Variație de răsucire a curbei

Variația rotației curbei este integrala curburii curbei de-a lungul lungimii acesteia.

Definiție

Variația de rotație a unei curbe într-un plan sau în spațiu este definită ca cea mai mică limită superioară a sumei unghiurilor externe înscrise într-o polilinie . $\gamma$ $\gamma$

Dacă curba este închisă, se presupune că polilinia înscrisă este, de asemenea, închisă. $\gamma$

Note

Dacă o curbă netedă, parametrizată după lungime, este curbura ei , atunci variația de rotație este egală cu integrala modulului de curbură: $\gamma \colon [a;\,b]\la \mathbb {E} ^{d)$ $\kappa(s)$ $\int \limits _{a}^{b}|\kappa (s)|\cdot ds.$

Variația de rotație a unei curbe regulate netede poate fi definită și ca lungimea indicatricei sale tangente ; adică curba formată de vectorii tangenți unitari . $\gamma \colon [a;\,b]\la \mathbb {E} ^{d)$ $\tau (s)\colon [a;\,b]\la \mathbb {S} ^{d-1)$ $\tau (s)={\tfrac {{\dot {\gamma }}(s)}{|{\dot {\gamma }}(s)|}}$

Proprietăți

Teorema de rotație a curbei lui Fenchel : Variația de rotație a oricărei curbe închise este de cel puțin . Mai mult, în cazul egalității, curba este plată și convexă. $2{\cdot}\pi$
Teorema de rotație a nodului Fari-Milnor : Variația de rotație a oricărui nod este mai mare . $4{\cdot }\pi$
Inegalitatea ADN-ului . Dacă o curbă plană închisă se află într-o figură convexă cu perimetru, atunci lungimea ei nu depășește variația de rotație. [unu] $2{\cdot}\pi$
Teorema geodezică a lui Usov : Variația rotației unei geodezice pe graficul unei funcții convexe nu depășește de două ori constanta lui Lipschitz . [2] $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$
Lungimea unghiulară a unei curbe închise față de un punct arbitrar nu depășește variația de rotație a acesteia. [3]
Variația de rotație a celei mai scurte curbe pe o suprafață convexă închisă este delimitată de o constantă universală. [patru]

Variații și generalizări

Pentru curbele plane, curbura poate avea un semn, iar rotația curbei poate fi definită ca o integrală semnată a curburii. Teorema de rotație a curbei este contrapartida geometrică diferențială a teoremei sumei unghiului poligonului .

Note

↑ Nazarov, Alexandru Ilici, Fedor Vladimirovici Petrov. Despre conjectura lui S. L. Tabachnikov // Algebră și analiză . - 2007. - T. 19 , nr 1 . - S. 177-193. . (Rusă)
↑ V. V. Usov. „Pe lungimea unei imagini sferice a unei geodezice pe o suprafață convexă”. Jurnalul siberian de matematică 17.1 (1976), p. 233-236
↑ A. Petrunin, S. Stadler. Șase dovezi ale teoremei Fáry–Milnor // arXiv:2203.15137 [math.HO].
↑ N. Lebedeva, A. Petrunin. Despre curbura totală a geodezicilor de minimizare pe suprafețe convexe // Algebra i Analiz. - 2017. - T. 29 , Nr. 1 . - S. 189-208 . (Rusă)

Literatură

Toponogov, V. A. Geometria diferențială a curbelor și suprafețelor . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .