Geometrie birațională

Geometria birațională  este o ramură a geometriei algebrice a cărei sarcină principală este clasificarea varietăților algebrice până la echivalența birațională [1] . Acest lucru se rezumă la studierea mapărilor care sunt date de funcții raționale , nu de polinoame. Maparea poate să nu fie definită în unele puncte care sunt poli ai unei funcții raționale.

Mapări biraționale

O mapare rațională de la o varietate ( ireductibilă ) X la o altă varietate Y (scrisă ca o săgeată punctată X ⇢ Y ) este definită ca un morfism dintr-o submulțime deschisă nevide U din varietatea X la Y. După definiția topologiei Zariski , folosită în geometria algebrică, o submulțime deschisă nevide U este întotdeauna complementul unei submulțimi X de dimensiune inferioară. Concret, o mapare rațională poate fi scrisă în coordonate folosind funcții raționale.

O mapare birațională de la X la Y  este o mapare rațională f : X ⇢ Y astfel încât să existe o mapare rațională Y ⇢ X inversă cu f . O hartă birațională generează un izomorfism al unei submulțimi deschise nevide X într-o submulțime deschisă nevidă Y . În acest caz, se spune că X și Y sunt echivalente birațional . În termeni algebrici, două varietăți dintr-un câmp k sunt echivalente birațional dacă și numai dacă câmpurile lor de funcție sunt izomorfe ca extensii ale câmpului k .

Un caz special este un morfism birațional f : X → Y , adică un morfism birațional. Atunci f este definit pe tot X , dar inversul său poate să nu fie definit pe tot Y . Acest lucru se întâmplă de obicei atunci când un morfism birațional micșorează unele subvarii de X în puncte din Y.

Se spune că o varietate X este rațională dacă este echivalentă rațional cu un spațiu afín (sau, în mod echivalent, cu un spațiu proiectiv ) de aceeași dimensiune. Raționalitatea este o proprietate complet naturală - înseamnă că X fără un subset de dimensiune inferioară poate fi identificat cu un spațiu afin fără un subset de dimensiune inferioară. De exemplu, cercul definit de ecuația x 2 + y 2 − 1 = 0 este o curbă rațională, deoarece formulele

definiți o mapare birațională a unei linii într-un cerc. (Dacă înlocuim numere raționale cu t , obținem triple pitagoreene .) Harta inversă ia ( x , y ) la (1 − y )/ x .

Mai general, o hipersuprafață X pătratică netedă (gradul 2) de orice dimensiune n este rațională din perspectiva proiecției stereografice (pentru o varietate pătratică X peste un câmp k , trebuie să presupunem că are un punct k -rațional . Acest lucru este valabil în mod automat dacă k este închis algebric. ). Pentru a defini o proiecție stereografică, să presupunem că p  este un punct în X . Atunci o hartă birațională de la X la un spațiu proiectiv P de n linii prin p este dată de o hartă de la un punct q în X la o dreaptă prin p și q . Această mapare este o echivalență birațională, dar nu un izomorfism de varietate, deoarece nu este definită pentru q = p (și maparea inversă nu este definită pentru liniile prin p și situate în X ).

Modele minime și caracteristici de rezoluție

Orice varietate algebrică este echivalentă birațional cu o varietate proiectivă ( lema lui Chow ). Astfel, pentru o clasificare birațională, este suficient să se lucreze numai cu varietăți proiective, iar aceasta este cea mai comună presupunere.

Mult mai profund, prin teorema de rezoluție a singularității a lui Hironaki  — peste un câmp cu caracteristica 0 (cum ar fi numerele complexe), orice varietate este echivalentă birațional cu o varietate proiectivă netedă . Având în vedere acest lucru, este suficient să clasificăm varietățile proiective netede până la echivalența birațională.

În dimensiunea 1, dacă două curbe proiective netede sunt echivalente birațional, ele sunt izomorfe. Cu toate acestea, acest lucru nu este cazul la dimensiunile 2 și mai mari din cauza construcției explozive . Când este aruncată în aer, orice varietate proiectivă netedă de dimensiunea 2 sau mai mare este echivalentă birațional cu un număr infinit de soiuri „mai mari”, cum ar fi cele cu numere Betti mai mari .

Acest lucru duce la ideea modelelor minime  - există o singură varietate cea mai simplă în fiecare clasă de echivalență rațională? Definiția modernă a unui model minimal este că o varietate proiectivă X este minimă dacă pachetul de linii canonice K X are un grad nenegativ pe orice curbă din X . Cu alte cuvinte, K X este un nef-bundle . Este ușor să verificați că colectoarele umflate nu sunt niciodată minime.

Această idee funcționează bine pentru suprafețele algebrice (varietăți de dimensiunea 2). În termeni moderni, rezultatul central al școlii italiene de geometrie algebrică din 1890-1910, parte a clasificării , a fost faptul că orice suprafață X este echivalentă birațional fie cu produsul P 1  ×  C pentru o curbă C , fie cu o suprafață minimă. Y [2] . Aceste două cazuri se exclud reciproc și Y este unic dacă există. Dacă Y există, se numește modelul de suprafață minimă al lui X.

Invarianți biraționali

În primul rând, nu este destul de clar cum să arătăm că există orice suprafață algebrică nerațională. Pentru a demonstra acest lucru, trebuie să folosim niște invarianți ai varietăților algebrice.

Un set util de invarianți biraționali este genul plural . Mănunchiul canonic unei varietăți netede X de dimensiune n este fasciculul de linii n - forme K X = Ω n , care este a n- a putere exterioară a pachetului canonic varietății X . Pentru un întreg d , puterea tensorului a d -a a lui K X este din nou un pachet de linii. Pentru d ≥ 0, spațiul vectorial al secțiunilor globale H 0 ( X , K X d ) are proprietatea remarcabilă că o mapare birațională f : X ⇢ Y între varietăți proiective netede generează un izomorfism H 0 ( X , K X d ) ≅ H0 ( Y , KYd ) [ 3 ] . _

Pentru d ≥ 0, definim a- lea plurirod P d ca dimensiunea spațiului vectorial H 0 ( X , K X d ). Atunci plurigenii sunt invarianți biraționali ai varietăților proiective netede. În special, dacă un plurirod P d nu este egal cu zero pentru d > 0, atunci X nu este o varietate rațională.

Invariantul birațional fundamental este dimensiunea Kodaira , care măsoară creșterea pluralităților P d pe măsură ce d tinde spre infinit. Dimensiunea Kodaira împarte toate varietățile de dimensiune n în n + 2 tipuri cu dimensiuni Kodaira −∞, 0, 1, …, n . Acest invariant arată complexitatea varietății, în timp ce spațiul proiectiv are dimensiunea Kodaira −∞. Cele mai complexe varietăți sunt cele a căror dimensiune Kodaira este aceeași cu dimensiunea spațială n , iar aceste varietăți sunt numite varietăți de tip general .

Mai general, orice sumand natural direct E (Ω 1 ) a puterii tensorului r a snopului cotangent Ω 1 cu r ≥ 0, spațiul vectorial al secțiunilor globale H 0 ( X , E (Ω 1 )) este un invariant birațional pentru soiuri proiective netede. În special, numerele Hodge h r ,0 = dim H 0 ( X , Ω r ) sunt invarianți biraționali ai lui X . (Majoritatea celorlalte numere Hodge h p, q nu sunt invarianți biraționali, așa cum arată explozia .)

Grupul fundamental π 1 ( X ) este un invariant birațional pentru varietăți proiective complexe netede.

„Teorema de factorizare slabă” dovedită de Abramovici, Karu, Matsuki și Wlodarczyk [4] afirmă că orice mapare birațională între două varietăți proiective complexe netede poate fi descompusă într-un număr finit de expansiune sau explozie ale subvarietăților netede. Acest lucru este important de știut, dar rămâne o sarcină dificilă să se determine dacă două varietăți proiective netede sunt echivalente birațional.

Modele minime la dimensiuni mari

O varietate proiectivă X se numește minimă dacă pachetul canonic K X este un nef-bundle . Pentru X de dimensiunea 2, este suficient să luăm în considerare varietăți netede. În dimensiunile 3 și mai sus, soiurilor minime trebuie lăsate să aibă unele singularități slabe pentru care K X rămâne bine comportat. Ele sunt numite caracteristici terminale .

Cu toate acestea, validitatea conjecturii modelului minim ar implica faptul că orice varietate X este fie acoperită de curbe raționale, fie este echivalentă birațional cu o varietate minimă Y . Dacă există, Y se numește modelul minim al lui X.

Modelele minimale nu sunt unice în dimensiunile 3 și mai mari, dar oricare două soiuri biraționale minime sunt foarte apropiate. De exemplu, ele sunt izomorfe în afara submulților de codimensione 2 și mai sus și, mai precis, sunt conectate printr-o succesiune de flip -uri . Deci, conjectura modelului minim ar oferi informații esențiale despre clasificarea birațională a varietăților algebrice.

Mori a demonstrat conjectura pentru dimensiunea 3 [5] . Există multe progrese în dimensiuni superioare, deși principala problemă rămâne deschisă. În special, Birkar, Cassini, Hakon și McKernan [6] au demonstrat că orice varietate de tip general pe un câmp cu caracteristica 0 are un model minim.

Variete uniliniate

O varietate se numește uninolined dacă este acoperită de curbe raționale. O varietate neliniară nu are un model minimal, dar există un substitut bun - Birkar, Cassini, Hakon și McKernan au arătat că orice varietate neliniară peste un câmp cu zero caracteristic este o fibrație Fano birațională [7] . Aceasta duce la problema clasificării biraționale a fibrațiilor Fano și (ca cel mai interesant caz) a soiurilor Fano . Prin definiție, o varietate proiectivă X este o varietate Fano dacă snopul anticanonic K X * este amplu . Soiurile Fano pot fi considerate ca fiind cele mai apropiate de spațiile proiective.

În dimensiunea 2, orice triplu Fano (cunoscut sub numele de suprafață del Pezzo ) pe un câmp închis algebric este rațional. Principala descoperire a anilor 1970 a fost că, începând de la dimensiunea 3, există multe soiuri Fano care nu sunt raționale . În special, 3-pliurile cubice netede, conform lui Clemens și Griffiths [8] , nu sunt raționale, iar 3-urile netede de gradul al patrulea nu sunt raționale, conform lui Iskovskikh și Manin [9] . Totuși, sarcina de a determina exact care soiuri Fano sunt raționale este departe de a fi rezolvată. De exemplu, nu se știe dacă există o suprafață cubică netedă nerațională în P n +1 cu n ≥ 4.

Grupuri de automorfisme biraționale

Varietățile algebrice diferă considerabil prin numărul de automorfisme biraționale. Orice varietate de tip general este foarte rigidă în sensul că grupul său de automorfism birațional este finit. La cealaltă extremă, grupul de automorfisme biraționale ale spațiului proiectiv P n peste un câmp k , cunoscut sub numele de grupul Cremona Cr n ( k ), este mare (de dimensiune infinită) pentru n ≥ 2. Pentru n = 2, gruparea complexă Cremona Cr 2 ( C ) este generată de „transformarea pătratică”

[ x , y , z ] ↦ [1/ x , 1/ y , 1/ z ]

împreună cu grupul de automorfism PGL (3, C ) al lui P 2 , după Max Noether și Guido Castelnuovo . În schimb, grupul Cremona în dimensiunea n ≥ 3 este foarte misterios; nu se cunoaște un set explicit de generatoare pentru acesta.

Iskovskikh și Manin [9] au arătat că grupul de automorfisme biraționale ale hipersuprafețelor netede de ordinul al patrulea (cuartice) ale 3-varietăților este egal cu grupul său de automorfisme, care este finit. În acest sens, varietățile tridimensionale de ordinul al patrulea sunt departe de a fi raționale, deoarece grupul de automorfisme biraționale ale unei varietăți raționale este uriaș. Acest fenomen de „rigiditate birațională” a fost descoperit de atunci pentru multe spații Fano cu fibre.

Note

  1. ↑ Dolgaciov, Iskovskikh, 1977 , p. 463.
  2. ↑ Kollár, Mori, 1998 , p. Teorema 1.29.
  3. ↑ Hartshorne, 1977 , p. Exercițiul II.8.8.
  4. ↑ Abramovici, Karu, Matsuki, Wlodarczyk, 2002 .
  5. ↑ Mori, 1988 .
  6. ↑ Birkar, Cascini, Hacon, McKernan, 2010 .
  7. ↑ ( Birkar, Cascini, Hacon, McKernan 2010 ); Corolarul 1.3.3 implică că orice varietate necăptușită cu caracteristica zero este birațională față de o fibrație Fano, folosind simplul fapt că o varietate necăptată X este acoperită de o familie de curbe pentru care K X are un grad negativ. Această afirmație poate fi găsită în cartea lui Debarre ( Debarre 2001 ), Corolarul 4.11 și Exemplul 4.7(1).
  8. ↑ Clemens, Griffiths, 1972 .
  9. ↑ 1 2 Iskovskikh, Manin, 1971 , p. 140-166.

Literatură