. . Prelegeri despre geometrie analitică. — M .: Nauka , 1968. — 912 p.
Berge M. . Geometrie. T. 1. - M . : Mir , 1984. - 560 p.
Kostrikin A.I. , Manin Yu.I. Algebră liniară și geometrie. a 2-a ed. — M .: Nauka , 1986. — 304 p.