Spatiu afin

Un spațiu afin este un obiect (spațiu) matematic care generalizează unele proprietăți ale geometriei euclidiene . Spre deosebire de un spațiu vectorial , un spațiu afin operează nu asupra unuia, ci a două tipuri de obiecte: „vectori” și „puncte”.

Definiție

Spațiul afin asociat unui spațiu vectorial peste un câmp este o mulțime cu o acțiune tranzitivă liberă a unui grup aditiv (dacă câmpul nu este specificat în mod explicit, atunci se presupune că acesta este câmpul numerelor reale ). $V$ $\mathbb {K}$ $A$ $V$ $\mathbb {K}$

Comentariu

Această definiție înseamnă [1] că operația de adăugare a elementelor spațiale (numite puncte ale unui spațiu afin) cu vectori dintr-un spațiu (care se numește spațiul vectorilor liberi pentru un spațiu afin ) este definită, îndeplinind următoarele axiome: $A$ $V$ $A$

$(M+v)+w=M+(v+w)\in A$ pentru toată lumea și pentru toată lumea ; $M\în A$ $v,w\în V$
$M+0=M$ pentru toată lumea ; $M\în A$
pentru oricare două puncte , există un vector unic (notat cu sau ) cu proprietatea . $M,N\în A$ $v\în V$ $\overrightarrow {MN}$ $\overrightarrow {NM}$ $N=M+v$

Astfel, modul de acțiune pe este notat cu . $v\în V$ $M\în A$ $M+v$

Subspațiu afin

Un subspațiu afin al unui spațiu afin este o submulțime care este o deplasare a unui subspațiu liniar , adică la un moment dat . Setul definește în mod unic, în timp ce este definit doar până la o deplasare de către un vector de la . Dimensiunea este definită ca dimensiunea subspațiului . $A$ $A'\subset A$ $V'\subset V$ $A'=x+V'$ $x\în A$ $A'$ $V'$ $X$ $V'$ $A'$ $V'$

Dacă și , atunci dacă și numai dacă și . $A_{1}=v_{1}+V'$ $A_{2}=v_{2}+V'$ $A_{1}=A_{2}$ $v_{1}-v_{2}\în V'$

Intersecția subspațiilor afine este fie un subspațiu afin, fie vid. Dacă nu este gol, atunci dimensiunea sa satisface relația

\dim(A_{1}\cap A_{2})\geq \dim A_{1}+\dim A_{2}-\dim A

Un subspațiu afí căruia îi corespunde un subspațiu de codimensiunea 1 se numește hiperplan .

Subspațiile afine ale unui spațiu liniar (prevăzute cu o structură afină standard, acțiunea asupra ei prin adunare) sunt adesea luate în considerare. Ele sunt uneori numite varietăți liniare [2] [3] .

Un astfel de subspațiu afin este un subspațiu liniar dacă și numai dacă conține 0.

Definiții înrudite

Este posibil să se considere [4] combinații liniare arbitrare de puncte dintr-un spațiu afin. Cu toate acestea, rezultatul are sens în următoarele două cazuri:

combinația este o combinație baricentrică (adică suma coeficienților săi este 1), și atunci va fi un punct din ; $A$
combinația este o combinație echilibrată (adică suma coeficienților săi este 0), și atunci va fi un vector din . $V$

Prin analogie cu conceptul de independență liniară a vectorilor, este introdus conceptul de independență afină a punctelor dintr-un spațiu afin. Și anume: punctele sunt numite [5] dependente de afinitate dacă oricare dintre ele, de exemplu, poate fi reprezentat ca o combinație baricentrică a altor puncte. În caz contrar, se spune că aceste puncte sunt afine independente . $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$ $P_0$

Condiția independenței afine a punctelor poate fi dată cu o altă formă: este adevărată propoziția că punctele unui spațiu afin sunt afine independente dacă și numai dacă nu există o combinație echilibrată netrivială a acestor puncte egală cu vectorul zero [6] .

Dimensiunea unui spațiu afin este [7] prin definiția dimensiunii spațiului corespunzător al vectorilor liberi. În acest caz, numărul de puncte din setul maxim de puncte afin independent al unui spațiu afin se dovedește a fi cu unul mai mare decât dimensiunea spațiului.

Oricare dintre seturile maxime afine independente de puncte dintr-un spațiu afin poate fi tratată ca o bază de puncte (prin renumerotarea acestor puncte într-un fel sau altul).

Orice punct din spațiu poate fi reprezentat ca o combinație baricentrică de puncte incluse într-o bază de puncte; coeficienţii acestei combinaţii se numesc [8] coordonatele baricentrice ale punctului considerat.

Variații și generalizări

Un spațiu afin peste un inel de diviziune este definit într-un mod similar .

Note

↑ Kostrikin, Manin, 1986 , p. 193.
↑ Ulyanov A.P. Algebra și geometria planului și spațiului pentru studenții la fizică Exemplar de arhivă din 22 septembrie 2018 la Prelegerile Wayback Machine pentru studenții din anul I ai Facultății de Fizică a NSU.
↑ Dieudonné J. Linear Algebra and Elementary Geometry. Tradus din franceză de G. V. Dorofeev. — M.: Nauka, 1972. — 335 p.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , p. 198.
↑ Boltyansky, 1973 , p. 138.
↑ Alexandrov P. S. , Pasynkov V. A. Introducere în teoria dimensiunii. — M .: Nauka, 1973. — 576 p. — C. 193.
↑ Boltyansky, 1973 , p. 135.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , p. 199.

Literatură

Beklemishev DV Geometrie analitică și algebră liniară. - M . : Şcoala superioară, 1998. - 320 p.
Boltyansky VG Control optim al sistemelor discrete. — M .: Nauka, 1973. — 446 p.
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Algebră liniară și geometrie. - M. : Nauka, 1986. - 304 p.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Algebră liniară și geometrie. - M. : Fizmatlit, 2009. - 511 p.

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte

Dimensiunea spațiului
Spații după dimensiune	Zero-dimensionale unidimensional 2D 3D patru dimensionale cinci dimensiuni În șase dimensiuni Șapte-dimensionale octal Nouă-dimensionale n-dimensională Dimensiunea negativă
Politopuri și figuri	Simplex hipercub tesseract Hiperdreptunghi (ortotop) Semihipercub Cross-politope hipersferă
Tipuri de spații	spațiu finit-dimensional Spațiul euclidian spatiu afin spațiu proiectiv Modul gratuit Manifold Dimensiunea unei variabile algebrice spațiu timp
Alte concepte dimensionale	dimensiunea Krull Dimensiunea Lebesgue Dimensiunea inductivă Dimensiunea fracțională ( dimensiunea Minkowski , dimensiunea Hausdorff ) dimensiune fractală Grade de libertate
Matematica