Coordonate baricentrice

Coordonatele baricentrice sunt parametri scalari, al căror set definește în mod unic un punct într- un spațiu afin (cu condiția ca în acest spațiu să fie aleasă o bază de punct ).

O bază de puncte (uneori se folosește termenul „baza coordonatelor baricentrice” [1] ) spațiu afin în -dimensional este un sistem de puncte --lea care se presupune că sunt afine independente (adică, nu se află într-un subspațiu -dimensional al spatiul luat in considerare). $n$ $A$ $(n+1)$ $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$ $(n-1)$

Definiție

Să existe un punct arbitrar în . Fiecare punct poate fi reprezentat în mod unic ca o combinație baricentrică $P$ $A$ $M\în A$

M=P+\alpha _{0}\cdot \overrightarrow {PP}_{0}+\alpha _{1}\cdot \overrightarrow {PP}_{1}+\ldots +\alpha _{n}\cdot \overrightarrow {PP}_{n};

baricentricitatea combinației liniare de puncte din partea dreaptă înseamnă că numerele reale (coeficienții combinației) satisfac condiția $\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$

\alpha _{0}+\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}=1.

Numerele și sunt numite coordonatele baricentrice ale punctului . Este ușor de observat că coordonatele baricentrice nu depind de alegerea lui . $\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ $M$ $P$

Egalitatea scrisă mai sus în simbolismul calculului baricentric poate fi rescrisă după cum urmează:

M=\alpha _{0}P_{0}+\alpha _{1}P_{1}+\ldots +\alpha _{n}P_{n}.

Proprietăți

Coordonatele baricentrice sunt invariante afine.
Coordonatele baricentrice ale punctelor simplexului cu vârfuri în sunt nenegative și suma lor este egală cu unu. $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$
Dispariția coordonatei baricentrice este echivalentă cu faptul că punctul se află pe planul care conține fața simplexului opus vârfului . Această proprietate ne permite să luăm în considerare coordonatele baricentrice ale punctelor unui complex simplist în raport cu toate vârfurile sale. $\alpha_i$ $P_{i}$
În coordonatele baricentrice, conjugarea izotomică a două puncte în interiorul unui triunghi este dată de formula . În acest sens, coordonatele baricentrice sunt adesea convenabile atunci când se lucrează cu conjugarea izotomică. $(x:y:z)\mapsto (x^{-1}:y^{-1}:z^{-1})$
Pentru un punct situat în interiorul unui triunghi , ariile triunghiurilor pot fi luate ca coordonate baricentrice . $X$ $ABC$ $(S_{BCX}:S_{CAX}:S_{ABX})$
Coordonatele baricentrice sunt strâns legate de coordonatele triliniare . Și anume, dacă sunt coordonatele baricentrice ale punctului relativ la triunghi și sunt lungimile laturilor sale, atunci $(\alpha:\beta:\gamma )$ $X$ $ABC$ $a,b,c$ $(x:y:z)=\left({\frac {\alpha {a}):{\frac {\beta {b)):{\frac {\gamma {c)}\ dreapta)$

coordonatele sale triliniare . Coordonatele triliniare, ca și cele baricentrice, sunt definite până la proporționalitate.

Punctul este centrul de masă al greutăților cu mase situate în punctele . $M$ $\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$

Istorie

Coordonatele baricentrice au fost introduse de Möbius în 1827 [2]

Note

↑ Alexandrov P. S. , Pasynkov V. A. Introducere în teoria dimensiunii. — M .: Nauka, 1973. — 576 p. — C. 197.
↑ Bogolyubov, 1983 , p. 95-96.

Literatură

Balk M. B., Boltyansky V. G. Geometria maselor . — M .: Nauka, 1987. — 160 p. - ( Biblioteca „Quantum” . Numărul 61).
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Algebră liniară și geometrie. - M. : Nauka, 1986. - 304 p.
Bogolyubov A. N. Matematică. Mecanica. Ghid biografic. - Kiev: Naukova Dumka, 1983. - 639 p.

Vezi și

Sisteme de coordonate
Numele coordonatelor	Abscisă Ordonată Aplicație
Tipuri de sisteme de coordonate	Sistem de coordonate rectiliniu Sistem de coordonate curbiliniu
Coordonate 2D	Coordonate biunghiulare Coordonate bicentrice Coordonate hiperbolice Coordonate polare Coordonate bipolare Coordonate parabolice Coordonate eliptice Coordonate tetraciclice Coordonate triliniare
Coordonatele 3D	Coordonate cilindrice Coordonate sferice Coordonatele bisferice Coordonatele toroidale Coordonate parabolice cilindrice Coordonate bicilindrice Coordonate elipsoidale Coordonate conice Coordonatele pentasferice Sistemul de coordonate dipolar
$n$ -coordonate dimensionale	coordonate carteziene Coordonate afine Coordonate proiective Coordonatele Plücker coordonate baricentrice
Coordonatele fizice	Coordonatele Rindler Coordonate născute Sistemul de coordonate ceresc Coordonatele geografice Sistemul de coordonate ortodomic principal
Definiții înrudite	Metoda coordonatelor Origine Axa de coordonate Vector Orth sistem de referință Benchmark Coeficienți lame Tensor metric